Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Joao Marcos]

PessoALL:

Eu também diria que há aqui gente muito mais competente do que eu para
falar sobre tudo isto (e sobre qualquer outra coisa a respeito da qual
eu possa falar).  Faço contudo um esclarecimento breve.  Se pensamos
em *teorias* como conjuntos de fórmulas fechados sob derivabilidade,
então as teorias clássicas proposicionais são ("sintaticamente")
completas no sentido de Post.  Estas coisas são bem conhecidas e estão
discutidas, por exemplo, no artigo do Zach, "Completeness before
Post".

No caso clássico *de primeira ordem*, contudo, isto não vale em geral.
Aparentemente este resultado aparece pela primeira vez no livro
clássico de Hilbert & Ackermann de 1928.  Vale notar que a "completude
sintática" equivale à "completude de Post", a saber, a propriedade de
uma teoria não poder ser dedutivamente estendida sem se tornar
inconsistente.  Há em Teoria dos Modelos um critério útil para a
completude de Post, dado pelo chamado "Teste de Łoś–Vaught" (a saber,
para a "completude sintática" é suficiente uma teoria ser satisfatível
sem ter modelos finitos e também ser categórica para algum cardinal
com cardinalidade maior ou igual à cardinalidade da linguagem).

* * *

Sei que com estas observações já vou mudando o rumo da discussão
original, mas uma mensagem da FOM que eu mencionei aqui há duas
semanas trata de alguns pontos históricos interessantes sobre as
várias "completudes":
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msg/logica-l/VGpLWarJiYM/zoxKzN5yAgAJ
Logo no primeiro parágrafo de sua mensagem, o Franks chama a atenção
para as evidências de que Hilbert estaria interessado quase que
exclusivamente no conceito de "Post-completeness" ("completude
sintática"), tendo deixado a completude semântica mais ou menos de
lado.  (É preciso tomar cuidado, contudo, com o fato de que o termo
"Post-completeness" também é às vezes usado para algo bem diferente, a
saber, para a *completude funcional*, também conhecida mais
propriamente como "expressive completeness".)

* * *

Abraços,
Joao Marcos


2016-06-16 16:19 GMT-03:00 Hermógenes Oliveira
:
> Samuel Gomes escreveu:
>
>> Olás,
>
> Olá.
>
>> Hermógenes: [...]
>
> Novamente, obrigado pela resposta.
>
>> João Marcos:
>>
>> *
>> Mas no segundo sentido (assumindo que, para eliminar inteiramente a
>> semântica desta conversa, por "refutação de S" estamos nos referindo à
>> "demonstração de ~S") nem mesmo a própria teoria correspondente à
>> *lógica clássica de primeira ordem* seria completa, né?
>> *
>>
>> ... Imagino que aí tenha gente que consiga explicar melhor do que eu,
>> mas essencialmente os teoremas de incompletude necessitam de um pouco
>> de Aritmética, não ? Então, só pegando a Lógica de primeira ordem, não
>> vejo (pelo menos não agora de imediato) como justificar uma
>> incompletude sintática.
>
> Ué.  Eu pensei a coisa muito mais simples do que isso:
>
> A lógica de primeira ordem pura, na sua formulação padrão, é obviamente
> incompleta (sintaticamente), pois, dada uma variável proposicional p,
> não é possível obter uma demonstração ou refutação de p.
>
> A questão da completude sintática só faz mesmo sentido quando temos uma
> teoria formal na qual a lógica de primeira ordem é calibrada para
> própositos aritméticos (matemáticos).  Por exemplo, na aritmética de
> Peano, onde não há variáveis proposicionais e todas as sentenças
> atômicas são compostas usando a constante 0, a função sucessor S e
> demais funções artiméticas.  Ou em ZF, onde as sentenças atômicas tratam
> de conjuntos e suas relações de pertinência.  Em outras palavras, na AP
> todos os termos e variáveis estão para números, a igualdade e os
> predicados se aplicam a números.  Analogamente para ZF, mas com
> conjuntos.
>
> Para teorias aritméticas (matemáticas), faz sentido esperar que, dada
> uma sentença qualquer A, A ou ¬A seja demonstrável, pois não há nenhuma
> sentença contingente.
>
> Estou sendo ingênuo?  Ou não entendi direito a pergunta do João Marcos?
>
> --
> Hermógenes Oliveira

-- 
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Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Famadoria]

Bell, Set Theory, 2005, p. 109. 

