> > Olá Claudio! > > Interessante isso! :) > Se o comprador pega a ações emprestado, ele terá que > devolver daqui um ano a ações mais 100*a*0,2 (20% do > valor do empréstimo), ou seja, a ações + 20a
Na verdade, 20% é a taxa de juros para empréstimos e aplicações de reais e não de ações (desculpe-me se eu não deixei isso claro antes). Para este problema, vamos assumir que você toma ações emprestadas a 0% aa. > se ele vender essa ação emprestada, ele embolsará > 100*a reais > então, supondo que x < 100a: > comprando a opção, sobrará 100a-x, o que ele poderá > investir, obtendo (100a-x)*1,2 em 1 ano. > ai temos dois casos: > > (i) a ação está valendo R$50 > ele deverá comprar a ações por 50*a, para devolver a > ações + 20a para o cara que emprestou as ações. > nesse caso, ele gastará R$ 70a > o que ele deve ter, para não ter prejuíso, então: > (100a-x)*1,2 >= 70a <=> 100a-x >= 84a <=> 16a >= x <=> > a >= x/16 > > (ii) a ação está valendo R$ 200 > ele exerce a opção e compra 1 ação por R$ 110, > mas ele tem que devolver a ações, e ainda pagar 20a > reais. > então lhe sobra 200 - 200a - 20a = 200-220a > para ele não ter prejuíso: 200-220a >= 0 <=> > 200 >= 220a <=> 20 >= 22a <=> 10/11 >= a > então: > > x/16 <= a <= 10/11 > mas para o vendedor não ter prejuíso, x >= 40 > será que o vendedor também deve pegar emprestado a > ação, em vez de emprestar dinheiro do banco, para > depois comprar a ação? > > Abraços, > Hélder > Fora o detalhe do custo do aluguel de ações, eu diria que você pegou o espírito da coisa. Tanto que eu vou dar a minha solução pro problema. Vamos assumir o ponto de vista do vendedor da opção: Na data inicial ele: - Vende 1 opção ==> Recebe x - Compra "a" ações ==> Paga 100a - Toma o saldo emprestado ==> Recebe (100a - x) Saldo Líquido = Zero Dentro de 1 ano, teremos 2 situações possíveis: 1) Ação vale R$ 200: - Repaga empréstimo ==> Paga (100a - x)*1,2 - Compra (1-a) ações ==> Paga 200*(1 - a) - Vende 1 ação contra exercício da opção ==> Recebe 110 Saldo Líquido: Recebe 110 - 200*(1 - a) - (100a - x)*1,2 2) Ação vale R$ 50: - Repaga empréstimo ==> Paga (100a - x)*1,2 - Vende a ações na bolsa ==> Recebe 50a Saldo Líquido: Recebe 50a - (100a - x)*1,2 Como na data inicial, ele não pagou nem recebeu nada (saldo = zero), a fim de evitar a possibilidade de uma arbitragem (lucro garantido com risco zero), dentro de 1 ano ele também não deverá pagar ou receber nada. Ou seja, em ambos os cenários o seu saldo deverá ser Zero. Isso implica que: 110 - 200*(1 - a) - (100a - x)*1,2 = 0 50a - (100a - x)*1,2 = 0 ==> 80a + 1,2x = 90 -70a + 1,2x = 0 ==> a = 3/5 e x = 35 Ou seja, o preço justo da opção é R$ 35,00 e a fim de se proteger o vendedor deve, após vendê-la, comprar 0,6 ações. Repare que o preço justo da opção independe da distribuição de probabilidade dos preços futuros da ação. Essa é a beleza da "sacada" do Black e do Scholes: existe uma quantidade de ações (o "a" acima) que o vendedor da opção pode comprar a fim de exatamente neutralizar o risco da opção. Um abraço, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================