Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas incôgnitas.
Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo:
XY = X + Y
Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação.
Teria como ter uma saída algébrica?
Agradeço
Olá,
X(Y-1) = Y Como Y não pode valer 1, (Y-1) nunca vale zero. Então, X = Y/(Y-1)
X inteiro <=> Y/(Y-1) = N/1 para algum N inteiro <=> mdc(Y,Y-1) = (Y-1)
Ou seja, Y deve ser múltiplo de (Y-1). Isto só occorre quando Y é pequeno...
Por exemplo, se Y = 0 => (Y-1) = -1 e (-1).0 = 0
Vamos supor Y > 0.
Para ver que isto não ocorre quando Y fica suficientemente grande, olhe para a diferença entre
2*(Y-1) e Y
2*(Y-1) - Y = 2*Y - 2 - Y = Y - 2
Y - 2 > 0 <=> Y > 2
Logo, se Y > 2, 2*(Y-1) é maior que Y. Também é óbvio que Y-1 < Y. Logo Y não é múltiplo de (Y-1) => X não é inteiro.
Sabemos que Y não pode ser 1, e que Y = 0 satisfaz a equação. Falta apenas checar os valores negativos de Y. O caso Y = 2 também vale pois 2*1 = 2.
Y < 0 => (Y-1) < 0 => X, caso seja inteiro, é positivo. Logo teríamos uma solução (X,Y) onde X é positivo e Y é negativo. Mas, como a equação é simétrica com relação à troca de X por Y, (Y,X) também seria solução. Mas esta teria o segundo termo positivo, logo deveria aparecer na nossa análise anterior. É uma pena que as únicas soluções encontradas foram (0,0) e (2,2), pois isto significa que não há solução onde os sinais das variáveis sejam diferentes.
Se isto não foi satisfatório, suponha Y < 0. Então Y-1 < -1 => -1*(Y-1) - Y = -Y + 1 - Y =
= - 2Y + 1 > 0
Ou seja, Y-1 < Y e -1*(Y-1) > Y. Logo X não é inteiro.
As únicas soluções inteiras são as que você apresentou :)
OBS : Acredito que esta equação é dita de grau 2 devido ao termo XY.
-- []s Felipe Pina ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