Sent from my iPhone

> On Jun 16, 2016, at 4:25 PM, 'Samuel Gomes' via LOGICA-L 
>  wrote:
> 
> Oi Hermógenes,
> 
> Como eu disse, tem gente melhor do que eu na comunidade pra discutir isso 
> (Doria, Rodrigo Freire, entre outros). 
> 
> Eu sempre pensei em incompletude a partir de um pouquinho de Aritmética. Para 
> a lógica de primeira ordem, sempre pensei
> em termos da outra completude (a semântica). 
> 
> Seu argumento com variáveis proposicionais aparentemente procede, mas não 
> seria o caso
> de se pensar em demonstrações/refutações do fecho universal de fórmulas que 
> tenham pelo menos algum símbolo relacional ou funcional ? 
> 
> Atés,
> 
> []s  Samuel
> 
> 
> 
>> On Wednesday, June 15, 2016 at 2:18:53 PM UTC-3, Joao Marcos wrote:
>> Partilho uma pergunta interessante, com respostas instrutivas: 
>> 
>> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model? 
>> http://math.stackexchange.com/questions/1826423/is-there-a-model-of-zfc-inside-which-zfc-does-not-have-a-model
>>  
>> 
>> 
>> JM
> 
> -- 
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> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
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> Para postar nesse grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
> Acesse esse grupo em 
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
> Para ver essa discussão na Web, acesse 
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/7463a84a-c180-4e43-90c5-58a0d675598e%40dimap.ufrn.br.

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Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Famadoria]

Colapso de cardinais: vc vê na prova, direitinho, essas aplicações que existem 
ou não, conforme o modelo. 

