Bom dia! Não consegui compor o número. Só tinha visto para 16 e 17 algarismos e não achei resultado. Porém, o enunciado, embora claro na intenção da pergunta, não o é na redação: "... *do número estritamente natural x..."* ao invés de: ... *do número natural x*.. seria o certo. Uma vez que zero atente a proposição.
x=0 ==> S(n)=S(2n)=0 ==> 9S(n) = 16S(2n)=0. Saudações, PJMS Em 31 de julho de 2015 12:05, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu: > Note: > S(2n) eh divisivel por 9, entao > 2n eh divisivel por 9, entao > n eh divisivel por 9, entao > S(n) eh divisivel por 9, entao > S(2n) eh divisivel por 81, entao > S(n) eh divisivel por 144. > > Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e > S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas, > como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n? > Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n... > > Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e > de 2n: > Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 > Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver "vai um") > Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver "vai um" da casa anterior) > > Agora: > i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos > algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de > "9"s... > ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso > que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor > "contribuem" para este "deficit" sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de > "5" e "6". > iii) Minha estrategia de encher n de "5", "6" e "9" significa um monte de > "vai um" na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor > deficit quando tem "vai um". > > Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A5555....5555999....9999, onde > esse A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os "5" > antes dos "9" para o numero ficar o menor possivel. > > Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria: > > 1n= A55...5599...99 > 2n=BC11...1199...98 > onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o A > ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que > S(n)=144. > > Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63, > preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas > 10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem: > > B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1} > > Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel. Entao > vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para chegar > ao meu primeiro palpite para n: > > 1n=065 555 555 555 555 559 999 999 > 2n=131 111 111 111 111 119 999 998 > > Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6 > num lugar melhor. Troquemos para: > > 1n=055 555 555 555 555 569 999 999 > 2n=111 111 111 111 111 139 999 998 > > A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo > S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)>=288, que jah > seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso. > > Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n > possivel! Ou tem algum menor? > > ---///--- > > Abraco, Ralph. > > 2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes < > prof.alexandreantu...@gmail.com>: > >> >> Não dependeria da quantidade de algarismos de n? >> >> >> >> >> Atenciosamente, >> >> Prof. Msc. Alexandre Antunes >> www alexandre antunes com br >> >> Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo < >> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu: >> >>> Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10. >>> Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade: >>> 9.S(n) = 16.S(2n). >>> >>> -- >>> Abraços >>> >>> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.