Eu acho que cheguei atrasado à discussão, mas, enfim, o modo como provo que F_m
divide F_{km} (é isso que era para provar?) é ver tudo módulo F_m (= aqui vai
significar "congruente mód F_m"): F_m = 0 e F_{m+1} = F_{m-1} e a partir daí,
como é usual, F_{m+n} = F_{m+n-1} + F_{m+n-2}. Mas isso é o mesmo que Fibonacci
multiplicado por F_{m-1}, ou seja, F_{m+n} = F_{m-1}*F_n. Em particular, F_{2m}
= F_{m-1}*F_m = 0. E F_{2m+1} = F_{m-1}^2. Não é difícil ver, então, e prova-se
por indução, que F_{km+n} = (F_{m-1})^kF_n, e considerando que F_m e F_{m-1}
são primos entre si (use o algoritmo de Euclides para provar isso), temos na
verdade que F_m divide F_n *se, e somente se,* m divide n.
[]'s
Shine
----- Original Message -----
From: Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Sent: Wednesday, April 25, 2012 12:29 PM
Subject: Re: [obm-l] Fibonacci
2012/4/25 Carlos Nehab <carlos.ne...@gmail.com>:
> Oi Marcone,
>
> A forma mais simples de provar esta joça é usar duas coisinhas:
>
> 1) a^(km) - b^(km) é divisível por a^m - b^m e
> 2) a formuleta do Binet para o termo geral da sequência de Fibonacci...
The chato Strikes Back
Claro que o raiz(5) do denominador vai "pros dois" F_(km) e F_m. O
problema é que o outro fator, a saber
a^{(k-1)m} + a^{(k-2)m} * b + ... + b^{(k-1)m}
tem um montão de números irracionais (começando com a e b,
respectivamente (raiz(5) - 1)/2 e (raiz(5) + 1)/2, que eu chamo de
phi-zinho e Phi-zão). Claro que F_(km) e F_m são inteiros (não é ?) e
portanto o "outro fator" é, apesar dos pesares (irracionais),
racional. Então, ainda tem um pouquinho de trabalho (e talvez um
montão...) pra provar que essa galera toda somada dá um número
inteiro.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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