Sent from my iPhone

> On Jun 16, 2016, at 10:16 AM, Hermógenes Oliveira 
>  wrote:
> 
> Samuel Gomes escreveu:
> 
>> Oi Hermógenes,
> 
> Oi, Samuel.  Obrigado pelos esclarecimentos!  Ainda tenho algumas
> questões, se não for abusar demais da sua paciência (e da lista).
> 
>> --> A coisa dos "modelos pensantes" é simplesmente um jargão. Dizer
>> que um modelo M "pensa" uma certa asserção phi é simplesmente
>> dizer que M modela phi, i.e., que phi é válida em M, que phi é
>> verificada em M.
> 
> Hum.  Acho o jargão meio esquisito, mas tudo bem.
> 
> Então, baseado nas suas explicações abaixo, a frase "this model must
> think that ZFC has no model" significa que um certo modelo M de ZFC
> modela, ou satisfaz, a sentença gödeliana ⌜φ⌝ que "expressa" a
> inconsistência de ZFC.  É isso?
> 
>> Exemplo: por Lowenheim-Skolem "pra baixo", a teoria dos reais (em
>> primeira ordem) tem modelo enumerável. Então podemos ter uma estrutura
>> enumerável M no qual todas as sentenças sobre os reais são válidas,
>> quando relativizadas a M (existe x = existe x em M, para todo x = para
>> todo x em M, e assim por diante).
>> 
>> O que choca inicialmente as pessoas é: como pode existir um modelo
>> enumerável de algo que é não-enumerável ? Esse seria o tal do Paradoxo
>> de Skolem...
>> 
>> Pois é, o que ocorre é que o tal modelo enumerável "pensa" que é
>> não-enumerável. Pois todas as funções que sobrejetam os naturais em M
>> estão FORA do modelo: eu olhando de fora sei que ele é enumerável, mas
>> "lá dentro" as tais funções que o enumeram não estão, essas funções
>> não pertencem a M. "Na opinião dele", ele é enumerável - pois a
>> sentença "Não existe bijeção entre a estrutura e os naturais" é
>> verificada, é válida lá.
> 
> Imagino que aqui você quis dizer: "Na opinião dele, ele *não* é
> enumerável — pois a sentença "Não existe bijeção entre a estrutura e os
> naturais" é verificada, é válida lá."
> 
> Ou eu perdi alguma sutileza?
> 
>> (É a velha historinha de que a formiguinha que está andando sobre a
>> mesa não consegue enxergar a terceira dimensão: ela "pensa" que
>> o mundo é bidimensional, porque o modelo onde ela vive é assim).
>> 
>> --> você pergunta "por quê" estamos usando o Teorema de Completude
>> para ZFC, então não tenho certeza
>> se realmente a sua pergunta é sobre "por quê" ou "como", então vou
>> aproveitar a oportunidade para
>> dar respostas rápidas para ambas...
>> 
>> "Por quê ?": se a pergunta foi essa, talvez você esteja confundindo
>> completude SEMÂNTICA (= "se é consistente, tem modelo") com
>> completude SINTÁTICA (="toda sentença pode ser provada ou refutada").
> 
> De fato, eu estava pensando em completude sintática.
> 
> Quando o Noah Schweber começou uma frase com "by completeness" e a frase
> seguinte com "by incompleteness", minha cabeça girou...
> 
> Por isso, prefiro chamar o primeiro teorema de Gödel de teorema de
> *indecidibilidade*, pois, caso contrário, sempre acabo metendo os pés
> pelas mãos com a distinção que você faz acima.
> 
>> [...]
>> 
>> ZFC não prova Con(ZFC) - ou seja, Con(ZFC) não é consequência
>> sintática de ZFC. ("Claro que na verdade não prova nem refuta, mas
>> sigamos só disso")
>> 
>> Por Completude, se não é consequência sintática então não é
>> consistência semântica.
>> 
>> Então não é verdade que Con(ZFC) seja válido em todos os modelos de
>> ZFC.
>> 
>> Portanto, existe um modelo de ZFC no qual Con(ZFC) não é válido. Esse
>> é um tal modelo que "pensa que não existe" - pois, dentro dele, a
>> asserção "existem modelos de ZFC" (que é equivalente a "ZFC é
>> consistente", por Soundness + Completeness) não é verificada.
>> 
>> ... Notar que, também por completude, deverão existir modelos de ZFC
>> onde Con(ZFC) é válido e também deverão existir modelos de ZFC onde
>> Con(ZFC) não é válido ("se todos os modelos concordassem, existiria
>> uma prova", essencialmente é isso que Completude diz). Aí podemos
>> aplicar Soundness e chegar em Con(Con (ZFC)) e Con(não Con(ZFC)), ou
>> seja, Con(ZFC) é independente de ZFC.
> 
> Achei a sua explicação bem melhor do que a do Noah.  Ademais, talvez por
> causa da dissolução do jargão, sua explicação não soa tão misteriosa.
> 
> Além do jargão, algo que me escapou na resposta do Noah e que ficou mais
> claro na sua é como usar consistência, que Gödel mostrou como codificar
> para dentro da teoria, e completude semântica (consistência ≡ existência
> de modelo) para "expressar" noções como "(não) tem modelo" dentro da
> teoria.
> 
> Agora, devo admitir que essa conversa toda de "modelo pensante" e
> "modelo de ZFC dentro do qual ZFC não tem modelo", me soa *muito*
> suspeita: terminologia, alegações e asserções tão misteriosas (eu diria
> até mesmo místicas) para expressar algo tão simples.  Deve ser por isso
> que eu fujo de teoria dos modelos que nem o diabo da 

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Hermógenes Oliveira]

Samuel Gomes escreveu:

> Olás,

Olá.

> Hermógenes: [...]

Novamente, obrigado pela resposta.

> João Marcos:
>
> *
> Mas no segundo sentido (assumindo que, para eliminar inteiramente a
> semântica desta conversa, por "refutação de S" estamos nos referindo à
> "demonstração de ~S") nem mesmo a própria teoria correspondente à
> *lógica clássica de primeira ordem* seria completa, né?
> *
>
> ... Imagino que aí tenha gente que consiga explicar melhor do que eu,
> mas essencialmente os teoremas de incompletude necessitam de um pouco
> de Aritmética, não ? Então, só pegando a Lógica de primeira ordem, não
> vejo (pelo menos não agora de imediato) como justificar uma
> incompletude sintática.

