2015-07-31 12:05 GMT-03:00 Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>: > Note: > S(2n) eh divisivel por 9, entao > 2n eh divisivel por 9, entao > n eh divisivel por 9, entao > S(n) eh divisivel por 9, entao > S(2n) eh divisivel por 81, entao > S(n) eh divisivel por 144. > > Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e > S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas, > como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n? > Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n... > > Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e > de 2n: > Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 > Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver "vai um") > Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver "vai um" da casa anterior) > > Agora: > i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos > algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de > "9"s... > ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso que > os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor > "contribuem" para este "deficit" sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de "5" > e "6". > iii) Minha estrategia de encher n de "5", "6" e "9" significa um monte de > "vai um" na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor > deficit quando tem "vai um".
Talvez usando 6 em vez de 5 (mas com menos 9's) você chegasse em um número menor, sei lá, com uma casa decimal a menos. Mas não dá. Curiosamente, o número n = 66666666666666666666699 também satisfaz S(2n) = 81, mas ele também tem 23 dígitos. Se substituirmos 3 seis por 2 noves no final a soma de 2n vai aumentar (para 90). > 1n=055 555 555 555 555 569 999 999 > 2n=111 111 111 111 111 139 999 998 > > A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo > S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)>=288, que jah > seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso. > > Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n > possivel! Ou tem algum menor? Motivado pelo meu fracasso, eu sei provar que há pelo menos 23 dígitos. Escreva n = 5 * X + Y, onde X tem apenas zeros e uns, e Y apenas números de 0 a 4. Assim, 2n = 10X + 2Y, onde não há "vai uns" na multiplicação 2Y. Portanto: S(n) = 5 * S(X) + S(Y) S(2n) = S(X) + 2*S(Y) Usando S(n) = 144 e S(2n) = 81 como você já mostrou que basta, temos que a solução deste sistema é S(X) = 23, ou seja, há 23 "vai-uns". O que quer dizer que toda solução tem que ter pelo menos 23 dígitos. Mais ainda, a soma dos dígitos em Y é 29 (terminando de resolver o sistema e o problema!), que devem ser distribuídos "o mais para trás possível" no número 55 555 555 555 555 555 555 555 Assim, botamos 7 vezes "+4" no final do número, e um "+1", que dá a sua solução. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
