Vamos reduzir um pouco as coisas... Botando -x no lugar de x,
descobrimos que f(x)^2=f(-x)^2, isto eh, (f(x)+f(-x))(f(x)-f(-x))=0.
Agora, ambas as expressoes em parenteses sao polinomios, entao o unico
jeito deste produto ser identicamente nulo eh se um dos termos o for.
Em suma: f(x) eh par ou f(x) eh impar. Como f tem grau 13 (ao inves de
"menor ou igual a 13"), f(x) tem que ser impar. Isto nao mata o
problema, mas reduz um bocado o trabalho...
Abraco,
Ralph
2013/8/25 Eduardo Wilner <[email protected]>:
> De uma ou de outra forma dá "bastante equações" mesmo! (seriam quatorze?)
>
>
> [ ]'s
>
> ________________________________
> De: Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]>
> Para: [email protected]
> Enviadas: Sexta-feira, 23 de Agosto de 2013 19:45
> Assunto: Re: [obm-l] Como que faz??
>
> 2013/8/23 <[email protected]>:
>> Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram
>> alguns problemas do site https://brilliant.org/
>>
>> PROBLEMA 1: Dada uma função f:R->R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x)
>> é
>> um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de
>> f(x).
> Bom, f(x) é dada por 14 coeficientes a_i. A equação que você tem dá um
> monte de condições sobre estes coeficientes: para cada x, tem uma
> condição.
>
> Por exemplo, x = 0 dá f(-1) = 2f(0)^2 - 1, f(-1) é uma soma alternada,
> f(0)^2 é apenas (a_0)^2. Escolhendo um monte de x's, você obtém
> bastante equações, e resolve.
>
> Dá pra fazer (um pouco) menos grotesco, porque você pode escrever (a_0
> + a_1 * x + a_2 * x^2 + .... + a_13 * x^13)^2, separando por grau.
> Duas funções polinomiais em R são iguais se e somente se os
> coeficientes forem iguais. Assim, identifique os coeficientes de ambos
> os lados, e parta pro abraço.
>
> Pra entender porque isso sempre dá certo, vale a pena lembrar de
> Álgebra Linear (também se ensina um pouco desse tipo de intuição em
> cursos de "Geometria Algébrica classica").
>
> Abraços
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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