Pedro, Pode ser... o peguei de uma olimpíada argentina...o enunciado original era:
"Para cada número natural x sea S(x) la suma de sus dígitos. Hallar el menor número natural n tal que 9S(n) = 16S(2n)". Penso que n = 0 é muito trivial mas, vai lá tudo bem, sendo rigoroso... n>0... ;) ---- Valeu Ralph. Em 31 de julho de 2015 14:04, Pedro José <[email protected]> escreveu: > Bom dia! > > Não consegui compor o número. Só tinha visto para 16 e 17 algarismos e não > achei resultado. > Porém, o enunciado, embora claro na intenção da pergunta, não o é na > redação: "... *do número estritamente natural x..."* ao invés de: ... *do > número natural x*.. seria o certo. > Uma vez que zero atente a proposição. > > x=0 ==> S(n)=S(2n)=0 ==> 9S(n) = 16S(2n)=0. > > Saudações, > PJMS > > > Em 31 de julho de 2015 12:05, Ralph Teixeira <[email protected]> escreveu: > >> Note: >> S(2n) eh divisivel por 9, entao >> 2n eh divisivel por 9, entao >> n eh divisivel por 9, entao >> S(n) eh divisivel por 9, entao >> S(2n) eh divisivel por 81, entao >> S(n) eh divisivel por 144. >> >> Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e >> S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas, >> como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n? >> Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n... >> >> Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n >> e de 2n: >> Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 >> Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver "vai um") >> Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver "vai um" da casa anterior) >> >> Agora: >> i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos >> algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de >> "9"s... >> ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso >> que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor >> "contribuem" para este "deficit" sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de >> "5" e "6". >> iii) Minha estrategia de encher n de "5", "6" e "9" significa um monte de >> "vai um" na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor >> deficit quando tem "vai um". >> >> Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A5555....5555999....9999, onde >> esse A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os "5" >> antes dos "9" para o numero ficar o menor possivel. >> >> Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria: >> >> 1n= A55...5599...99 >> 2n=BC11...1199...98 >> onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o >> A ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que >> S(n)=144. >> >> Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63, >> preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas >> 10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem: >> >> B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1} >> >> Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel. >> Entao vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para >> chegar ao meu primeiro palpite para n: >> >> 1n=065 555 555 555 555 559 999 999 >> 2n=131 111 111 111 111 119 999 998 >> >> Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6 >> num lugar melhor. Troquemos para: >> >> 1n=055 555 555 555 555 569 999 999 >> 2n=111 111 111 111 111 139 999 998 >> >> A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo >> S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)>=288, que jah >> seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso. >> >> Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n >> possivel! Ou tem algum menor? >> >> ---///--- >> >> Abraco, Ralph. >> >> 2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes < >> [email protected]>: >> >>> >>> Não dependeria da quantidade de algarismos de n? >>> >>> >>> >>> >>> Atenciosamente, >>> >>> Prof. Msc. Alexandre Antunes >>> www alexandre antunes com br >>> >>> Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10. >>>> Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade: >>>> 9.S(n) = 16.S(2n). >>>> >>>> -- >>>> Abraços >>>> >>>> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
