Re: [obm-l] duvida em limite
From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED]
[Primeiro e-mail]
Caros colegas, talvez voces possam me ajudar em numa
duvida.
Resolvendo uns problemas de Cálculo do livro Calculo A
da Diva Marilia e Miriam Buss, me deparei com o limite
de raiz quadrada de x quando x tende a zero. Pelo que
eu lembro, esse limite não existe. Mas as autoras do
livro do Cálculo A, resolvem um exercicio que envolvem
a soma de três funções dentre elas raiz de x e 1/x^2
(a outra não lembro, mas é tipo x, vamos dizer), da
seguinte forma lim (x + raiz x + 1/x^2) quando x tende
a zero = 0 + 0 + infinito = + infinito. Ora, mais ai
ela considera que lim de raz x quando x tende a zero é
0. Olhei um exercicio do Guidorizzi (lim raiz de x
quando x tende a zero) e ele dá como resposta 0.
Não sei se não aprendi direito, mas como pode ser
zero? Pela direita tudo bem , mas pela esquerda temos
números complexos e esse conjunto não eh ordenado para
falar que tende a zero.
Gostaria de saber dos colegas quem estah certo eu ou
os autores.
Marcos,
depende do domínio que está sendo considerado.
Na função
raiz : R^(+) - R
raiz(x) = x^(1/2)
certamente temos lim( raiz(x) , x-0 ) = 0, pelo que você mesmo disse, pois
pela direita o limite é zero e como ela não está definida à esquerda de
zero, não há mais o que se considerar.
No caso complexo, podemos definir uma função raiz (contínua) que satisfaz
(raiz(z))^2 = z somente em um pedaço do plano complexo, por exemplo para
z = r * e^(i*a) onde r 0 e -pi a pi
definimos
raiz(z) = raiz(r) * e^(i*(a/2))
e raiz(0) = 0
nesse domínio (que é os complexos tirando fora os números reais negativos)
temos lim( raiz(z) , z-0 ) = 0, mas aqui o limite é num sentido um pouco
diferente do limite que você viu para os números reais.
Para se definir limite nos complexos você procede assim: numa sequência de
complexos z_n dizemos que ela é convergente ao limite z, se for satisfeita a
seguinte condição: para todo e0 existe um N tal que n N implica |z - z_n|
e. Ou seja, a partir de um certo n os z_n ficam muito próximos (no plano
complexo) de z. Assim, você não precisa de uma ordem para definir o limite,
só precisa de uma função (a chamada métrica) que calcula a distância de
elementos. (existem ainda outras formas de definir limite sem utilizar
métricas, só para constar)
A idéia de limite é, na verdade, muito mais geral que o caso real, portanto.
[Segundo e-mail]
Outra duvida, a maioria dos livros de calculo define
que uma funcao eh continua num ponto x=a quando
1) f(a) existe
2) lim f(x) quando x tende a a existe
3) lim f(x) quando x tende a a = f(a)
Ora mas a primeira condicão não tem sentido nenhum.
Pra analisar se uma função é continua tem que analisar
nos pontos do dominio da função e não fora. Portanto
f(a) sempre existe. Dessa definição poderia concluir
então que se f(a) não existe a função é descontinua.
Mas não se pode falar nada pois ela nem é definida. É
a mesma coisa que perguntar qual a cor dos olhos da
mula sem cabeça. Se não tem cabeça como posso dizer
que isso ou aquilo.
Tô errado na minha consideração ?
[]'s Marcos
A primeira condição tem sentido sim, e quer dizer que a pertence ao
domínio da f.
O fato de f(a) existir é puramente uma questão de como foi definida a função
f. Por exemplo, a função
f: R-{0} - R
f(x) = 1, pra todo x do domínio
é contínua em todos os pontos de seu domínio (os reais não nulos), mas não
faz sentido perguntar se a f é contínua no zero, afinal não podemos comparar
o valor lim( f(x), x- 0) (que nesse caso existe e é igual a 1) com f(0),
pois nem definimos quanto é f no zero. (e vale a sua comparação, é como
perguntar a cor dos olhos da mula sem cabeça). É claro que nós podemos
estender (aumentar o domínio da função) a f para todos os reais definindo
f(0)=1 e aí a nova f vai ser contínua em zero.
