Acho que o do Lidsky que ele fala e o problema da IMO, cos pi/7-cos 2*pi/7+cos 3*pi/7=?
--- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Thyago: > > Para um produto de senos de numeros em PA, eu > acho que a sua solucao eh a > melhor. > > No entanto, se o produto for de cossenos de > numeros em PG da razao 2, ai a > coisa muda de figura... > > P = cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) ==> > > sen(a)P = > sen(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = > > = (1/2)sen(2a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = > > = (1/4)sen(4a)cos(4a)...cos(2^na) = > > = (1/8)sen(8a)cos(8a)...cos(2^na) = > > ... > > = (1/2^n)sen(2^na)cos(2^na) = > > = (1/2^(n+1))sen(2^(n+1)a) > > Logo: P = sen(2^(n+1)a)/(2^(n+1)sen(a)) > > > Serah que era esse o problema do Lidski que > voce procurava? > > > Um abraco, > Claudio. > > on 12.08.03 21:07, Thyago at [EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > Ol� Claudio e companheiros da lista > > > > Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que > esta solu��o � pr�tica :-) > > > > O que eu estava querendo inicialmente � uma > solu��o que nem a da quest�o > > abaixo, veja s�: > > > > S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + > sen(na) > > > > Em que a solu��o consiste em multiplicar > ambos os lados da igualdade pelo > > seno da metade da raz�o da PA, e ap�s efetuar > a prostaf�rese e sair > > cortando. Sem muitas delongas! > > ... > > > > J� ouvi dizer que a resolu��o que procuro > existe, e est� escrita em um tal > > livro russo chamado "Lidski, problemas de > PA", ou algo do g�nero... mas > > nunca tive o privil�gio de ter algum contato > com essa obra. Algu�m j� ouviu > > falar? > > > > Atenciosamente > > �Thyago! > > > > > > > > ----- Original Message ----- > > From: Claudio Buffara > <[EMAIL PROTECTED]> > > To: <[EMAIL PROTECTED]> > > Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM > > Subject: Re: [obm-l] Ajuda > > > > > >> Oi, Thyago: > >> > >> Vou te confessar uma coisa: usando a > identidade 1 - cis(a) = > >> -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do > IME, que alias eh uma > >> propriedade classica (e, como voce mostrou, > util!) das raizes n-esimas da > >> unidade, voce chegou a uma solucao mais > curta e elegante do que a que eu > >> tinha em mente. Parabens! > >> > >> A minha ideia era separar os casos n par e n > impar e fatorar x^n - 1 de > > duas > >> maneiras diferentes: > >> Primeiro: > >> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) > + ... + x^4 + x^2 + 1) > >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + > ... + x^2 + x + 1) > >> > >> Depois: > >> x^(2m) - 1 = (x^2 - > 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) > >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 > - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) > >> > >> E depois, fazer x = 1 e igualar as > expressoes obtidas, mas a sua solucao > > eh > >> mais simples e, portanto, melhor. > >> > >> O passo que faltou na sua solucao foi > mostrar explicitamente que > >> > (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) > = 1 > >> mas isso eh bem facil (apesar de nao ser > evidente). > >> > >> Um abraco, > >> Claudio. > >> > >> PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", > entao eu nao sei o que eh. > > Repare: > >> voce tem um produto de senos de numeros em > PA. Como voce propoe > > calcula-los? > >> Puramento por meio de identidades > trigonometricas, sem usar complexos? Boa > >> sorte... > >> > >> on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] > wrote: > >> > >>> Ol� Cl�udio, > >>> > >>> Obrigado pelas dicas :-) > >>> > >>> Mas a resolu��o que eu fiz n�o foi nada > pr�tica n�o. > >>> Eu j� utilizei todas estas propriedades e > n�o consegui chegar em nada. > >>> Bom, s� para esclarecer um pouco mais... > vou colocar o exerc�cio que > > gerou > >>> tal quest�o: > >>> > >>> > >>> (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as ra�zes de > x^n=1. Calcule: P = (1 - > >>> x2)(1-x3)...