2012/4/8 Rogerio Ponce <[email protected]>: > Ola' Gabriel, > se cada casal viver por k+0.5 meses (0.5 e' para nao haver confusao > sobre a geracao de descendentes no momento em que o casal morre), > entao basta voce subtrair a quantidade de coelhos com idade igual ou > mais velhos que k+1 meses. > Assim, a resposta para o seu problema seria > F(n) - F(n-k-1) Bom, vou dizer que eu achei estranha essa resposta porque a sua seqüência satisfaz a mesma recorrência que o problema original, enquanto que eu acho que a recorrência aqui é
G(n+k+2) = G(n+k+1) + G(n+k) - G(n) (Ou seja, entre o mês n+k+1 e o seguinte, os coelhos que têm mais de 1 mês geram um novo casal, o que corresponde ao termo "+ G(n+k)", e os que são bem velhinhos morrem, o que dá o termo "- G(n)" ; isso dá k+1+0.5 meses de vida para os coelhos, seguindo a sua idéia). Ora, F(n+k+2) - F(n+alfa+2) = F(n+k+1) + F(n+k) - (F(n+alfa+1) + F(n+alfa)) = [F(n+k+1) - F(n+alfa+1)] + [F(n+k) - F(n+alfa)] que é a recorrência de Fibonacci (claro) para X(n) = F(n+k) - F(n+alfa). A mesma demonstração diz que nenhuma combinação de F(n)'s pode ser solução da recorrência modificada. Daí eu acho que você esqueceu de subtrair também os filhos que F(n) inclui para os coelhos "velhos demais". Quanto à recorrência que eu propus acima, eu acho que ela é bem mais chata de resolver porque o polinômio característico depende de k; x^(k+2) = x^(k+1) + x^k - 1. Sem computador, você já pode perceber que há sempre uma solução x = 1. Se k for ímpar, você também tem x = -1. Também sem computador, você pode acreditar que a maior solução é sempre menor do que Phi = (1 + raiz(5))/2, porque tem que haver menos coelhos do que no caso que eles são imortais, e você pode até chutar que a maior solução é "crescente". Com um computador, você pode continuar chutando: as raízes reais são apenas as que eu mostrei acima, e as outras são complexas de módulo menor do que 1. Talvez dê pra provar isso sem muito trabalho, mas sei lá. Eu acho que a gente também pode chutar que o módulo delas é maior do que o módulo de phi = (1 - raiz(5))/2, mas eu não tenho grandes justificativas pra isso não. Também parece que o módulo delas tende a 1 (ou seja de todas as raízes exceto a maior), e talvez isso seja mais fácli de demonstrar. Ah, outra coisa importante de chutar (depois disso tudo) é que as raízes são todas simples, porque daí basta saber qual é a maior, e o coeficiente das raízes 1 e -1 para achar os valores para n grande por truncamento ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
