[obm-l] problema de Topologia
Acho este problema bonito
Sejam X un espaco topolologico,
Y um espaco topologico de Haursdorff e f e g funcoes continuas de X em Y.
Mostre que E = {x em X | f(x) = g(x)} eh um subconjunto fechado de X.
Este outro tambem eh
interessante: Seja S um espaco metrico compacto com metrica d e seja f:S=S uma
funcao tal que d(f(x), f(y)) d(x,y) para todos x e y em S tais que
xy. Mostre que f possui um,
e apenas um, ponto fixo em S.
Sugestao: mostre que g:X=R
dada por g(x) = d(x, f(x)) assume um valor minimo em em S e que este valor eh
0.
Um abraco
Artur
Re: [obm-l] problema de Topologia
Basicamente, a primeira quesão apareceu nas discursivas do Provao 2002 (bacharelado em
Matematica), so que X e Y eram espaços metricos.
Em Sat, 31 May 2003 12:44:40 -0300, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] disse:
Acho este problema bonito
Sejam X un espaco topolologico, Y um espaco topologico de Haursdorff e f
e g funcoes continuas de X em Y. Mostre que E = {x em X | f(x) = g(x)}
eh um subconjunto fechado de X.
Este outro tambem eh interessante: Seja S um espaco metrico compacto com
metrica d e seja f:S=S uma funcao tal que d(f(x), f(y)) d(x,y) para
todos x e y em S tais que xy. Mostre que f possui um, e apenas um,
ponto fixo em S.
Sugestao: mostre que g:X=R dada por g(x) = d(x, f(x)) assume um valor
minimo em em S e que este valor eh 0.
Um abraco
Artur
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[obm-l] ajuda geometria
Considere um triângulo equilátero ABC, inscrito em um circulo de raio R. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios do arco menor AC e do segmento BC. Se a reta MN também intercepta a circunferencia desse circulo no ponto P, P diferente de M, então NP mede?
[obm-l] porcentagem
O preço de um artigo foi reduzido em 20%. Para reestabelecernos o preço reduzido ao seu valor original o preço reduzido deve ser aumentado de: R;25% João foi comprar uma mercadoria que custava 1,0 e o vededor ofereceu-o tres descontos sucessivos de 20%, 10% e 5% em qualquer ordem que ele preferisse. Sabendoque a ordem escolhida por ele foi de 5%,10% e 20%, qual das ordens seria melhor ele ter escolhido?
RE: [obm-l] problema de Topologia
Artur Costa Steiner
SHCGN 705 Bloco P Ap 506
Brasília - DF
Cep 70730-776
61 340-9788
61 913-3745
61 9987-0709
Talvez ai fique um pouco mais simples. Vc pode definir h:X= R tal que
h(x) = d(f(x), g(x)). Entao, E eh a imagem inversa sob h de {0}, que eh
fechado. em R. E como f e g sao continuas, h tambem eh, logo E eh
fechado. Certo?
Mas para espacos topologicos gerais isso nao se aplica
Um abraco
Artur
Basicamente, a primeira quesão apareceu nas discursivas do Provao 2002
(bacharelado em Matematica), so que X e Y eram espaços metricos.
Em Sat, 31 May 2003 12:44:40 -0300, Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] disse:
Acho este problema bonito
Sejam X un espaco topolologico, Y um espaco topologico de Haursdorff
e f
e g funcoes continuas de X em Y. Mostre que E = {x em X | f(x) =
g(x)}
eh um subconjunto fechado de X.
Este outro tambem eh interessante: Seja S um espaco metrico compacto
com
metrica d e seja f:S=S uma funcao tal que d(f(x), f(y)) d(x,y)
para
todos x e y em S tais que xy. Mostre que f possui um, e apenas um,
ponto fixo em S.
Sugestao: mostre que g:X=R dada por g(x) = d(x, f(x)) assume um
valor
minimo em em S e que este valor eh 0.
Um abraco
Artur
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==
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] problema de Topologia
Acho este problema bonito
Sejam X un espaco topolologico, Y um espaco topologico de Haursdorff e f
e g funcoes continuas de X em Y. Mostre que E = {x em X | f(x) = g(x)}
eh um subconjunto fechado de X.
Vejamos se o complementar X-E é, de fato, aberto. Para isto, dado v em X-E,
devemos obter um X-aberto V tal que
(*) v está em V e V contido em X-E.
