Oi Arthur. Eu confesso que não conferi as contas ... Bem, dado o que o Márcio falou abaixo acho que o esquema para provar a divergência é aplicar aquele o teste da comparação que diz que se lim (n-> oo) a_n/b_n = oo e b_n diverge então a_n diverge com a_n = 2^(1/n) - 1. Falta só achar a_n.
Marcio Cohen wrote: > Oi Arthur, > > Na verdade, "(1+1/n^(4/3))^(n^(4/3)) -> e" nao eh o mesmo que > "(1+1/n^(4/3))^n -> e^(3/4)" pq o expoente 4/3 esta soh no n e nao no > (1+1/n^(4/3))^n.. > > Acho inclusive que essa série diverge, pois como 2^x > 1+x*ln2 para x>0, temos > Soma ( 2^(1/n) - 1) > ln2*Soma (1/n) ... > > Abraços, > Marcio > > On 4/19/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > > > Eu encontrei uma solucao um tanto artesanal. > > > > Partimos de lim (1 + 1/n)^n = e. Assim, temos tambem que lim (1 + > > 1/n^(4/3))^(n^(4/3)) = e, o que eh o mesmo que dizer que > > . > > lim (1 + 1/n^(4/3))^n = e^(3/4). > > > > Temos que e^(3/4) > (2,5)^(3/4) = (1 + 1,5)^(3/4) > 1 + 1,5 * 3/4 = 2,125 > > > 2 . Assim, para n suficientemente grande temos que > > > > (1 + 1/n^(4/3))^n > 2 > > > > Tomando a raiz enésima, vem > > > > 1 + 1/n^(4/3) > 2^(1/n) e, portanto, 1/n^(4/3) > 2^(1/n) - 1. > > > > Para n suficientemente grande, temos portanto que > > > > 0 < 2^(1/n) - 1 < 1/n^(4/3) > > > > Como 4/3 >1, a serie Soma 1/n^(4/3) converge. Por comparacao, concluimos > > entao que Soma ( 2^(1/n) - 1) converge, > > > > Abracos > > > > Artur > > > > > > . > > > > -----Mensagem original----- > > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de > > ralonso > > Enviada em: quinta-feira, 19 de abril de 2007 12:50 > > Para: [email protected] > > Assunto: Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma serie > > > > > > A série começa com 2 e os termos vão diminuindo até zero, > > assim dá para suspeitar que converge porque o termo geral tende a zero. > > Mas o termo geral tender a zero, não é uma condição suficiente para > > convergência. Precisamos de um critério, como o da comparação. > > Eu tentaria, de imediato, algo do tipo: > > Pegaria uma série que eu sei que converge tal como > > a_n = 1/(2^n-1), cuja conclusão se tira pela comparação com a série > > geométrica, e b_n = 2^(1/n) - 1 e calcularia > > o limite a_n/b_n quando n -> infinito. Foi isso que você fez? > > > > Ronaldo. > > > > Artur Costa Steiner wrote: > > Achei a analise da convergencia/divergencia desta serie interessante:Soma > > (n =1, oo) (2^(1/n) - 1)Conclui que converge.AbracosArtur > > > > > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
