Thyago: Para um produto de senos de numeros em PA, eu acho que a sua solucao eh a melhor.
No entanto, se o produto for de cossenos de numeros em PG da razao 2, ai a coisa muda de figura... P = cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) ==> sen(a)P = sen(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/2)sen(2a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/4)sen(4a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/8)sen(8a)cos(8a)...cos(2^na) = ... = (1/2^n)sen(2^na)cos(2^na) = = (1/2^(n+1))sen(2^(n+1)a) Logo: P = sen(2^(n+1)a)/(2^(n+1)sen(a)) Serah que era esse o problema do Lidski que voce procurava? Um abraco, Claudio. on 12.08.03 21:07, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ol� Claudio e companheiros da lista > > Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que esta solu��o � pr�tica :-) > > O que eu estava querendo inicialmente � uma solu��o que nem a da quest�o > abaixo, veja s�: > > S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + sen(na) > > Em que a solu��o consiste em multiplicar ambos os lados da igualdade pelo > seno da metade da raz�o da PA, e ap�s efetuar a prostaf�rese e sair > cortando. Sem muitas delongas! > ... > > J� ouvi dizer que a resolu��o que procuro existe, e est� escrita em um tal > livro russo chamado "Lidski, problemas de PA", ou algo do g�nero... mas > nunca tive o privil�gio de ter algum contato com essa obra. Algu�m j� ouviu > falar? > > Atenciosamente > �Thyago! > > > > ----- Original Message ----- > From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM > Subject: Re: [obm-l] Ajuda > > >> Oi, Thyago: >> >> Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) = >> -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma >> propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da >> unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu >> tinha em mente. Parabens! >> >> A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de > duas >> maneiras diferentes: >> Primeiro: >> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1) >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1) >> >> Depois: >> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) >> >> E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao > eh >> mais simples e, portanto, melhor. >> >> O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que >> (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1 >> mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente). >> >> Um abraco, >> Claudio. >> >> PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", entao eu nao sei o que eh. > Repare: >> voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe > calcula-los? >> Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa >> sorte... >> >> on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> >>> Ol� Cl�udio, >>> >>> Obrigado pelas dicas :-) >>> >>> Mas a resolu��o que eu fiz n�o foi nada pr�tica n�o. >>> Eu j� utilizei todas estas propriedades e n�o consegui chegar em nada. >>> Bom, s� para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exerc�cio que > gerou >>> tal quest�o: >>> >>> >>> (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as ra�zes de x^n=1. Calcule: P = (1 - >>> x2)(1-x3)...(1-xn). >>> >>> Fazendo uso de Briot-Rufini e fatora��o de polin�mios, conseguimos > chegar >>> facilmente na resposta P = n. >>> Mas, utilizando o tratamento vetorial de n�meros complexos com a f�rmula >>> 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em >>> >>> P = 2^(n-1) . S >>> >>> Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] >>> >>> Da�, utilizando a resposta da primeira resolu��o com a resposta da > segunda >>> resolu��o temos que S = n/[2^(n-1) ] >>> D� para ver que esta demonstra��o para S n�o � nada pr�tica. >>> >>> Voc� citou uma "solu��o padr�o" para este tipo de problema. Qual seria? >>> >>> Aguardo resposta >>> >>> Atenciosamente >>> �Thyago! >>> >>> ----- Original Message ----- >>> From: Cl�udio (Pr�tica) <[EMAIL PROTECTED]> >>> To: <[EMAIL PROTECTED]> >>> Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM >>> Subject: Re: [obm-l] Ajuda >>> >>> >>>> Oi, Thyago: >>>> >>>> A solu��o "padr�o" pra esse tipo de problema realmente envolve > complexos e >>>> polin�mios. >>>> >>>> Tentando resolver outros problemas similares, voc� vai perceber que >>>> complexos e polin�mios s�o uma forma de resolu��o bastante natural. >>>> >>>> Os resultados b�sicos s�o os seguintes: >>>> 1) Todo n�mero complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) + >>>> i*sen(a)), onde "R" � um real n�o negativo e "a" � um real qualquer > (mas >>>> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou ent�o (-pi,pi]); >>>> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa � a defini��o da fun��o > exponencial >>>> complexa, que permite, por exemplo, que voc� transforme sequ�ncias de >>> senos >>>> e cossenos de n�meros reais em PA em sequ�ncias de complexos em PG, que > as >>>> vezes s�o mais f�ceis de manipular; >>>> 3) Um polin�mio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto > de >>>> bin�mios da forma (x - b) e/ou trin�mios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x + >>>> R^2), onde a e b s�o n�meros reais quaisquer e R � um real positivo. >>>> >>>> Um abra�o, >>>> Claudio. >>>> >>>> >>>> ----- Original Message ----- >>>> From: "dex" <[EMAIL PROTECTED]> >>>> To: <[EMAIL PROTECTED]> >>>> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM >>>> Subject: [obm-l] Ajuda >>>> >>>> >>>>> Ol� pessoal >>>>> >>>>> Gostaria de saber uma boa demonstra��o para o exerc�cio abaixo >>>>> >>>>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] >>>>> com n Inteiro positivo >>>>> >>>>> A resposta � P = n/[2^(n-1)], mas cheguei at� este resultado de uma >>>> maneira >>>>> muito pouco pr�tica, nada natural para uma quest�o de matem�tica (de >>>>> vestibular). Consegui prov�-la utilizando o resultado de uma outra >>>> quest�o, >>>>> que versava sobre polin�mios e complexos. Ou seja, se eu n�o tivesse >>> visto >>>>> esta outra quest�o n�o conseguiria provar nada! >>>>> >>>>> Atneciosamente >>>>> �Thyago! >>>>> >>>> >>>> > ========================================================================= >>>> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>>> > ========================================================================= >>>> >>> >>> > ========================================================================= >>> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>> > ========================================================================= >>> >> >> ========================================================================= >> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
