Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema... Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que: (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k (k inteiro positivo)
Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a mesma coisa, chegamos a: stu - 1 = (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + (s-1) + (t-1) + (u-1) Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos: 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + 1/((s-1)(t-1)) = k ==> 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + 1/((s-1)(t-1)) = k-1 Agora a ideia é achar cotas para s e para k. 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor ou igual que: 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6 Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser igual a 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3. Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, igual a: 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1. Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3. s = 2 ==> 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==> 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==> Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto: 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==> (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==> u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==> t = 4 e u = 8 ou t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do que u) s = 3 ==> 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = k-1 ==> (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==> 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==> (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==> (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==> u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k) k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15 k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX As únicas soluções são: (2,4,8) e (3,5,15) []s, Claudio. 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José <[email protected]>: > Boa tarde! > > Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um > que achei mais interessante. > > (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros e 1 <s<t<u > > Saudações, > Pedro > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