Ué.  Eu pensei a coisa muito mais simples do que isso:

A lógica de primeira ordem pura, na sua formulação padrão, é obviamente
incompleta (sintaticamente), pois, dada uma variável proposicional p,
não é possível obter uma demonstração ou refutação de p.

A questão da completude sintática só faz mesmo sentido quando temos uma
teoria formal na qual a lógica de primeira ordem é calibrada para
própositos aritméticos (matemáticos).  Por exemplo, na aritmética de
Peano, onde não há variáveis proposicionais e todas as sentenças
atômicas são compostas usando a constante 0, a função sucessor S e
demais funções artiméticas.  Ou em ZF, onde as sentenças atômicas tratam
de conjuntos e suas relações de pertinência.  Em outras palavras, na AP
todos os termos e variáveis estão para números, a igualdade e os
predicados se aplicam a números.  Analogamente para ZF, mas com
conjuntos.

Para teorias aritméticas (matemáticas), faz sentido esperar que, dada
uma sentença qualquer A, A ou ¬A seja demonstrável, pois não há nenhuma
sentença contingente.

Estou sendo ingênuo?  Ou não entendi direito a pergunta do João Marcos?

-- 
Hermógenes Oliveira

-- 
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[Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

['Samuel Gomes' via LOGICA-L]

Oi Hermógenes,

Como eu disse, tem gente melhor do que eu na comunidade pra discutir isso 
(Doria, Rodrigo Freire, entre outros). 

Eu sempre pensei em incompletude a partir de um pouquinho de Aritmética. 
Para a lógica de primeira ordem, sempre pensei
em termos da outra completude (a semântica). 

Seu argumento com variáveis proposicionais aparentemente procede, mas não 
seria o caso
de se pensar em demonstrações/refutações do fecho universal de fórmulas que 
tenham pelo menos algum símbolo relacional ou funcional ? 

Atés,

[]s  Samuel



On Wednesday, June 15, 2016 at 2:18:53 PM UTC-3, Joao Marcos wrote:
>
> Partilho uma pergunta interessante, com respostas instrutivas: 
>
> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model? 
>
> http://math.stackexchange.com/questions/1826423/is-there-a-model-of-zfc-inside-which-zfc-does-not-have-a-model
>  
>
>
> JM 
>

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Re: [Logica-l] Pierce e Computação

[Juliana Rocha Franco]

Oi Flavio, tudo bem?

Vc conhece o trabalho professor Ricardo Gudwin?
http://faculty.dca.fee.unicamp.br/gudwin/home

abs


Juliana

Em 16 de junho de 2016 09:38, Flávio Luis de Mello <
flavioluis.me...@gmail.com> escreveu:

> Olá para todos,
>
> Estou trabalhando em um modelo de aquisição de conhecimento por máquina e
> estou precisando de uma dica.
>
> Tenho buscado certa fundamentação na Teoria Semiótica de Pierce.
> Entretanto, não consegui localizar trabalhos que de algum modo façam uma
> fusão dessa semiótica e a computação ( ou mesmo a matemática ). Não acho
> possível que não existam trabalhos nesse contexto,  tenho que estar
> procurando errado. Alguém se lembra de algo nesta direção?
>
> Abs,
>
> Flávio Mello
>
> --
> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
> Para postar nesse grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
> Acesse esse grupo em
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
> Para ver essa discussão na Web, acesse
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAG%3DxOJduw9WsJtQgXhdVXwp%3Daq_pzB6setzy82_-mJ%3D5%3Dcc6qw%40mail.gmail.com
> 
> .
>

-- 
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https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAMKMjrqvcd8Tp1zDppx5N3NCDGWrP%3DfRsYy-zr__LRrVoRQArA%40mail.gmail.com.

[Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

['Samuel Gomes' via LOGICA-L]

Olás,

Hermógenes: ali eu digitei errado mesmo, o que eu quis dizer era que "o 
modelo enumerável pensa que é não-enumerável". A gente fala
tanto de enumerável e não-enumerável que em algum momento acaba pensando 
numa coisa e escrevendo outra...

