2013/8/23 <[email protected]>: > Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram > alguns problemas do site https://brilliant.org/ > > PROBLEMA 1: Dada uma função f:R->R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x) é > um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de f(x). Bom, f(x) é dada por 14 coeficientes a_i. A equação que você tem dá um monte de condições sobre estes coeficientes: para cada x, tem uma condição.
Por exemplo, x = 0 dá f(-1) = 2f(0)^2 - 1, f(-1) é uma soma alternada, f(0)^2 é apenas (a_0)^2. Escolhendo um monte de x's, você obtém bastante equações, e resolve. Dá pra fazer (um pouco) menos grotesco, porque você pode escrever (a_0 + a_1 * x + a_2 * x^2 + .... + a_13 * x^13)^2, separando por grau. Duas funções polinomiais em R são iguais se e somente se os coeficientes forem iguais. Assim, identifique os coeficientes de ambos os lados, e parta pro abraço. Pra entender porque isso sempre dá certo, vale a pena lembrar de Álgebra Linear (também se ensina um pouco desse tipo de intuição em cursos de "Geometria Algébrica classica"). Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
