Note:
S(2n) eh divisivel por 9, entao
2n eh divisivel por 9, entao
n eh divisivel por 9, entao
S(n) eh divisivel por 9, entao
S(2n) eh divisivel por 81, entao
S(n) eh divisivel por 144.
Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...
Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
de 2n:
Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver "vai um")
Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver "vai um" da casa anterior)
Agora:
i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
"9"s...
ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
"contribuem" para este "deficit" sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
"5" e "6".
iii) Minha estrategia de encher n de "5", "6" e "9" significa um monte de
"vai um" na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
deficit quando tem "vai um".
Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A5555....5555999....9999, onde esse
A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os "5" antes
dos "9" para o numero ficar o menor possivel.
Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:
1n= A55...5599...99
2n=BC11...1199...98
onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o A
ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
S(n)=144.
Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:
B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}
Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel. Entao
vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para chegar
ao meu primeiro palpite para n:
1n=065 555 555 555 555 559 999 999
2n=131 111 111 111 111 119 999 998
Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6 num
lugar melhor. Troquemos para:
1n=055 555 555 555 555 569 999 999
2n=111 111 111 111 111 139 999 998
A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)>=288, que jah
seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.
Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
possivel! Ou tem algum menor?
---///---
Abraco, Ralph.
2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes <
[email protected]>:
>
> Não dependeria da quantidade de algarismos de n?
>
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Prof. Msc. Alexandre Antunes
> www alexandre antunes com br
>
> Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo <
> [email protected]> escreveu:
>
>> Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
>> Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
>> 9.S(n) = 16.S(2n).
>>
>> --
>> Abraços
>>
>> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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