Você disse:


Então, baseado nas suas explicações abaixo, a frase "this model must 
think that ZFC has no model" significa que um certo modelo M de ZFC 
modela, ou satisfaz, a sentença gödeliana ⌜φ⌝ que "expressa" a 
inconsistência de ZFC.  É isso? 


É isso, precisamente.

Disse também:

***
Achei a sua explicação bem melhor do que a do Noah.  Ademais, talvez por 
causa da dissolução do jargão, sua explicação não soa tão misteriosa. 
***

... Na verdade a minha explicação é essencialmente a dele, eu só quis
deixar mais claro onde se usa completeness, soundness, essas coisas.


João Marcos:


Mas no segundo sentido (assumindo que, para eliminar inteiramente a 
semântica desta conversa, por "refutação de S" estamos nos referindo à 
"demonstração de ~S") nem mesmo a própria teoria correspondente à 
*lógica clássica de primeira ordem* seria completa, né? 


... Imagino que aí tenha gente que consiga explicar melhor do que eu,
mas essencialmente os teoremas de incompletude necessitam de um
pouco de Aritmética, não ? Então, só pegando a Lógica de primeira ordem,
não vejo (pelo menos não agora de imediato) como justificar uma incompletude
sintática.

Deixe-me fazer a boa velha pesquisa no Google...

Colocando no Google

"first order logic is sintactically incomplete"

vem uma página de um artigo de Bealer e Monnich no Handbook of 
Philosophical Logic, vol.10, que diz que (no meio de uma discussão
muito maior sobre intensionalidade e extensionalidade):

"... a straightforward adaptation of the proof of Godel's theorem we can 
show that first-order logic with identity and a copula is essentially 
incomplete..."

Bem, então a Aritmética não seja tão imprescindível assim (para a 
incompletude), mas algo a mais (no caso aí, a tal da cópula) seja 
necessário. Deixo esta discussão
para os mais entendidos !

Atés,

[]s  Samuel






On Wednesday, June 15, 2016 at 2:18:53 PM UTC-3, Joao Marcos wrote:
>
> Partilho uma pergunta interessante, com respostas instrutivas: 
>
> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model? 
>
> http://math.stackexchange.com/questions/1826423/is-there-a-model-of-zfc-inside-which-zfc-does-not-have-a-model
>  
>
>
> JM 
>

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
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Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/b9e052e1-189f-4a02-9c33-4ab40bfacb62%40dimap.ufrn.br.

[Logica-l] Pierce e Computação

[Flávio Luis de Mello]

Olá para todos,

Estou trabalhando em um modelo de aquisição de conhecimento por máquina e
estou precisando de uma dica.

Tenho buscado certa fundamentação na Teoria Semiótica de Pierce.
Entretanto, não consegui localizar trabalhos que de algum modo façam uma
fusão dessa semiótica e a computação ( ou mesmo a matemática ). Não acho
possível que não existam trabalhos nesse contexto,  tenho que estar
procurando errado. Alguém se lembra de algo nesta direção?

Abs,

Flávio Mello

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAG%3DxOJduw9WsJtQgXhdVXwp%3Daq_pzB6setzy82_-mJ%3D5%3Dcc6qw%40mail.gmail.com.

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Francisco Antonio Doria]

Ou seja: como a incompletude, esses outros resultados estranhos têm
consequências fora da lógica.

2016-06-16 8:23 GMT-03:00 'Samuel Gomes' via LOGICA-L <
logica-l@dimap.ufrn.br>:

