Em qua., 29 de abr. de 2020 às 10:33, Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > Em qui., 23 de abr. de 2020 às 06:31, Jeferson Almir > <jefersonram...@gmail.com> escreveu: > > > > Amigos, peço ajuda nessa questão. > > > > Sejam a e b inteiros positivos >=2 tal que (a^n)-1|(b^n)-1 pra todos os > > inteiros positivos n,mostrar que b é potencia inteira de a. > > > > Ajuda? Esse problema é bem dificinho. > > A ideia é, por absurdo, supor que exista K tal que a^K < b < a^(K+1), > verificar que x_n = (b^n-1) / (a^n-1) é sempre inteiro e a partir dela > gerar uma sequência de inteiros que converge para 0.
Vou ser um pouco mais explícito. Seja X(1,N) = (b^N-1) / (a^N-1). Pense que a é uma constante aqui. Note que X(1,N) tem um comportamento parecido com (b/a)^N. Vamos então considerar a sequência X(2,N) = b*X(1,N) - a*X(1,N+1) Veja que X(2,N) = ((a-1)*b^(n+1) + (b-1)*a^(n+1) +(a-b))/((a^n-1)(a^(n+1)-1)). Esta bagaça não necessariamente converge, mas note que ela tem um comportamento parecido com (b/a^2)^N, o que é muito mais lento que (b/a)^N. Então, teremos essa pilha de funções: X(1,N) = ... X(2,N) = b*X(1,N) - a*X(1,N+1) X(3,N) = b*X(2,N) - a*X(2,N+1) X(4,N) = b*X(3,N) - a*X(3,N+1) Tua tarefa será demonstrar que em algum momento uma dessas funções X(k,N) converge para 0. Tendo feito isso, a demonstração será fácil. > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
