Ol� Claudio e companheiros da lista Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que esta solu��o � pr�tica :-)
O que eu estava querendo inicialmente � uma solu��o que nem a da quest�o abaixo, veja s�: S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + sen(na) Em que a solu��o consiste em multiplicar ambos os lados da igualdade pelo seno da metade da raz�o da PA, e ap�s efetuar a prostaf�rese e sair cortando. Sem muitas delongas! ... J� ouvi dizer que a resolu��o que procuro existe, e est� escrita em um tal livro russo chamado "Lidski, problemas de PA", ou algo do g�nero... mas nunca tive o privil�gio de ter algum contato com essa obra. Algu�m j� ouviu falar? Atenciosamente �Thyago! ----- Original Message ----- From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM Subject: Re: [obm-l] Ajuda > Oi, Thyago: > > Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) = > -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma > propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da > unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu > tinha em mente. Parabens! > > A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de duas > maneiras diferentes: > Primeiro: > x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1) > x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1) > > Depois: > x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) > x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) > > E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao eh > mais simples e, portanto, melhor. > > O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que > (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1 > mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente). > > Um abraco, > Claudio. > > PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", entao eu nao sei o que eh. Repare: > voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe calcula-los? > Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa > sorte... > > on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Ol� Cl�udio, > > > > Obrigado pelas dicas :-) > > > > Mas a resolu��o que eu fiz n�o foi nada pr�tica n�o. > > Eu j� utilizei todas estas propriedades e n�o consegui chegar em nada. > > Bom, s� para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exerc�cio que gerou > > tal quest�o: > > > > > > (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as ra�zes de x^n=1. Calcule: P = (1 - > > x2)(1-x3)...(1-xn). > > > > Fazendo uso de Briot-Rufini e fatora��o de polin�mios, conseguimos chegar > > facilmente na resposta P = n. > > Mas, utilizando o tratamento vetorial de n�meros complexos com a f�rmula > > 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em > > > > P = 2^(n-1) . S > > > > Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] > > > > Da�, utilizando a resposta da primeira resolu��o com a resposta da segunda > > resolu��o temos que S = n/[2^(n-1) ] > > D� para ver que esta demonstra��o para S n�o � nada pr�tica. > > > > Voc� citou uma "solu��o padr�o" para este tipo de problema. Qual seria? > > > > Aguardo resposta > > > > Atenciosamente > > �Thyago! > > > > ----- Original Message ----- > > From: Cl�udio (Pr�tica) <[EMAIL PROTECTED]> > > To: <[EMAIL PROTECTED]> > > Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM > > Subject: Re: [obm-l] Ajuda > > > > > >> Oi, Thyago: > >> > >> A solu��o "padr�o" pra esse tipo de problema realmente envolve complexos e > >> polin�mios. > >> > >> Tentando resolver outros problemas similares, voc� vai perceber que > >> complexos e polin�mios s�o uma forma de resolu��o bastante natural. > >> > >> Os resultados b�sicos s�o os seguintes: > >> 1) Todo n�mero complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) + > >> i*sen(a)), onde "R" � um real n�o negativo e "a" � um real qualquer (mas > >> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou ent�o (-pi,pi]); > >> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa � a defini��o da fun��o exponencial > >> complexa, que permite, por exemplo, que voc� transforme sequ�ncias de > > senos > >> e cossenos de n�meros reais em PA em sequ�ncias de complexos em PG, que as > >> vezes s�o mais f�ceis de manipular; > >> 3) Um polin�mio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto de > >> bin�mios da forma (x - b) e/ou trin�mios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x + > >> R^2), onde a e b s�o n�meros reais quaisquer e R � um real positivo. > >> > >> Um abra�o, > >> Claudio. > >> > >> > >> ----- Original Message ----- > >> From: "dex" <[EMAIL PROTECTED]> > >> To: <[EMAIL PROTECTED]> > >> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM > >> Subject: [obm-l] Ajuda > >> > >> > >>> Ol� pessoal > >>> > >>> Gostaria de saber uma boa demonstra��o para o exerc�cio abaixo > >>> > >>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] > >>> com n Inteiro positivo > >>> > >>> A resposta � P = n/[2^(n-1)], mas cheguei at� este resultado de uma > >> maneira > >>> muito pouco pr�tica, nada natural para uma quest�o de matem�tica (de > >>> vestibular). Consegui prov�-la utilizando o resultado de uma outra > >> quest�o, > >>> que versava sobre polin�mios e complexos. Ou seja, se eu n�o tivesse > > visto > >>> esta outra quest�o n�o conseguiria provar nada! > >>> > >>> Atneciosamente > >>> �Thyago! > >>> > >> > >> ========================================================================= > >> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> ========================================================================= > >> > > > > ========================================================================= > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