Vou me repetir mais uma vez, o que a definição diz é que só podemos
perguntar se a f é contínua num determinado ponto se ela estiver definida
naquele ponto.
Acho que esclareci um pouco.
Um abraço!
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
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Re: [obm-l] duvida em limite
--- Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas, talvez voces possam me ajudar em numa duvida. Resolvendo uns problemas de Cálculo do livro Calculo A da Diva Marilia e Miriam Buss, me deparei com o limite de raiz quadrada de x quando x tende a zero. Pelo que eu lembro, esse limite não existe. Mas as autoras do livro do Cálculo A, resolvem um exercicio que envolvem a soma de três funções dentre elas raiz de x e 1/x^2 (a outra não lembro, mas é tipo x, vamos dizer), da seguinte forma lim (x + raiz x + 1/x^2) quando x tende a zero = 0 + 0 + infinito = + infinito. Ora, mais ai ela considera que lim de raz x quando x tende a zero é 0. Olhei um exercicio do Guidorizzi (lim raiz de x quando x tende a zero) e ele dá como resposta 0. Não sei se não aprendi direito, mas como pode ser zero? Pela direita tudo bem , mas pela esquerda temos números complexos e esse conjunto não eh ordenado para falar que tende a zero. Gostaria de saber dos colegas quem estah certo eu ou os autores. Reynaldo,pode-se definir limites nos complexos tambem,sabia?A definiçao e analoga,mas voce usa a noçao de modulo em complexos para desenvolver a teoria(por isso e analoga).Eu tenho um livro,Variaveis Compexas,da Coleçao Schaum,Ed.McGrawHill entre alguns livros de meu arsenal.La,o Murray Spiegel(eu acho)define numeros complexos,mostra algumas aplicaçoes(soma de senos em PA,raizes de equaçoes legais,geometria com vetores,e por ai vai)e as definiçoes de limite em complexos.Nao sei se voce consegue achar esse livro por ai,ja que ele e bem velho(achei num porao de uma casa de um amigo da familia).De todo modo,divirta-se! Ass.:Peterdirichlet___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] outra duvida
Tem um pequeno detalhe:voce pode definir funçoes nas quais nao exista f(a) mas exista lim f(x) com x cada vez mais perto de a(e o mesmo valendo a,acredita?!?!???!!??!?!). Para sacanear,um exemplo simples e f(x)=(x-a)^2/(x-a).Como nao existe divisao por 0 em reais(e complexos),nao existe f(a).Mas existe o limite de f(x) quando x tende a a,e o mesmo e o ponto a. Se eu nao me engano isso se chama DESCONTINUIDADE EVITAVEL(poderiamos definir f(a)=a e evitar a descontinuidade).E como voce tentar(nesse caso com sucesso)por uma cabeça na mula e depois dizer a cor dos olhos da (des)dita. Ah,a descontinuidade evitanel ocorre tambem se f(a) nao for igual ao limite(por exemplo,f(1)=1 mol e f(x)=x para x diferente de 1). Qualquer duvida depois eu esclareço. Peterdirichlet --- Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Outra duvida, a maioria dos livros de calculo define que uma funcao eh continua num ponto x=a quando 1) f(a) existe 2) lim f(x) quando x tende a a existe 3) lim f(x) quando x tende a a = f(a) Ora mas a primeira condicão não tem sentido nenhum. Pra analisar se uma função é continua tem que analisar nos pontos do dominio da função e não fora. Portanto f(a) sempre existe. Dessa definição poderia concluir então que se f(a) não existe a função é descontinua. Mas não se pode falar nada pois ela nem é definida. É a mesma coisa que perguntar qual a cor dos olhos da mula sem cabeça. Se não tem cabeça como posso dizer que isso ou aquilo. Tô errado na minha consideração ? []'s Marcos ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Matriz de Vandermonde