Ora, como v está em X-E, temos f(v)g(v). Como Y é de Hausdorff, os pontos
distintos f(v) e g(v) podem ser SEPARADOS por certos Y-abertos A e B; isto
é, temos
(*) f(v) em A, g(v) em B, A disjunto de B,
ou ainda (em termos de imagens inversas)
(*) v em f^(-1)(A), v em g^(-1)(B), A disjunto de B.
Como f e g são CONTÍNUAS, segue-se que a interseção
V = f^(-1)(A) inter g^(-1)(B)
é um X-aberto contendo v. Resta verificar que V está contido em X-E. Ora,
como A é disjunto de B, temos
x em V == f(x) em A e g(x) em B == f(x) não está em B == f(x)g(x) == x
não está em E.
Era o que cumpria provar.
OBSERVAÇÃO. Com as hipóteses acima, somos naturalmente levados a este
resultado quando tentamos provar que toda função contínua f: A-Y admite NO
MÁXIMO uma extensão contínua ao fecho cl(A). (Alternativamente: se duas
funções contínuas de X em Y coincidem num subconjunto denso de X, então elas
coincidem em toda parte.)
Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] porcentagem
-Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Daniel Pini Sent: Saturday, May 31, 2003 2:32 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] porcentagem O preço de um artigo foi reduzido em 20%. Para reestabelecernos o preço reduzido ao seu valor original o preço reduzido deve ser aumentado de: R;25% [Artur Costa Steiner] para reestabelecer o precooriginal, temos que multiplicar o preco reduzido por 1/0,8 = 1,25. Logo, o aumento eh de 25% João foi comprar uma mercadoria que custava 1,0 e o vededor ofereceu-o tres descontos sucessivos de 20%, 10% e 5% em qualquer ordem que ele preferisse. Sabendoque a ordem escolhida por ele foi de 5%, 10% e 20%, qual das ordens seria melhor ele ter escolhido? [Artur Costa Steiner] A ordem eh indiferente. Qualquer que seja a ordem, o preco original serh multiplicado por 0,8 X 0,9 X 0,95. Nao importa quais sejam os descontos nem quantos eles sejam, a ordem eh sempre indiferente. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fractais no ensino médio
Prezados colegas, Desculpem-me por levar à vossa consideração uma questão inapropriada para a lista, mas minha opinião é que os MATEMÁTICOS e USUÁRIOS da nossa ciência também devem se pronunciar sobre temas pedagógicos. Como se sabe, grandes matemáticos do passado foram hábeis educadores; além disso, progressos puramente técnicos em matemática decorreram de tentativas de esclarecer tópicos durante o ENSINO dos mesmos. Minha questão (algo polêmica) é a seguinte. Tenho observado, particularmente aqui em Belo Horizonte, uma certa onda em falar sobre fractais e teoria do caos para estudantes comuns (sem nenhuma conotação pejorativa) do ensino médio. Recentemente, tomei conhecimento de professores que solicitoram aos seus alunos que fizessem uma pesquisa pela Internet -- como se se ensinasse metodologia científica nos colégios ... -- e escrevessem um texto sobre fractais e caos. Dos alunos que me consultaram, nenhum conseguiu nota máxima no trabalho, pelo fato de o respectivo professor ter alegado que o texto não estava suficientemente claro. Fiquei imediatamente indignado, dado que, tanto quanto sei, quase nenhum professor dessas instituições sabe sequer DEFINIR tecnicamente o que é um fractal. Posso felicitar os professores em sua tentativa de tornar a matemática mais atraente pela sugestão de tais pesquisas de temas modernosos e de grande apelo visual, mas considero irresponsável e ingênua tal proposta no contexto dessas instituições, nas quais o aluno não conta com incentivos à sua auto-estima e nem com o guia seguro de professores qualificados. O que vocês acham? Os nossos alunos estariam realmente preparados para fazer pesquisas e produzir textos razoáveis sobre temas tão avançados? O ensino médio já não comportaria temas clássicos igualmente excitante e instrutivos para estudo na Internet? Afinal, por que não pedem aos garotos para pesquisarem sobre física qântica e a teoria gravitacional de Einstein? Atenciosamente, Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] curiosidade
Ola pessoal, Quem eh o prof. Rousseau que voces, as vezes, citam na lista ?
