Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido,
quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e
calcular os possiveis valores de
1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar
os valores de a,b,c.

Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara
<claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema...
>
> Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que:
> (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k  (k inteiro positivo)
>
> Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a mesma
> coisa, chegamos a:
> stu - 1 =  (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + (s-1) +
> (t-1) + (u-1)
>
> Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos:
> 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) +
> 1/((s-1)(t-1)) = k ==>
>
> 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) +
> 1/((s-1)(t-1)) = k-1
>
> Agora a ideia é achar cotas para s e para k.
>
> 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor ou
> igual que:
> 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6
>
> Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser igual a
> 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3.
>
> Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, igual
> a:
> 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1.
>
> Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3.
>
> s = 2 ==>
> 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==>
> 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==>
> Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto:
> 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==>
> (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==>
> u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==>
> t = 4 e u = 8   ou   t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do que
> u)
>
> s = 3 ==>
> 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = k-1 ==>
> (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==>
> 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==>
> (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==>
> (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==>
> u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k)
>
> k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15
>
> k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX
>
> As únicas soluções são:
> (2,4,8) e (3,5,15)
>
> []s,
> Claudio.
>
> 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>:
>>
>> Boa tarde!
>>
>> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um
>> que achei mais interessante.
>>
>> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros  e 1 <s<t<u
>>
>> Saudações,
>> Pedro
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================

Responder a