Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema...

Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que:
(stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k  (k inteiro positivo)

Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a mesma
coisa, chegamos a:
stu - 1 =  (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + (s-1) +
(t-1) + (u-1)

Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos:
1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) +
1/((s-1)(t-1)) = k ==>

1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) +
1/((s-1)(t-1)) = k-1

Agora a ideia é achar cotas para s e para k.

1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor ou
igual que:
1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6

Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser igual a
1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3.

Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, igual
a:
1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1.

Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3.

s = 2 ==>
1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==>
2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==>
Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto:
2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==>
(2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==>
u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==>
t = 4 e u = 8   ou   t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do que
u)

s = 3 ==>
1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = k-1 ==>
(3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==>
3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==>
(3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==>
(3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==>
u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k)

k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15

k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX

As únicas soluções são:
(2,4,8) e (3,5,15)

[]s,
Claudio.

2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>:

> Boa tarde!
>
> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um
> que achei mais interessante.
>
> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros  e 1 <s<t<u
>
> Saudações,
> Pedro
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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