Muito obrigado, Ralph e Pacini. Continuo em dúvida:
Como expressar em linguagem formal as afirmações "x tende para a", "x tende a mais infinito" e "x tende a menos infinito"? Como provar que as afirmações "x tende a mais infinito" e "x + r tende a mais infinito" são equivalentes? ( x é variável real e r é uma constante real) —-- Questão já proposta na Lista. Abraços do Pedro Chaves _________________________ ________________________________ > Date: Wed, 1 Jan 2014 13:02:24 -0200 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite > de uma variável > From: [email protected] > To: [email protected] > > Desculpa, Pacini, mas isto nao faz sentido se voce nao disser algo > sobre o que x significa. A frase que voce escreveu: > > "para todo k>0, existe x real tal que 0<|x-a|<k" > > eh simplesmente VERDADEIRA, sempre -- SEMPRE existe esse x real, basta > tomar x=a+k/2, por exemplo. > > ---///--- > > Entao, Pedro, nao existe (pelo menos nos Calculos iniciais) limite "de > uma variavel" sem que ela dependa de outras. Existem varios tipos de > limite, mas todos eles sao: > > "o limite de ALGO, quando ALGO OUTRO vai para ALGUM LUGAR..." > > Tah, ficou horrivel quando dito assim... Deixa eu tentar de novo com > letras; o que faz sentido eh: > > "o limite de y, quando x vai para A" (nao apenas "limite de y"). > > Ai voce pergunta "como assim limite de y se eh o x que vai para algum > canto?" Pois eh, esta frase soh faz sentido se y depender de x de > alguma maneira clara, isto eh, se y for uma funcao de x. > > Entao vamos comecar tudo de novo: seja x uma variavel independente > (estou omitindo alguns detalhes tecnicos sobre o dominio de x; suponha > que eh um intervalo real), seja A um numero real fixo, e seja y=f(x) (y > eh uma funcao de x). A frase > > lim_(x->A) f(x) = L (ou, equivalentemente, lim_(x->A) y=L ) > (le-se: "o limite de f(x), quando x tende a A, eh igual a L;ou "y > tende a L quando x tende a A") > > SIGNIFICA > > "eh possivel garantir que y=f(x) fique tao perto quanto eu quiser de L, > bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A" > (ou em linguagem mais formal, algo parecido com o que o Kelvin falou > ali em cima). > > ---///--- > > Voce quer limites infinitos? Ou limites no infinito? Tah, mudamos um > pouquinho: > > lim_(x->A) f(x)=+Inf > SIGNIFICA > "eh possivel garantir que f(x) fique tao grande quanto eu queira, > bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A" > (formalmente: para todo K real, existe delta tal que vale > |x-A|<delta ==> f(x)>K) > > lim_(x->+Inf) f(x)=L > SIGINIFICA > "eh possivel garantir que f(x) fique tao perto quando eu quiser de L, > bastando para tanto que x seja suficientemente grande" > (para todo eps>0, existe K real tal que vale x>K ==> > |f(x)-L|<delta) > > Note que isto tudo merece uma leitura cuidadosa, de varios dias.... Eu > sugiro um bom livro de calculo, como o Stewart para as ideias iniciais, > ou o Guidorizzi para algo um pouco mais formal; ou o do Elon se voce > quiser ir direto para a parte BEM formal. > > Abraco, > Ralph > > > 2014/1/1 Pacini Bores <[email protected]<mailto:[email protected]>> > Olá Pedro, > > Podemos definir o que desejas da seguinte forma :" limx =a" , com a real; > > " para todo k>0 , existe x real tal que 0 < |x - a| < k " . > > Abraços > > Pacini > > > Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves > <[email protected]<mailto:[email protected]>> escreveu: > > ________________________________ >> Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável >> From: [email protected]<mailto:[email protected]> >> To: [email protected]<mailto:[email protected]> > > Olá, Kelvin! > > Muito obrigado! > > Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não > de uma função. > > Feliz Ano Novo! > Pedro Chaves > _______________________________ >> > > > Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não >> necessariamente definida em a, temos que: >> Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x >> tende a um número a. >> Se, e somente se, existir um número ε> 0, e que para cada ε, existir >> um número δ> 0, e qualquer que seja o x, seja válido: >> 0 < |x - a| < δ que implica em |ƒ(x) - L| < ε. >> >> >> >> Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves >> > <[email protected]<mailto:[email protected]><mailto:[email protected]<mailto:[email protected]>>> > > escreveu: >> Qual a definição de limite de uma variável real? >> >> Feliz 2014 para todos!!! >> >> Pedro Chaves >> _________________________________ >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >> acredita-se estar livre de perigo. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