Re: [obm-l] Duvida de polinomios
essa interpolação é para polinomios.. --- A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] escreveu: Salvo melhor juizo, nenhuma. Talvez, longinquamente, na demonstraçao de ambos (as demonstraçoes sao construtivas!) se use a ideia de escrever o que se deseja como uma soma de coisas mais simples. Carlos Maçaranduba wrote: Qual a relação entre a interpolação de Lagrange e o teorema chines do resto?? ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios
Um polinomio eh nulo quando os seus coeficientes sao nulos, o que nao eh o caso do polinomio f(x) = x^2 + x no corpo dos inteiros modulo 2; dois dos coeficientes desse polinomio sao iguais a 1. Entao, eh falso que f = 0. Mas f(0) = f(1) = 0, ou seja, f(w) = 0 para todo w em Z2. Leia a resposta que lhe foi mandada por Carlos Csar de Arajo e convena-se de que isso eh um contra-exemplo sim.. Carlos Maaranduba wrote: Pode ser que seja problema de interpretao, mas eu acho que isto no contra-exemplo PORQUE: -Pela hipotese, eu nao deveria considerar, mesmo para um corpo finito que f(w) = 0 ,para todo elemento w pertencente ao corpo finito e CONCLUIR QUE f =0 FALSO NESTE CASO -UM CONTRA-EXEMPLO BOM NAO SERIA RESPEITANDO O QUE EU DISSE ACIMA --- "A. C. Morgado" [EMAIL PROTECTED] escreveu: f(x) = x^2 + x em Z(2) eh um contraexemplo. Carlos Maaranduba wrote: Seja k um corpo infinito.Se f pertence a k[x] tal que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a k, ento f = 0.Mostrar por exemplo que esta propriedade falha se k finito. ___ Yahoo! Mail Mais espao, mais segurana e gratuito: caixa postal de 6MB, antivrus, proteo contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Mail Mais espao, mais segurana e gratuito: caixa postal de 6MB, antivrus, proteo contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida de polinomios
A formula de interpolaao de Lagrange aparece na demonstraao do seguinte teorema: Dados n+1 pontos (x_1, y_1),..., (x_n, y_n) existe um e um so polinomio P(x) de grau menor que ou igual a n tal que P(x_1) = y_1,..., P(x_n) = y_n. A demonstraao da existencia eh feita de modo construtivo, exibindo o polinomio. A formula que da tal polinomio eh a Formula de Interpolaao de Lagrange. Na demonstraao, escreve-se o polinomio como uma soma de polinomios mais simples. O teorema chines diz respeito a existencia de soluoes para sistemas de congruencias e a sua demonstraao eh construtiva, exibindo-se tambem a soluao a partir de soluoes das equaoes do sistema, tambem como uma soma. Foi esta a unica semelhana entre coisas tao dispares que pude perceber. Talvez outros consigam ver relaoes que eu nao consegui, por isso iniciei minha resposta com "salvo melhor juizo..." Carlos Maaranduba wrote: essa interpolao para polinomios.. --- "A. C. Morgado" [EMAIL PROTECTED] escreveu: Salvo melhor juizo, nenhuma. Talvez, longinquamente, na demonstraao de ambos (as demonstraoes sao construtivas!) se use a ideia de escrever o que se deseja como uma soma de coisas mais simples. Carlos Maaranduba wrote: Qual a relao entre a interpolao de Lagrange e o teorema chines do resto?? ___ Yahoo! Mail Mais espao, mais segurana e gratuito: caixa postal de 6MB, antivrus, proteo contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Mail Mais espao, mais segurana e gratuito: caixa postal de 6MB, antivrus, proteo contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios
usando o seu argumento eu poderia dizer que no caso de um corpo infinito , eu poderia construir um produtorio de (x - w) infinitos para todo w que pertence ao corpo.Isto é possivel pelo teorema das raizes de um polinomio num corpo.Entao eu obteria um polinomio não nulo de infinitos fatoresNão é um polinomio nulo como (x - 1)(x - 0)mod2 do seu exemplo.. --- A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] escreveu: Um polinomio eh nulo quando os seus coeficientes sao nulos, o que nao eh o caso do polinomio f(x) = x^2 + x no corpo dos inteiros modulo 2; dois dos coeficientes desse polinomio sao iguais a 1. Entao, eh falso que f = 0. Mas f(0) = f(1) = 0, ou seja, f(w) = 0 para todo w em Z2. Leia a resposta que lhe foi mandada por Carlos César de Araújo e convença-se de que isso eh um contra-exemplo sim.. Carlos Maçaranduba wrote: Pode ser que seja problema de interpretação, mas eu acho que isto não é contra-exemplo PORQUE: -Pela hipotese, eu nao deveria considerar, mesmo para um corpo finito que f(w) = 0 ,para todo elemento w pertencente ao corpo finito e CONCLUIR QUE f =0 É FALSO NESTE CASO -UM CONTRA-EXEMPLO BOM NAO SERIA RESPEITANDO O QUE EU DISSE ACIMA --- A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] escreveu: f(x) = x^2 + x em Z(2) eh um contraexemplo. Carlos Maçaranduba wrote: Seja k um corpo infinito.Se f pertence a k[x] é tal que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a k, então f = 0.Mostrar por exemplo que esta propriedade é falha se k é finito. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] problema de Topologia
Eh exatamente isto!
