Bom dia!

Não consegui compor o número. Só tinha visto para 16 e 17 algarismos e não
achei resultado.
Porém, o enunciado, embora claro na intenção da pergunta, não o é na
redação:  "... *do número estritamente natural x..."* ao invés de: ... *do
número natural x*..  seria o certo.
Uma vez que zero atente a proposição.

x=0 ==> S(n)=S(2n)=0 ==> 9S(n) = 16S(2n)=0.

Saudações,
PJMS


Em 31 de julho de 2015 12:05, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu:

> Note:
> S(2n) eh divisivel por 9, entao
> 2n eh divisivel por 9, entao
> n eh divisivel por 9, entao
> S(n) eh divisivel por 9, entao
> S(2n) eh divisivel por 81, entao
> S(n) eh divisivel por 144.
>
> Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
> S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
> como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
> Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...
>
> Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
> de 2n:
> Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
> Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver "vai um")
> Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver "vai um" da casa anterior)
>
> Agora:
> i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
> algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
> "9"s...
> ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
> que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
> "contribuem" para este "deficit" sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
> "5" e "6".
> iii) Minha estrategia de encher n de "5", "6" e "9" significa um monte de
> "vai um" na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
> deficit quando tem "vai um".
>
> Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A5555....5555999....9999, onde
> esse A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os "5"
> antes dos "9" para o numero ficar o menor possivel.
>
> Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:
>
> 1n=  A55...5599...99
> 2n=BC11...1199...98
> onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o A
> ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
> S(n)=144.
>
> Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
> preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
> 10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:
>
> B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}
>
> Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel. Entao
> vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para chegar
> ao meu primeiro palpite para n:
>
> 1n=065 555 555 555 555 559 999 999
> 2n=131 111 111 111 111 119 999 998
>
> Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6
> num lugar melhor. Troquemos para:
>
> 1n=055 555 555 555 555 569 999 999
> 2n=111 111 111 111 111 139 999 998
>
> A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
> S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)>=288, que jah
> seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.
>
> Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
> possivel! Ou tem algum menor?
>
> ---///---
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com>:
>
>>
>> Não dependeria da quantidade de algarismos de n?
>>
>>
>>
>>
>> Atenciosamente,
>>
>> Prof. Msc. Alexandre Antunes
>> www alexandre antunes com br
>>
>> Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo <
>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
>>> Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
>>> 9.S(n) = 16.S(2n).
>>>
>>> --
>>> Abraços
>>>
>>> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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