Oi, Thyago: Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu tinha em mente. Parabens!
A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de duas maneiras diferentes: Primeiro: x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1) x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1) Depois: x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao eh mais simples e, portanto, melhor. O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1 mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente). Um abraco, Claudio. PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", entao eu nao sei o que eh. Repare: voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe calcula-los? Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa sorte... on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ol� Cl�udio, > > Obrigado pelas dicas :-) > > Mas a resolu��o que eu fiz n�o foi nada pr�tica n�o. > Eu j� utilizei todas estas propriedades e n�o consegui chegar em nada. > Bom, s� para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exerc�cio que gerou > tal quest�o: > > > (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as ra�zes de x^n=1. Calcule: P = (1 - > x2)(1-x3)...(1-xn). > > Fazendo uso de Briot-Rufini e fatora��o de polin�mios, conseguimos chegar > facilmente na resposta P = n. > Mas, utilizando o tratamento vetorial de n�meros complexos com a f�rmula > 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em > > P = 2^(n-1) . S > > Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] > > Da�, utilizando a resposta da primeira resolu��o com a resposta da segunda > resolu��o temos que S = n/[2^(n-1) ] > D� para ver que esta demonstra��o para S n�o � nada pr�tica. > > Voc� citou uma "solu��o padr�o" para este tipo de problema. Qual seria? > > Aguardo resposta > > Atenciosamente > �Thyago! > > ----- Original Message ----- > From: Cl�udio (Pr�tica) <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM > Subject: Re: [obm-l] Ajuda > > >> Oi, Thyago: >> >> A solu��o "padr�o" pra esse tipo de problema realmente envolve complexos e >> polin�mios. >> >> Tentando resolver outros problemas similares, voc� vai perceber que >> complexos e polin�mios s�o uma forma de resolu��o bastante natural. >> >> Os resultados b�sicos s�o os seguintes: >> 1) Todo n�mero complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) + >> i*sen(a)), onde "R" � um real n�o negativo e "a" � um real qualquer (mas >> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou ent�o (-pi,pi]); >> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa � a defini��o da fun��o exponencial >> complexa, que permite, por exemplo, que voc� transforme sequ�ncias de > senos >> e cossenos de n�meros reais em PA em sequ�ncias de complexos em PG, que as >> vezes s�o mais f�ceis de manipular; >> 3) Um polin�mio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto de >> bin�mios da forma (x - b) e/ou trin�mios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x + >> R^2), onde a e b s�o n�meros reais quaisquer e R � um real positivo. >> >> Um abra�o, >> Claudio. >> >> >> ----- Original Message ----- >> From: "dex" <[EMAIL PROTECTED]> >> To: <[EMAIL PROTECTED]> >> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM >> Subject: [obm-l] Ajuda >> >> >>> Ol� pessoal >>> >>> Gostaria de saber uma boa demonstra��o para o exerc�cio abaixo >>> >>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] >>> com n Inteiro positivo >>> >>> A resposta � P = n/[2^(n-1)], mas cheguei at� este resultado de uma >> maneira >>> muito pouco pr�tica, nada natural para uma quest�o de matem�tica (de >>> vestibular). Consegui prov�-la utilizando o resultado de uma outra >> quest�o, >>> que versava sobre polin�mios e complexos. Ou seja, se eu n�o tivesse > visto >>> esta outra quest�o n�o conseguiria provar nada! >>> >>> Atneciosamente >>> �Thyago! >>> >> >> ========================================================================= >> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