(1-xn). > >>> > >>> Fazendo uso de Briot-Rufini e fatora��o de > polin�mios, conseguimos > > chegar > >>> facilmente na resposta P = n. > >>> Mas, utilizando o tratamento vetorial de > n�meros complexos com a f�rmula > >>> 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em > >>> > >>> P = 2^(n-1) . S > >>> > >>> Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . > sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] > >>> > >>> Da�, utilizando a resposta da primeira > resolu��o com a resposta da > > segunda > >>> resolu��o temos que S = n/[2^(n-1) ] > >>> D� para ver que esta demonstra��o para S > n�o � nada pr�tica. > >>> > >>> Voc� citou uma "solu��o padr�o" para este > tipo de problema. Qual seria? > >>> > >>> Aguardo resposta > >>> > >>> Atenciosamente > >>> �Thyago! > >>> > >>> ----- Original Message ----- > >>> From: Cl�udio (Pr�tica) > <[EMAIL PROTECTED]> > >>> To: <[EMAIL PROTECTED]> > >>> Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM > >>> Subject: Re: [obm-l] Ajuda > >>> > >>> > >>>> Oi, Thyago: > >>>> > >>>> A solu��o "padr�o" pra esse tipo de > problema realmente envolve > > complexos e > >>>> polin�mios. > >>>> > >>>> Tentando resolver outros problemas > similares, voc� vai perceber que > >>>> complexos e polin�mios s�o uma forma de > resolu��o bastante natural. > >>>> > >>>> Os resultados b�sicos s�o os seguintes: > >>>> 1) Todo n�mero complexo pode ser > representado na forma R*(cos(a) + > >>>> i*sen(a)), onde "R" � um real n�o negativo > e "a" � um real qualquer > > (mas > >>>> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) > ou ent�o (-pi,pi]); > >>>> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa � a > defini��o da fun��o > > exponencial > >>>> complexa, que permite, por exemplo, que > voc� transforme sequ�ncias de > >>> senos > >>>> e cossenos de n�meros reais em PA em > sequ�ncias de complexos em PG, que > > as > >>>> vezes s�o mais f�ceis de manipular; > >>>> 3) Um polin�mio com coeficientes reais > pode ser expresso como o produto > > de > >>>> bin�mios da forma (x - b) e/ou trin�mios > da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x + > >>>> R^2), onde a e b s�o n�meros reais > quaisquer e R � um real positivo. > >>>> > >>>> Um abra�o, > >>>> Claudio. > >>>> > >>>> > >>>> ----- Original Message ----- > >>>> From: "dex" <[EMAIL PROTECTED]> > >>>> To: <[EMAIL PROTECTED]> > >>>> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM > >>>> Subject: [obm-l] Ajuda > >>>> > >>>> > >>>>> Ol� pessoal > >>>>> > >>>>> Gostaria de saber uma boa demonstra��o > para o exerc�cio abaixo > >>>>> > >>>>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . > ... . sen[(n-1)pi/n] > >>>>> com n Inteiro positivo > >>>>> > >>>>> A resposta � P = n/[2^(n-1)], mas cheguei > at� este resultado de uma > >>>> maneira > >>>>> muito pouco pr�tica, nada natural para > uma quest�o de matem�tica (de > >>>>> vestibular). Consegui prov�-la utilizando > o resultado de uma outra > >>>> quest�o, > >>>>> que versava sobre polin�mios e complexos. > Ou seja, se eu n�o tivesse > >>> visto > >>>>> esta outra quest�o n�o conseguiria provar > nada! > >>>>> > >>>>> Atneciosamente > >>>>> �Thyago! > >>>>> > >>>> > >>>> > > > ========================================================================= > >>>> Instru��es para entrar na lista, sair da > lista e usar a lista em > >>>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >>>> > > > ========================================================================= > >>>> > >>> > >>> > > > ========================================================================= > >>> Instru��es para entrar na lista, sair da > lista e usar a lista em > >>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >>> > > > ========================================================================= > >>> > >> > >> > ========================================================================= > >> Instru��es para entrar na lista, sair da > lista e usar a lista em > >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> > ========================================================================= > >> > > > > > ========================================================================= > > Instru��es para entrar na lista, sair da > lista e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= _______________________________________________________________________ Conhe�a o novo Cad�? - Mais r�pido, mais f�cil e mais preciso. 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