Pelo que me lembro a prova de Liouville (sobre a transcendência de pi) constrói inicialmente uma equação polinomial com grau n que teria como solução pi. Ele então prova que tal equação não existiria pois n deveria ser infinito. Isso como vc está dizendo parece ser diferente de considerar uma série de potências. Como você mesmo disse:
"Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0. Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e no entanto 0 está longe de ser transcendente. Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries de uma função." Podemos dizer que existem infinitos x para os quais sen(x) = 0, ou seja isso não define um número transcendente, mas um conjunto de números da forma 2*k*pi com k em Z, dos quais com exceção de um todos são transcendentes. O problema parece ser decidir quando a solução de uma "equação de grau infinito" oferece um número transcendente. É essa tarefa, que eu concordo, não é trivial. Provavelmente teremos que construir grupos associados, como fez Galois para o caso finito. Neste caso daria para provar que e+pi é transcendente. Bastaria construir uma "equação de grau infinito" que oferecesse e+pi como solução e ter um teorema de apoio que mostrasse que essa solução é transcendente. Ronaldo Luiz Alonso. [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá, > > É preciso ser um pouco cuidadoso com essa questão de transcendência. > > Eu responderia não à primeira pergunta do Demétrio. > Várias questões precisam ser respondidas quando você fala em grau > infinito. > > Eu entendo que com grau infinito você estaria provavelmente se > referindo > à uma série. Mas isso está longe de ser suficiente.. > > No exemplo do Ronaldo, pi/4 é solução de tg (x) = 1. > Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0. > Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e > no entanto 0 está longe de ser transcendente. > > Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de > uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries > de uma função. > > Quanto à segunda pergunta, não sei à qual prova o Ronaldo está > se referindo. > O que eu sei que Liouville fez foi dar uma caracterização dos > números transcendentes à partir do que ele chamou de aproximações > racionais, o que é diferente de pensar em séries, ou "polinômios > infinitos". > Trata-se de aproximar números com SEQUÊNCIAS de racionais. > > Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, não é uma > tarefa trivial.. especialmente a primeira. > Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente > por Schneider, que diz o seguinte: > > TEOREMA (Gelfond & Schneider): > * Se X e Y são números algébricos, X é diferente de zero e um, e B não > > é racional, então X^Y é transcendente. > > Como exemplo, temos que e^(pi) (mas não e + pi) é transcendente, > bem como 2^sqrt(2). > Contudo, a demonstração de tal teorema não é fácil. > Eu citaria como referência o livro do Ivan Niven, "Irrational > Numbers". > > Abraço, > > - Leandro. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================