--- rickufrj <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > SE ALGUEM PUDER AJUDAR A RESOLVER OS SEGUINTES > PROBLEMMAS: > > 1) UMA FUNÇÃO f EM R É DITA PERIÓDICA SE EXISTE T > PARA > TODO X PERTENCENTE A R f(X+T)=f(X).O MENOR T COM > ESSA > PROPRIEDADE É O PERÍODO DA FUNÇÃO . SE f(X) É > PERIÓDICA DE PERÍODO T , DETERMINE O PERÍODO DE G(X) > = > f(aX + b). Assumindo-se a<>0 e que f nao seja constante, o periodo minimo de g eh T/a. De fato, para todo x em R temos que g(x + T/a) = f(ax + T +b) = f(a*x +b) = g(x), de modo que T/a eh periodo de g. Se T/a nao for periodo minimo de g, entao g possui um periodo T'<T/a e, para algum natural n>=2, temos que T/a = n*T'. Logo, T' = T/(a*n)e g(x+T') = f(a*x + a*T' + b) = f(a*x + T/n + b) = g(x) = f(a*x + b) para todo x em R. Para todo real u existe sempre um real x tal que a*x + b = u, do que concluimos que f(u + T/n) = f(u) para todo real u. Segue-se que T/n eh periodo de f e, como n>=2, isto contraria a hipotese de T eh periodo minimo de f. Logo, T/a eh periodo minimo de g
> 2)SEJA f:[a,b] -> [a,b] QUALQUER . MOSTRE QUE EXISTE > X > PERTENCENTE A [a,b] TAL QUE f(X) = X. Isto eh verdade se f for continua em [a, b]. Se nao for, a afirmacao eh falsa. Assumindo-se continuidade de f, definamos g:[a,b] -> R por g(x) = x - f(x). Entao, g eh continua e apresenta a propriedade do valor intermediario. Como f(x) estah em [a,b] para todo x em [a,b], temos que g(a) = a -f(a) <=0 e g(b) = b - f(b) >=0. Se em uma destas desigualdades tivermos igualdade, entao a condicao desejada eh automaticamente atendida em a ou em b. Caso contrario, g(a) <0, g(b)>0 e a continuidade de g implica a existencia de algum x em (a,b) para o qual g(x) =0, o que equivale a f(x) = x. Assim, em qualquer caso existe x em [a,b] para o qual f(x) =x. O 3 fica para outra hora. Eh mais facil que os outros. Artur __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Tax Center - File online by April 15th http://taxes.yahoo.com/filing.html ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================