Ola Murilo,
No seu enunciado esta SEQUENCIAS DE NUMEROS NATURAIS e nao SEQUENCIASCRESCENTES
DE NUMEROS NATURAIS. Mas se voce que que a sequenciaconstruida seja crescente e
facil :
Faca t(1) # s1(1)para "i" natural tal que i > 1, faca t(i) = K, onde K e um
natural talque K > { t(i-1), si(i) }. Isto garante que a sequencia T e
crescentee que e diferente da sequencia Si precisamente no ponto "i" [pois
t(i)> si(i) ], vale dizer, a sequencia T nao consta da enumeracao
onde,erradamente, estamos supondo que estao TODAS as sequencias. Nistoconsiste
o absurdo.
Este raciocinio e "conhecidissimo" e foi elaborado pela primeira vezpelo
Cantor. E o "raciocinio diagonal" que o Cantor usou para provarque o conjunto
dos numeros reais e nao-enumeravel.
Quanto a "construir explicitamente" nao e possivel, pois as enumracoessao
arbitrarias e temos que raciocinar em cima DE QUALQUER ENUMERACAOQUE SEJA
FEITA. Alem disso, aqui penetramos em uma discussao secular,vale dizer, se
podemos ou nao podemos admitir em matematica objetoscuja construcao exige um
numero de passos infinitos. Neste particulareu penso como o Hilbert : ninguem
nos tirara do paraiso que Cantorcriou para nos !
Um AbracoPSR, 31301091116
2009/1/13 Murilo Krell <murilo.kr...@gmail.com>:> Oi Paulo,>> muito obrigado
pela solução,>> porém uma dúvida que eu fiquei é, não é preciso construir
explicitamente a a> sequência que não vai constar na lista?,>> grande abraço e
obrigado novamente,>> Murilo>> 2009/1/13 Paulo Santa Rita
<paulo.santar...@gmail.com>>>>> Ola Murilo,>> Por que a sequencia g:N->N nao
pertence a "lista (enumeracao)>> desequencias" ? Acho que faltou tornar isto
MAIS CLARO. Alem disso,faltou>> enunciar claramente que "suponhamos que as
sequencias denumeros naturais>> seja enumeravel". Eis aqui uma demonstracao :>>
Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste>>
conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao>>
qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia>>
T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior :>> Facamos :>>
T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que>> n1 !
# si(i)>> Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e,>>
portanto,necessita estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T>>
naoesta na enumeracao pois ela e diferente de qualquer sequencia>> sn,n=1,2,...
precisamente no ponto "n". o que e um absurdo, poisestavamos>> supondo que o
conjunto S e enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma>> enumeracao dos seus
elementos, abrigando portando TODAS assequencias de>> numeros naturais.>>
Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que>> oconjunto
das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel.>> EXERCICIO DE ANALISE :
Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode>> serexpresso como uma uniao
enumeravel de conjunto infinitos, dois a>> doisdisjuntos.>> Um AbracoPSR,
31301090847>>>>>> 2009/1/12 Murilo Krell <murilo.kr...@gmail.com>:> Pessoal,>
continuando na>> labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha>
resolução>> para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender.>!
(estou tentando>> deixar a construção de soluções e o fo!
rmalismo apurado, por> favor,>> sugestões são muito bem vindas)>> Enunciado:
Prove que o conjunto das>> sequências de números natureais> (n1<n2<...) é
não-enumerável.>>>> resolução:>> Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequências
crescentes de>> números> naturais. vamos mostrar que nenhuma função F; N-> X
(N,N) pode ser>>> sobrejetiva.> Indicando por fm o valor de f no ponto m
pertencente a N>>>> Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma
sequência crescente>>> de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é
um número>> natural.>> Temos:>> f1:= ( f1(1) < f1(2 )< f1(3) <....< f1(n) < ...
) =>> F1(N)> f2:= ( f2(1) < f2(2 )< f2(3) <....< f2(n) < ... ) = F2(N)> .> .>
fm:=>> ( fm(1) < fm(2 )< f!>> m(3) <....< fm(n) < ... ) = Fm(N)> .> .>> Agora,
vamos "construir"uma>> sequência crescente g: N -> N que não esteja na> imagem
de f.> Como N é>> infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) > f1(1)>
No conjunto>> f2(N) coloque g(2) como!
sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos> tomar g(n) =>> fn(n-1)> assim formamos
uma nova sequência g que não pertence a lista de>> sequências> fn.>> Assim
nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as>> funções em X (N,N)>> abraços e
muito obrigado,> Murilo>>>>
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Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>>
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>>
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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