Duda,eu me lembro de que uma matriz e nao inversivel se e so se for singular,ou seja, seu determinante for 0.Entao o que voce quer provar e que se os t's forem diferentes o determinante nao e zero.Se eu nao me engano ha uma formula para a matriz de Vandermonde que so usa as diferenças entre os t's.Se voce conseguir acha-la(deve ter em qualquer livro sobre isso),COMEMORE Peterdirichlet --- Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal da lista! Uma matriz de Vandermonde é uma matriz P da forma P_(i,j) = [t_(i-1)]^j onde i e j estão entre 0 e n um jeito mais explicito é o seguinte P = [ 1 t_0 (t_0)^2 (t_0)^3 ... (t_0)^n ] [ 1 t_1 (t_1)^2 (t_1)^3 ... (t_1)^n ] [ ...] [ 1 t_n (t_n)^2 (t_n)^3 ... (t_n)^n ] Eu não estou conseguindo demonstrar que se os t_i's são todos distintos então a matriz P é inversível. Alguém demonstra? Obrigado pela futura ajuda Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Matriz de Vandermonde
Oi, É possível demonstrar que o determinante de Vandermonde é Produtório (0 = i j = n) de ((t_i) - (t_j)). Para ver isso, basta encarar o determinante como um polinômio em t_i, e ver que quando t_i = t_j, o polinômio se anula. Logo se os t_i's forem distintos, o determinante é diferente de 0. Falow, Humberto --- Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal da lista! Uma matriz de Vandermonde é uma matriz P da forma P_(i,j) = [t_(i-1)]^j onde i e j estão entre 0 e n um jeito mais explicito é o seguinte P = [ 1 t_0 (t_0)^2 (t_0)^3 ... (t_0)^n ] [ 1 t_1 (t_1)^2 (t_1)^3 ... (t_1)^n ] [ ... ] [ 1 t_n (t_n)^2 (t_n)^3 ... (t_n)^n ] Eu não estou conseguindo demonstrar que se os t_i's são todos distintos então a matriz P é inversível. Alguém demonstra? Obrigado pela futura ajuda Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Prova do 2o dia - Cone Sul
A prova do segundo dia da XIII Olimpíada do Cone Sul está disponível em http://www.olimpiada.mat.br Paulo --- esta mensagem não contém vírus! Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.363 / Virus Database: 201 - Release Date: 21/05/2002 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] outra duvida
Ricardo,
Com sua observação posso inferir que a função f: R-{a} -- R dada por
f(x) = (x-a)^2/(x-a) é descontínua em x=a pois existe o limite de f(x)
quando x tende a a, correto ?
Essa mesma função é contínua ou descontínua em x = 1+i ?
Laurito
From: Ricardo Dirichlet [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] outra duvida
Date: Wed, 26 Jun 2002 09:22:27 -0300 (ART)
Tem um pequeno detalhe:voce pode definir funçoes nas
quais nao exista f(a) mas exista lim f(x) com x cada
vez mais perto de a(e o mesmo valendo
a,acredita?!?!???!!??!?!).
Para sacanear,um exemplo simples e
f(x)=(x-a)^2/(x-a).Como nao existe divisao por 0 em
reais(e complexos),nao existe f(a).Mas existe o limite
de f(x) quando x tende a a,e o mesmo e o ponto a.
Se eu nao me engano isso se chama DESCONTINUIDADE
EVITAVEL(poderiamos definir f(a)=a e evitar a
descontinuidade).E como voce tentar(nesse caso com
sucesso)por uma cabeça na mula e depois dizer a cor
dos olhos da (des)dita.
Ah,a descontinuidade evitanel ocorre tambem se f(a)
nao for igual ao limite(por exemplo,f(1)=1 mol e
f(x)=x para x diferente de 1).
Qualquer duvida depois eu esclareço.
Peterdirichlet
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Re: [obm-l] FATORAÇÃO
O 3 ja apareceu na lista ha pouco tempo. No 1, multiplique por ( 3^2^0 - 1 ) [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá amigos , tive alguns problemas para fatorar esses exercícios abaixo ,principalmente a número 3 que é bem estranha , se puderem me dar uma ajudinha ; 1- Se P = ( 3^2^0 + 1 )( 3^2^1 + 1 )( 3^2^2 + 1 ) . . . ( 3^2^n + 1 ) então P é igual a: 2- A expressão [68 + 48 . (2)^1/2]^1/4 - [ 25 + 22 . (2)^1/2]^1/3 vale: 3- (bc - a²)^-1 + (ca - b²)^-1 + (ab - c²)^-1 = 0 então a ( bc - a²)^-2 + b(ac - b²)^-2 + c (ab - c²)^-2 é igual : Abraço. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Ajuda - Limite....
