Um aluno me passou uma equa��o de 1. Grau com duas inc�gnitas.
Quais os numeros inteiros que atendem a equa��o abaixo:
XY = X + Y
Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equa��o.
Teria como ter uma sa�da alg�brica?
Agrade�o
Ol�,
X(Y-1) = Y Como Y n�o pode valer 1, (Y-1) nunca vale zero. Ent�o, X = Y/(Y-1)
X inteiro <=> Y/(Y-1) = N/1 para algum N inteiro <=> mdc(Y,Y-1) = (Y-1)
Ou seja, Y deve ser m�ltiplo de (Y-1). Isto s� occorre quando Y � pequeno...
Por exemplo, se Y = 0 => (Y-1) = -1 e (-1).0 = 0
Vamos supor Y > 0.
Para ver que isto n�o ocorre quando Y fica suficientemente grande, olhe para a diferen�a entre
2*(Y-1) e Y
2*(Y-1) - Y = 2*Y - 2 - Y = Y - 2
Y - 2 > 0 <=> Y > 2
Logo, se Y > 2, 2*(Y-1) � maior que Y. Tamb�m � �bvio que Y-1 < Y. Logo Y n�o � m�ltiplo de (Y-1) => X n�o � inteiro.
Sabemos que Y n�o pode ser 1, e que Y = 0 satisfaz a equa��o. Falta apenas checar os valores negativos de Y. O caso Y = 2 tamb�m vale pois 2*1 = 2.
Y < 0 => (Y-1) < 0 => X, caso seja inteiro, � positivo. Logo ter�amos uma solu��o (X,Y) onde X � positivo e Y � negativo. Mas, como a equa��o � sim�trica com rela��o � troca de X por Y, (Y,X) tamb�m seria solu��o. Mas esta teria o segundo termo positivo, logo deveria aparecer na nossa an�lise anterior. � uma pena que as �nicas solu��es encontradas foram (0,0) e (2,2), pois isto significa que n�o h� solu��o onde os sinais das vari�veis sejam diferentes.
Se isto n�o foi satisfat�rio, suponha Y < 0. Ent�o Y-1 < -1 => -1*(Y-1) - Y = -Y + 1 - Y =
= - 2Y + 1 > 0
Ou seja, Y-1 < Y e -1*(Y-1) > Y. Logo X n�o � inteiro.
As �nicas solu��es inteiras s�o as que voc� apresentou :)
OBS : Acredito que esta equa��o � dita de grau 2 devido ao termo XY.
-- []s Felipe Pina ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