> Oi Hermógenes,
>
> --> A coisa dos "modelos pensantes" é simplesmente um jargão. Dizer que um
> modelo M "pensa" uma certa asserção phi é simplesmente
> dizer que M modela phi, i.e., que phi é válida em M, que phi é verificada
> em M.
>
> Exemplo: por Lowenheim-Skolem "pra baixo", a teoria dos reais (em primeira
> ordem) tem modelo enumerável. Então podemos ter uma
> estrutura enumerável M no qual todas as sentenças sobre os reais são
> válidas, quando relativizadas a M (existe x = existe x em M, para todo x =
> para todo x em M, e assim por diante).
>
> O que choca inicialmente as pessoas é: como pode existir um modelo
> enumerável de algo que é não-enumerável ? Esse seria o tal do
> Paradoxo de Skolem...
>
> Pois é, o que ocorre é que o tal modelo enumerável "pensa" que é
> não-enumerável. Pois todas as funções que
> sobrejetam os naturais em M estão FORA do modelo: eu olhando de fora sei
> que ele é enumerável, mas "lá dentro" as tais
> funções que o enumeram não estão, essas funções não pertencem a M. "Na
> opinião dele", ele é enumerável - pois a sentença "Não existe bijeção entre
> a estrutura
> e os naturais" é verificada, é válida lá.
>
> (É a velha historinha de que a formiguinha que está andando sobre a mesa
> não consegue enxergar a terceira dimensão: ela "pensa" que
> o mundo é bidimensional, porque o modelo onde ela vive é assim).
>
> --> você pergunta "por quê" estamos usando o Teorema de Completude para
> ZFC, então não tenho certeza
> se realmente a sua pergunta é sobre "por quê" ou "como", então vou
> aproveitar a oportunidade para
> dar respostas rápidas para ambas...
>
> "Por quê ?": se a pergunta foi essa, talvez você esteja confundindo
> completude SEMÂNTICA (= "se é consistente, tem modelo") com
> completude SINTÁTICA (="toda sentença pode ser provada ou refutada").
>
> ZFC = ZFC de primeira ordem aí no nosso contexto, portanto, por ser uma
> teoria de primeira ordem, vale o Teorema de Completude para
> ZFC - o que dá a completude semântica de ZFC. Notar que
>
> "Se é consistente, tem modelo" é um enunciado equivalente a "Consequências
> semânticas são consequências sintáticas"
>
> (aqui estou falando como lógico; se eu estivesse falando como matemático,
> eu possivelmente diria que os dois teoremas acima
> são equivalentes, hehe, mas na verdade sabemos que são dois enunciados
> equivalentes para o mesmo teorema, digamos)
>
> As recíprocas são o Teorema da Correção (Soundness), cujos enunciados
> equivalentes são
>
> "Se tem modelo, é consistente" <=> "Consequências sintáticas são
> consequências semânticas"
>
> (o que é mesmo o lado fácil: se phi é uma consequência sintática de T
> (i.e., se T prova phi), então a correção do sistema
> garante que phi vai ser válida em todos os modelos de T (i.e., phi é
> consequência semântica de T))
>
>
> ... Ou seja, o Teorema de Completude garante a completude semântica de ZFC
> com primeira ordem, enquanto que
> o Teorema de Incompletude mostrou a incompletude sintática de ZFC.
>
>
> --> "Como":  Seja Con(ZFC) a declaração de que ZFC é consistente (que eu
> comentei na outra mensagem ser equivalente à
> Sentença de Gödel).
>
> Então, pelo primeiro ou pelo segundo teorema de incompletude, meio que
> tanto faz porque no fundo é a mesma
> coisa,
>
> ZFC não prova Con(ZFC) - ou seja, Con(ZFC) não é consequência sintática de
> ZFC.   ("Claro que na verdade não prova nem refuta, mas sigamos só disso")
>
> Por Completude, se não é consequência sintática então não é consistência
> semântica.
>
> Então não é verdade que Con(ZFC) seja válido em todos os modelos de ZFC.
>
> Portanto, existe um modelo de ZFC no qual Con(ZFC) não é válido. Esse é um
> tal modelo que "pensa que não existe" - pois, dentro dele,
> a asserção "existem modelos de ZFC" (que é equivalente a "ZFC é
> consistente", por Soundness + Completeness) não é verificada.
>
>
> ... Notar que, também por completude, deverão existir modelos de ZFC onde
> Con(ZFC) é válido e também deverão
> existir modelos de ZFC onde Con(ZFC) não é válido ("se todos os modelos
> concordassem, existiria uma prova", essencialmente é isso
> que Completude diz). Aí podemos aplicar Soundness e chegar em
> Con(Con(ZFC)) e Con(não Con(ZFC)), ou seja,
> Con(ZFC) é independente de ZFC.
>
>
> ... Espero que ajude,
>
> Até,
>
> []s  Samuel
>
>
>
>
> On Wednesday, June 15, 2016 at 2:18:53 PM UTC-3, Joao Marcos wrote:
>>
>> Partilho uma pergunta interessante, com respostas instrutivas:
>>
>> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?
>>
>> http://math.stackexchange.com/questions/1826423/is-there-a-model-of-zfc-inside-which-zfc-does-not-have-a-model
>>
>>
>> JM
>>
> --
> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber 

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Marcelo Finger]

Oi Samuel.