Estou tentando resolver esse limite faz tempo mas não está saindo de jeito algum.. É o seguinte: lim [x - 0+] x^(tan(x²)). Meus esboços: x - 0... tan(x²) - 0 temos 0^0... Colocando na forma exponencial: (exp(y) = e^(y)): x^tan(x²) = exp(ln(x^tan(x²)) = exp(tan(x²).ln(x)). Ficamos então com o seguinte limite: lim [x- 0+] tan(x²).ln(x). tan(x²) - 0 ln(x) - -infinito Temos entao 0.-infinito.. indeterminação... 'Transformando' isso numa fração para poder usarmos L'Hospital: a) Fazendo tan(x²).ln(x) = ln(x)/(1/tan(x²)) lim [x- 0+] ln(x)/(1/tan(x²)) ln(x) - -infinito 1/tan(x²)) = cotg(x²) - infinito infinito/infinito outra indeterminacao.. aplicando L'Hospital: lim [x- 0+] ln(x)/cotg(x²) = lim [x-0+] (1/x)/-2x.cossec²(x²) = lim [x- 0+] 1/(-2x²cossec²(x²)) Agora temos -2x² - 0 e cossec²(x²) - infinito... 0.infinito.. mais uma indeterminacao 1/0.infinito.. Nao podemos mais aplicar L'Hospital e sei la como sair daqui... b) Outra opcao serial fazer tan(x²).ln(x) = tan(x²)/(1/ln(x)), dai: lim [x-0+] tan(x²)/(1/ln(x)).. dai temos tan(x²) - 0 1/ln(x) - 0 0/0, indeterminação, aplicamos L'Hospital: lim [x-0+] tan(x²)/(1/ln(x)) = lim [x-0+] 2x.sec²(x²)/(-1/ln²(x).x) = lim [x-0+] 2x².sec²(x²).ln²(x).x 2x² - 0 sec²x² - 1 ln²(x) - infinito x - 0... 0.1.0.infinito.. epa.. outra indeterminação... c)... já esgotei todas as idéias que me vieram e ainda não consegui sair disso.. alguem tem alguma luz? BTW... a resposta é 1.. Então esse limite (lim [x- 0+] tan(x²).ln(x)) tem que dar 0. As long as a branch of science offers an abundance of problems, so long it is alive. David Hilbert. - []'s Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa [EMAIL PROTECTED] Estatística USP [ http://www.linux.ime.usp.br/~feferraz ] --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.371 / Virus Database: 206 - Release Date: 6/13/2002
Re: [obm-l] Geometria interssante
Title: Re: [obm-l] Geometria interssante Eduardo Wagner, Infelizmente tenetei resolver o problema indicado, mas não estou chegando a solução utilizando regua e compasso. Você poderia me indicarmateriais de referencia no uso desta curva, pois procurei mas só achei esboços de sua forma. Abraço, Caio. - Original Message - From: Eduardo Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 25, 2002 10:54 PM Subject: Re: [obm-l] Geometria interssante Caio:Seu problema nao tem solucao com regua e compasso. Ele envolveuma curva chamada "conchoide de Nicomedes".Agora, um problema muito interessante e que tem solucao comregua e compasso eh o seguinte."Determinar a semi-reta de origem P que, ao cortar os ladosdo angulo dado, forme um triangulo de perimetro d (dado).Abraco,Wagner.--From: "Caio H. Voznak" [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] Geometria interssanteDate: Sat, Jun 22, 2002, 3:45 PM Por favor será que alguem conhece um solução para a seguinte questão:São dadas duas retas convergentes em um ponto O que formam um angulo agudo teta entre si, também é dado um ponto P localizado abaixo das retas, ambos fixos, e uma medida d. É pedido uma semireta com início em P e que corte ambas as retas convergentes obtendo a medida d entre as retas. Segue um esboço em anexo. Um abraço,Caio Voznak---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.345 / Virus Database: 193 - Release Date: 9/4/2002
