2015-01-15 17:32 GMT-02:00 Carlos Yuzo Shine <[email protected]>:
> Outra maneira, partindo de e^x > 1 + x *para todo x > 0* (é, aqui parece que
> precisa de pelo menos um pouco de Cálculo),
Não... enfim, precisa de Análise, mas deixando isso de lado:
exp(x) = lim_{n -> infinito} (1 + 1/n)^(nx)
Ora, pelo fórmula do binômio (1 + a)^b = 1 + ab + a^2 * Comb(b, 2 a 2)
+ ... > 1 + ab
Logo exp(x) >= lim (1 + 1/n * nx) = 1 + x
> é
>
> e^x = (e^(x/2))^2 > (1 + x/2)^2 = 1 + x + x^2/4.
>
> Aqui, aplicamos a desigualdade acima com x/2 no lugar do x.
Fantástico. Isso explica inclusive porque a questão está com um x^2/4
e não x^2/2 (que quem sabe Cálculo poderia usar).
> []'s
> Shine
Aliás, continuando a minha idéia até o segundo termo:
exp(x) >= lim (1 + 1/n * nx + (1/n)^2 * (nx * (nx - 1))/2) = lim (1 +
x + x*(x - 1/n)/2) = 1 + x + x^2/2
Então, sei lá qual a razão profunda do x^2/4...
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Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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