É muito divertido isso tudo, com certeza...


Exatamente o que eu pensei :-)

[]s


-- 
 Marcelo Finger
 Departament of Computer Science, IME
 University of Sao Paulo
 http://www.ime.usp.br/~mfinger

-- 
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Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Francisco Antonio Doria]

Sistemas formais são coisa muito estranha. Parecem inocentinhos, mas...

2016-06-16 4:12 GMT-03:00 Francisco Antonio Doria :

> Essas propriedades estranhas aparecem a toda hora, e inesperadamente.
> Recentemente Newton e  eu provamos o seguinte - já me referi a esse
> resultado: seja S um sistema formal (pode ser ZFC) com um conjunto r.e. de
> teoremas, ``bastante aritmética,'' linguagem de 1a ordem, consistente, etc.
> Então S + S é \Sigma_1-sound prova que S não tem uma prova de P não quer dizer que a prova não exista; significa apenas que S + S é
> \Sigma_1-sound não consegue fazer com que S a veja.
>
> 2016-06-16 0:04 GMT-03:00 'Samuel Gomes' via LOGICA-L <
> logica-l@dimap.ufrn.br>:
>
>> ... Essencialmente (e por favor me corrijam se eu estiver sendo
>> excessivamente simplista), em ZFC temos
>>
>> Consistência de ZFC <---> "Sentença de Gödel"
>>
>> onde "Sentença de Gödel" é a asserção de ZFC que declara sua própria
>> não-demonstrabilidade.
>>
>> Ou seja, a sentença que nos garante o Primeiro Teorema de Incompletude
>> (por não ser nem demonstrável nem refutável)
>> acaba dando o Segundo Teorema de Incompletude de graça (afinal, a tal
>> sentença que não podemos nem demonstrar nem refutar
>> é equivalente à própria consistência do sistema). Esse aspecto do Segundo
>> Teorema de Incompletude ser consequência imediata (da demonstração) do
>> Primeiro não é muito comentada por aí...
>>
>> Aí, é só usar o Teorema de Completude para conseguir os tais modelos onde
>> não há modelos.
>>
>> É muito divertido isso tudo, com certeza...
>>
>> Atés,
>>
>> []s  Samuel
>>
>>
>>
>>
>> On Wednesday, June 15, 2016 at 2:18:53 PM UTC-3, Joao Marcos wrote:
>>>
>>> Partilho uma pergunta interessante, com respostas instrutivas:
>>>
>>> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?
>>>
>>> http://math.stackexchange.com/questions/1826423/is-there-a-model-of-zfc-inside-which-zfc-does-not-have-a-model
>>>
>>>
>>> JM
>>>
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> fad
>
> ahhata alati, awienta Wilushati
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fad

ahhata alati, awienta Wilushati

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Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Hermógenes Oliveira]

Dankness asked
> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model? 

Noah Schweber answered:
> Yes.

> Recall that by the Completeness Theorem, having a model and being
> consistent are the same thing. Also, by Incompleteness, ZFC doesn't
> prove its own consistency. Finally, ZFC can prove the Soundness
> Theorem - that an inconsistent theory has no models!

> So - assuming ZFC has a model - ZFC is consistent. If ZFC is
> consistent, then ZFC can't prove "ZFC is consistent." By completeness,
> this means there's a model of ZFC satisfying "ZFC is inconsistent."
> Since ZFC proves the Soundness Theorem, this model must think that ZFC
> has no model!

Algém teria a bondade de esclarecer o que significam "modelos pensantes"
e por quê o teorema de *completude* está sendo invocado para *ZFC*?

-- 
Hermógenes Oliveira

-- 
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