Opa,
acho que consegui determinar a região... vamos lá:
0 <= x <= 1
0 <= y <= 1
0 <= x + cos(theta) <= 1
0 <= y + sen(theta) <= 1
logo:
0 <= x <= 1
0 <= y <= 1
-cos(theta) <= x <= 1 - cos(theta)
-sen(theta) <= y <= 1 - sen(theta)
portanto, podemos escrever nossas integrais do seguinte modo:
int {0 ... 2pi} int { 1-cos(theta) ... max(-cos(theta), 0) } int { 1 -
sen(theta) ... max( -sen(theta), 0) } dy dx dtheta
veja que nesta região, g(x, y, theta) = 1... portanto, basta integrarmos
mesmo!
Falta apenas determinarmos f(x, y, theta).. o que não está parecendo muito
difícil.
Antes, vamos apenas dividir esta integral em 4, para retirarmos os "max"...
int {0 ... pi/2} int {1-cos(theta) ... 0} int {1-sen(theta) ... 0} dy dx
d(theta) +
int {pi/2 ... pi} int {1-cos(theta) ... -cos(theta)} int {1-sen(theta) ...
0} dy dx d(theta) +
int {pi ... 3pi/2} int {1-cos(theta) ... -cos(theta)} int {1-sen(theta) ...
-sen(theta)} dy dx d(theta) +
int {3pi/2 ... 2pi} int {1-cos(theta) ... 0} int {1-sen(theta) ...
-sen(theta)} dy dx d(theta)
resolvendo, temos:
(pi/2 - 3/2) + (pi/2 - 1) + (pi/2) + (1 + pi/2) = 2pi - 3/2
[posso ter errado conta..]
vou pensar no f agora.. acredito que seja apenas dividir mais ainda nossas
integrais...
assim que concluir algo mando outra mensagem..
abraços,
Salhab
2008/6/30 Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>:
> Olá,
> estou tentando a seguinte abordagem:
> Seja f(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha com extremo no
> ponto (x,y) e ângulo theta em relação ao eixo das abscissas tocar na
> diagonal. E é 0 nos outros casos (quando não toca, ou quando a agulha
> estiver fora do quadrado).
> Seja g(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha está dentro do
> quadrado, e 0 se ela estiver fora do quadrado.
> A probabilidade desejada é:
> [ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta)
> d(theta) dy dx ] / [ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi}
> g(x, y, theta) d(theta) dy dx ]
>
> naturalmente, temos que se x > 1 ou x < 0 ou y > 1 ou y < 0, a agulha
> estará fora do quadrado. Portanto, podemos reduzir os intervalos de 0 a 1...
> mais que isso, se conseguirmos relacionar x, y e theta de modo que pegue
> todos os pontos em que a agulha está no quadrado, basta integrarmos dentro
> desta região.
> As simplificações iniciais são:
> [ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta) d(theta) dy dx ]
> / [ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} g(x, y, theta) d(theta) dy dx
> ]
>
> seja z = cis(theta) a nossa agulha na origem.
> e seja p = x + yi o ponto do extrema de nossa agulha.
> p+z = (x+cos(theta)) + (y+sen(theta))i é o outro extremo da nossa agulha.
> Para determinarmos se a agulha toca ou não na diagonal, temos 2 casos:
> i) x < y e x+cos(theta) > y+sen(theta)
> ii) x > y e x+cos(theta) < y+sen(theta)
>
> Para determinar a região em que a agulha está dentro do quadrado, temos:
> Re(p+z) <= 1 e Im(p+z) <= 1
> isto é:
> x + cos(r) <= 1 e y + sen(r) <= 1
>
> ainda não cheguei a nenhuma conclusão... analisei a região em um programa
> gráfico e estou tentando encontrar uma equação fechada para ela (para
> integrarmos nessa região... e passarmos a nos preocupar somente com a agulha
> tocar ou nao a diagonal).
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
> 2008/6/28 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> 1º Problema - este é MUITO difícil!
>>
>>
>>
>> Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são unitários.
>> Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta:
>>
>> 1) A própria diagonal da base; e
>>
>> 2) O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos.
>>
>>
>>
>> Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se,
>> aleatoriamente, dentro da caixa.
>>
>>
>>
>> Pergunta-se:
>>
>>
>>
>> Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base da
>> caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de reta
>> de número "1", descrito acima? E o de número "2"?
>>
>>
>>
>> Veja um problema análogo (mas, mais fácil!) em:
>> http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html
>>
>>
>> 2º Problema - este também é difícil, mas não tanto quanto o primeiro.
>>
>>
>> Considere um triângulo eqüilátero. Calcule a probabilidade de um segmento
>> de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e
>> por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior
>> do que a altura do triângulo.
>>
>>
>>
>> Paradoxo de Bertrand (Bertrand's Paradox): "Given a circle. Find the
>> probability that a chord chosen at random be longer than the side of an
>> inscribed equilateral triangle".
>>
>> Referência na Internet: http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html
>>
>
>
