Seu orgulho talvez seja justificado! Como você descobriu que qualquer terno ordenado da forma ( x , y , -(x+y)/2 ) é solução da equação "sem o 1"? Isso não me parece nem um pouco óbvio.
Eu sei que, dados três inteiros, pelo menos dois devem ter a mesma paridade, e que, como a equação é simétrica em x,y,z, podemos supor spdg que x e y têm a mesma paridade. Mas daí a termos z = -(x+y)/2 é um salto bastante longo. Além disso, supor uma solução com z = -(x+y)/2 + h para a equação original (com o 1) também me parece uma sacada brilhante, ainda que leve a um "salseiro". []s, Claudio. 2018-03-20 16:33 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: > Boa tarde! > > Ralph, > parabéns pela sua resolução. > Já, eu, caminhei por caminhos bem mais tortuosos. > Embora extremamente deselegante é uma solução. > > Se xo,yo,zo é uma solução, temos que pelo menos duas incógnitas têm a > mesma paridade. > Como o problema é simétrico, sem perda de generalidade, vamos supor que xo > e yo tenham a mesma paridade. > então podemos escrever zo = -(xo+yo)/2 + h, com h inteiro. > Sabendo-se que : [xo,yo, -(xo+yo)/2] é solução da equação sem o "1". > > e substituindo na equação original: > > h^3 + 2(xo+yo)h^2+ (3/4 (x+y)^2 + xy) h - 1=0. > > Como os coeficientes são inteiros as únicas possibilidades de h inteiro > são 1 e -1. > > h=1. > > Seja a= xo +yo > > 3a^2 + 8a + 4xoyo=0 > > xoyo >0, temos que 8|a| > 3a^2 ==> |a| < 8/3 ==>|a|=2, portanto xo= -1 e > yo=-1(não podem ser positivos). Temos z=-(xo+yo)/2+h=0. (-1,-1,2) e suas > permutações são soluções. > > xo.yo = 0 temos a=0 ou a= -8/3 (não atende) ==> xo=yo=0, z= 1. (0,0,1) e > suas permutações são soluções. > > xo.y0 <0 > > 3a^2 + 8a + 4xoyo=0 > > para ter solução a inteiro:Δ = (8 + 6i)^2 ==> 64 - 48 xoyo = 64 + 96 i > + 36 i^2 ==> xoyo = - (2i + 3î^2/4), com i par. > > a= i e xoyo = -(2i+ 3i^2/4) então xo e yo são soluções da equação t^2 -it > - (2i +3i^2/4) = 0. i =2k; t^2 -2kt-(4k+3k^2)=0 > > Δ = 4k^2 +16k + 12k^2 = 16k(k+1), que nunca será um quadrado perfeito com > k<>0. Então não há soluções inteiras. (k=0, recaí em xoyo=0) > > h=-1 > > Seja a= xo+yo > > -3a^2 +8a -( 4xoyo - 8) = 0 > > 4xoyo> 8 ==> 8a >3a^2; a <=2; absurdo não atende 4xoyo>8. > > 4xoyo-8=0 > > temos que a=o, não há inteiros que xoyo=2 e xo+yo=0. > > 4xoyo - 8 < 0 > > Δ = (8 + 6i)^2 ; 64 - 48xoyo + 32 = 64 + 96 i + 36 i^2; xoyo = -2/3 + 2i > + 3/4i^2, xoyo não pertence aos inteiros não há solução. > > > Ficam apenas: (0,0,1) ; (0,1,0); (1,0,0) ; (-1,-1,2); (-1,2;-1); (2,-1,-1) > > Ralph, > > Fiz esse salseiro todo, ao invés de fatorar. E olha, que ontem estava > orgulhoso de ter achado a solução. > > > Saudações, > PJMS > > > > Em 20 de março de 2018 12:10, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > >> É acabou me ajudando. Resolvi de uma outra forma, mais complicada, usando >> a fórmula. Quando tiver um tempo eu posto. >> >> >> Em 19 de mar de 2018 21:02, "Ralph Teixeira" <ralp...@gmail.com> >> escreveu: >> >>> Opa, opa, opa! Pedro, voce achou uma formula assim generica, z=-(x+y)/2, >>> que resolve esta equacao? Beleza, excelente ideia, temos um caminho! >>> >>> Porque, se z=-(x+y)/2 eh SEMPRE solucao disso (independente de >>> "inteiros" ou nao), quer dizer que essa coisa horrorosa, passando tudo para >>> o outro lado, tem z+(x+y)/2 como fator, ou seja, x+y+2z como fator. >>> Analogamente, vai ter 2x+y+z e x+2y+z tambem! >>> >>> Em suma, a gente pode voltar na primeira equacao com a sua ideia, jogar >>> tudo para a esquerda (exceto pelo 1 chato que nao aparece na sua >>> expressao), e fatorar. Vejamos... Acho que fica assim: >>> >>> 1/2*(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=1 >>> (2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=2 >>> >>> Confiram se eu nao errei contas... Mas agora ficou **bem** facil! :D >>> >>> Abraco, Ralph. >>> >>> 2018-03-19 14:33 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: >>> >>>> Bom dia! >>>> >>>> Estou só conjecturando. Pois, não consegui nenhuma restrição. >>>> A única coisa que consegui, mas não me adiantou de nada, é que: >>>> x,y pares ou x,y ímpares e z = -(x+y)/2 é solução de >>>> >>>> *(x + y)(y + z)(z + x)/2 + (x + y + z)3 = – xyz* >>>> Também, não consegui provar que é a única família de solução da >>>> equação acima para inteiros. >>>> >>>> Em 19 de março de 2018 14:14, Claudio Buffara < >>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>>> Podem existir soluções não triviais envolvendo inteiros negativos. >>>>> >>>>> 2018-03-19 10:17 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: >>>>> >>>>>> Bom dia! >>>>>> >>>>>> Poderia postar a solução? Não consegui achar nenhuma restrição para >>>>>> trabalhar num subconjunto pequeno dos inteiros. >>>>>> Creio que vá ser apenas a trivial (0,0,1) e suas permutações. >>>>>> >>>>>> grato, >>>>>> PJMS >>>>>> >>>>>> Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima < >>>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>>>>> >>>>>>> Essa achei legal e estou postando. >>>>>>> >>>>>>> *Resolva nos inteiros a seguinte equação: (x + y)(y + z)(z + x)/2 + >>>>>>> (x + y + z)3 = 1 – xyz* . >>>>>>> >>>>>>> Abraço do >>>>>>> Douglas Oliveira >>>>>>> >>>>>>> -- >>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
