Muito Legal. Gostei!
Então a verdade então vc não deixou de aplicar um teste de
comparação, apenas fez uma comparação, como você mesmo disse "artesanal"
:).
O maior problema, no meu ponto de vista, é sacar a primeira vista
com o que comparar, ou que métodos usar para comparar.
No final das contas, você chegou 'a conclusão que
1/n^(4/3) > 2^(1/n) - 1 e em sua solução comparou o termo
geral da série dada com o termo geral
da série 1/n^a que sabemos convergir para a>1.
O mais interessante de tudo é que você não usou nenhum teorema de
séries
de antemão. Vc começou tuda a solução com matemática elementar !
Isso é fantástico!
Abraços.
Ronaldo.
Artur Costa Steiner wrote:
> Eu encontrei uma solucao um tanto artesanal.Partimos de lim (1 +
> 1/n)^n = e. Assim, temos tambem que lim (1 + 1/n^(4/3))^(n^(4/3)) =
> e, o que eh o mesmo que dizer que.
> lim (1 + 1/n^(4/3))^n = e^(3/4).
>
> Temos que e^(3/4) > (2,5)^(3/4) = (1 + 1,5)^(3/4) > 1 + 1,5 * 3/4 =
> 2,125 > 2 . Assim, para n suficientemente grande temos que
>
> (1 + 1/n^(4/3))^n > 2
>
> Tomando a raiz enésima, vem
> 1 + 1/n^(4/3) > 2^(1/n) e, portanto, 1/n^(4/3) > 2^(1/n) - 1. Para n
> suficientemente grande, temos portanto que0 < 2^(1/n) - 1 <
> 1/n^(4/3) Como 4/3 >1, a serie Soma 1/n^(4/3) converge. Por
> comparacao, concluimos entao que Soma ( 2^(1/n) - 1)
> converge,AbracosArtur .
>
> -----Mensagem original-----
> De: [EMAIL PROTECTED]
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso
> Enviada em: quinta-feira, 19 de abril de 2007 12:50
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma serie
>
>
>
> A série começa com 2 e os termos vão diminuindo até zero,
>
> assim dá para suspeitar que converge porque o termo geral
> tende a zero.
> Mas o termo geral tender a zero, não é uma condição
> suficiente para
> convergência. Precisamos de um critério, como o da
> comparação.
> Eu tentaria, de imediato, algo do tipo:
> Pegaria uma série que eu sei que
> converge tal como
> a_n = 1/(2^n-1), cuja conclusão se tira pela comparação
> com a série
> geométrica, e b_n = 2^(1/n) - 1 e calcularia
> o limite a_n/b_n quando n -> infinito. Foi isso que você
> fez?
>
> Ronaldo.
>
> Artur Costa Steiner wrote:
>
> > Achei a analise da convergencia/divergencia desta serie
> > interessante:Soma (n =1, oo) (2^(1/n) - 1)Conclui que
> > converge.AbracosArtur
>
