OK, me interessei por esse problema. Eu estava pensando no seguinte: considere os pontos fixos r de f. Então se r é ponto fixo 2r^2 - 1 também é. Escreva r=(t+1/t)/2 (t pode ser complexo). Então 2r^2-1 = (t^2+1/t^2)/2. Pensando nos t's, temos que se t dá ponto fixo então t^2 também dá. Se |t| > 1, então |t^2| > |t| e iterando essa ideia encontramos infinitos pontos fixos para f, o que é impossível pois f(x) - x é um polinômio de grau 13. O mesmo problema ocorre se |t| < 1.
Então t é da forma t = cos(a) + isen(a) e todos os pontos fixos são da forma cos(a). Note que se cos(a) é ponto fixo então cos(2a) também é. Ah, e a observação do Ralph prova que 0 é ponto fixo (e raiz), e é fácil ver que 1 e -1 também são pontos fixos. Bom, outra coisa é que os polinômios de Chebyshev (http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials) devem ajudar. De fato, sendo T o polinômio de Chebyshev de grau 13, T(cos(a)) = cos(13a), ele satisfaz a equação: de fato, T(2cos^2(a)-1) = T(cos(2a)) = cos(26a) = 2cos^2(13a) - 1 = 2T^2(cos(a))-1, e como a pode assumir infinitos valores, a identidade polinomial também segue. Nesse caso, uma consulta rápida nos dá 2912 como resposta. Agora, ainda não provei que só pode ser ele... e deve ter algo mais fácil. []'s Shine ----- Original Message ----- From: Ralph Teixeira <[email protected]> To: [email protected] Cc: Sent: Sunday, August 25, 2013 4:36 PM Subject: Re: [obm-l] Como que faz?? Vamos reduzir um pouco as coisas... Botando -x no lugar de x, descobrimos que f(x)^2=f(-x)^2, isto eh, (f(x)+f(-x))(f(x)-f(-x))=0. Agora, ambas as expressoes em parenteses sao polinomios, entao o unico jeito deste produto ser identicamente nulo eh se um dos termos o for. Em suma: f(x) eh par ou f(x) eh impar. Como f tem grau 13 (ao inves de "menor ou igual a 13"), f(x) tem que ser impar. Isto nao mata o problema, mas reduz um bocado o trabalho... Abraco, Ralph 2013/8/25 Eduardo Wilner <[email protected]>: > De uma ou de outra forma dá "bastante equações" mesmo! (seriam quatorze?) > > > [ ]'s > > ________________________________ > De: Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]> > Para: [email protected] > Enviadas: Sexta-feira, 23 de Agosto de 2013 19:45 > Assunto: Re: [obm-l] Como que faz?? > > 2013/8/23 <[email protected]>: >> Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram >> alguns problemas do site https://brilliant.org/ >> >> PROBLEMA 1: Dada uma função f:R->R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x) >> é >> um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de >> f(x). > Bom, f(x) é dada por 14 coeficientes a_i. A equação que você tem dá um > monte de condições sobre estes coeficientes: para cada x, tem uma > condição. > > Por exemplo, x = 0 dá f(-1) = 2f(0)^2 - 1, f(-1) é uma soma alternada, > f(0)^2 é apenas (a_0)^2. Escolhendo um monte de x's, você obtém > bastante equações, e resolve. > > Dá pra fazer (um pouco) menos grotesco, porque você pode escrever (a_0 > + a_1 * x + a_2 * x^2 + .... + a_13 * x^13)^2, separando por grau. > Duas funções polinomiais em R são iguais se e somente se os > coeficientes forem iguais. Assim, identifique os coeficientes de ambos > os lados, e parta pro abraço. > > Pra entender porque isso sempre dá certo, vale a pena lembrar de > Álgebra Linear (também se ensina um pouco desse tipo de intuição em > cursos de "Geometria Algébrica classica"). > > Abraços > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
