Tarcio,
Para o problema 1, temos:
2x + y = 1 <=> y = -2x + 1 (I)
x^2 + 3xy + y^2 = (x+y)^2 + xy (II)
Substituindo I em II:
(1-x)^2 - 2x^2 + x = x^2 - 2x + 1 - 2x^2 + x = - x^2 - x + 1
Seja F(x) = - x^2 - x + 1, teremos o maior valor de x para:
F'(x) = - 2x - 1 = 0 ==> x = - 1/2
x = - 1/2 ==> y = -2(-1/2) + 1 = 2
Voltando em II:
(-1/2 + 2)^2 + 2*(-1/2) = 9/4 - 1 = 5/4
Resposta: A.
Para o problema 2,
x + y = 810 ==> y = 810 - x
mdc(x,y) = mdc(x,810-x) = mdc(x,810) = mdc(x,2*3^4*5) = 45 = 3^2 * 5
x = k * 3^2 * 5, tal que x < 810 e sendo k um n�mero inteiro, diferente de
zero, e n�o sendo m�ltiplo de 2 ou 3.
k = 1 ==> x = 1*3^2*5 = 45 e y = 765
k = 5 ==> x = 5*3^2*5 = 225 e y = 585
k = 7 ==> x = 7*3^2*5 = 315 e y = 495
k = 11 ==> x = 11*3^2*5 = 495 e y = 315
k = 13 ==> x = 13*3^2*5 = 585 e y = 225
k = 17 ==> x = 17*3^2*5 = 765 e y = 45
Logo, h� 6 pares (x,y), para os quais os valores de k pertencem a
{1,5,7,11,13,17}.
Resposta: A.
Para o problema 3,
(10a+b)^2 - (10b+a)^2 = (10c+c)^2
(10a+b+10b+a)(10a+b-10b-a) = (11c)^2
11*9*(a+b)(a-b) = 11^2*c^2
1*1*3*3*(a+b)(a-b) = 11*c*c
1� caso: c = 1
9(a+b)(a-b) = 11 ==> (a+b)(a-b) = 11/9 (n�o conv�m)
2� caso: c = 3
(a+b)(a-b) = 1*11
1� possibilidade:
(a+b=1 e a-b=11) <=> (a=6 e b=-5) (n�o conv�m)
2� possibilidade:
(a+b=11 e a-b=1) <=> (a=6 e b=5)
Logo, a+b+c = 6+5+3 = 14.
Resposta: D
Abra�os,
Rafael de A. Sampaio
----- Original Message -----
From: Tarcio Santiago
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, February 24, 2004 2:13 PM
Subject: [obm-l]
OL� AMIGOS ESTOU COM MAIS ALGUMAS D�VIDAS. PODERIAM AJUDAR POR FAVOR.
1) Se 2x + y = 1, com x e y reais, ent�o o maior valor da express�o x� +
3xy + y� � igual a ;
A)5/4 B)7/4 C)13/8 D)17/8 E)31/16
2) Se x e y s�o n�meros inteiros e positivos, representa-se o m�ximo
divisor comum de x e y por mdc (x,y); assim, o n�mero de pares ordenados
(x,y) que s�o solu��es do sistema :
x + y = 810
mdc(x,y)=45
A)6 B)8 C)10 D)16 E)18
3) Se a, b e c s�o algarismos distintos, no sistema de numera��o decimal
existe um �nico n�mero de dois algarismos (ab) tal que (ab)� - (ba)� =
(cc)�.
O valor de (a + b + c) � igual a:
A) 11 B)12 C)13 D)14 E)15
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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