Alem das conclusoes que vc citou, hah duas outras interessantes, validas
em espacos metricos e em espacos toplogicos metrizaveis:
Se X eh um espaco metrico, A eh um subconjunto de X, Y eh um espaco
metrico completo e f:A=X eh uniformemente continua, entao f tem uma
unica extensao uniformemente continua para cl A.
Se f eh continua em A e apresenta limite nos pontos de acumulacao de A,
entao f tem uma unica extensao continua para cl A. Neste caso, Y nao
precisa ser completo.
Um abraco
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]
rio.br] On Behalf Of Carlos César de Araújo
Sent: Saturday, May 31, 2003 3:04 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] problema de Topologia
Acho este problema bonito
Sejam X un espaco topolologico, Y um espaco topologico de Haursdorff
e f
e g funcoes continuas de X em Y. Mostre que E = {x em X | f(x) =
g(x)}
eh um subconjunto fechado de X.
Vejamos se o complementar X-E é, de fato, aberto. Para isto, dado v em
X-E,
devemos obter um X-aberto V tal que
(*) v está em V e V contido em X-E.
Ora, como v está em X-E, temos f(v)g(v). Como Y é de Hausdorff, os
pontos
distintos f(v) e g(v) podem ser SEPARADOS por certos Y-abertos A e B;
isto
é, temos
(*) f(v) em A, g(v) em B, A disjunto de B,
ou ainda (em termos de imagens inversas)
(*) v em f^(-1)(A), v em g^(-1)(B), A disjunto de B.
Como f e g são CONTÍNUAS, segue-se que a interseção
V = f^(-1)(A) inter g^(-1)(B)
é um X-aberto contendo v. Resta verificar que V está contido em X-E.
Ora,
como A é disjunto de B, temos
x em V == f(x) em A e g(x) em B == f(x) não está em B == f(x)g(x)
==
x
não está em E.
Era o que cumpria provar.
OBSERVAÇÃO. Com as hipóteses acima, somos naturalmente levados a este
resultado quando tentamos provar que toda função contínua f: A-Y
admite NO
MÁXIMO uma extensão contínua ao fecho cl(A). (Alternativamente: se duas
funções contínuas de X em Y coincidem num subconjunto denso de X, então
elas
coincidem em toda parte.)
Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG
===
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios
Voce sabe o que eh um polinomio? Isso que voce esta indicando aih eu nao sei o que eh, mas polinomio nao eh. Imagine se o seu corpo for R: produtorio de (x-w), w percorrendo os reais. Voce sabe o que eh um polinomio nulo? Voce ja se deu ao trabalho de olhar a resposta do Carlos Cesar a sua pergunta? Esta eh minha ultima manifestaao a respeito. Carlos Maaranduba wrote: usando o seu argumento eu poderia dizer que no caso de um corpo infinito , eu poderia construir um produtorio de (x - w) infinitos para todo w que pertence ao corpo.Isto possivel pelo teorema das raizes de um polinomio num corpo.Entao eu obteria um polinomio no nulo de infinitos fatoresNo um polinomio nulo como (x - 1)(x - 0)mod2 do seu exemplo.. --- "A. C. Morgado" [EMAIL PROTECTED] escreveu: Um polinomio eh nulo quando os seus coeficientes sao nulos, o que nao eh o caso do polinomio f(x) = x^2 + x no corpo dos inteiros modulo 2; dois dos coeficientes desse polinomio sao iguais a 1. Entao, eh falso que f = 0. Mas f(0) = f(1) = 0, ou seja, f(w) = 0 para todo w em Z2. Leia a resposta que lhe foi mandada por Carlos Csar de Arajo e convena-se de que isso eh um contra-exemplo sim.. Carlos Maaranduba wrote: Pode ser que seja problema de interpretao, mas eu acho que isto no contra-exemplo PORQUE: -Pela hipotese, eu nao deveria considerar, mesmo para um corpo finito que f(w) = 0 ,para todo elemento w pertencente ao corpo finito e CONCLUIR QUE f =0 FALSO NESTE CASO -UM CONTRA-EXEMPLO BOM NAO SERIA RESPEITANDO O QUE EU DISSE ACIMA --- "A. C. Morgado" [EMAIL PROTECTED] escreveu: f(x) = x^2 + x em Z(2) eh um contraexemplo. Carlos Maaranduba wrote: Seja k um corpo infinito.Se f pertence a k[x] tal que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a k, ento f = 0.Mostrar por exemplo que esta propriedade falha se k finito. ___ Yahoo! Mail Mais espao, mais segurana e gratuito: caixa postal de 6MB, antivrus, proteo contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Mail Mais espao, mais segurana e gratuito: caixa postal de 6MB, antivrus, proteo contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Mail Mais espao, mais segurana e gratuito: caixa postal de 6MB, antivrus, proteo contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Conjuntos (refazendo)
olá pessoal, recentemente, postei uma mensagem de um exercício de conjuntos e com minha solução. Analisando-a em casa, percebi que usei algumas aplicações erroneamente. Por exemplo: É correto fazer (A U B)^c = A^c #8745; B^c, mas não é (A - B)^c = A^c - B^c (como eu fiz) Analisando esse último (A^c - B^c) no diagrama de Eule- Ven, notamos que a codição (reunião ou interseção) em que se encontram o conjunto A e o B altera o resultado. Por exemplo: para A #8745; B, temos: A^c - B^c = B - A e para A diferente B, temos: A^c - B^c = B Gostaria de saber se existe alguma propriedade para diferença de conjuntos complementar, tipo como a que usei erroneamente, (A - B)^c = A^c - B^c. Ou algum método para solucionar de forma direta, questões como a que eu postei (estou colocando novamente abaixo), sem o auxílio do diagrama de Euler-ven, pois este necessitaria de várias condições, e, no caso da utilização de três conjuntos ficaria algo impraticável. (ITA-96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações: I. (A B)^c (B #8745; A^c)^c = vazio II. (A B^c)^c = B - A^c III. [(A^c B) #8745; (B A)]^c = A Sobre essas afirmações, podemos garantir que: (A) Apenas afirmação I é verdadeira. (B) Apenas a afirmação II é verdadeira. (C) Apenas III é verdadeira. (D) Todas as afirmações são verdadeiras (E) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. Obrigado pela atenção. Estarei grato por qualquer informação. Marcelo Paiva Jr. __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos (refazendo)
Marcelo, ninguem ta se animando a te responder (eu creio) porque a sua mensagem eh de leitura muito, muito dificil. Reposte a mensagem sem simbolos e acentos. Na que eu recebi tem um A^c #8745; B^c. Melhor teria sido escrever complemento de (A uniao B) = (complemento de A) uniao (complemento de B) ... marcelo.paiva.jr4 wrote: ol pessoal, recentemente, postei uma mensagem de um exerccio de conjuntos e com minha soluo. Analisando-a em casa, percebi que usei algumas aplicaes erroneamente. Por exemplo: correto fazer (A U B)^c = A^c #8745; B^c, mas no (A - B)^c = A^c - B^c (como eu fiz) Analisando esse ltimo (A^c - B^c) no diagrama de Eule- Ven, notamos que a codio (reunio ou interseo) em que se encontram o conjunto A e o B altera o resultado. Por exemplo: para A #8745; B, temos: A^c - B^c = B - A e para A "diferente" B, temos: A^c - B^c = B Gostaria de saber se existe alguma propriedade para diferena de conjuntos complementar, tipo como a que usei erroneamente, (A - B)^c = A^c - B^c. Ou algum mtodo para solucionar de forma direta, questes como a que eu postei (estou colocando novamente abaixo), sem o auxlio do diagrama de Euler-ven, pois este necessitaria de vrias condies, e, no caso da utilizao de trs conjuntos ficaria algo impraticvel. (ITA-96) Sejam A e B subconjuntos no vazios de R, e considere as seguintes afirmaes: I. (A B)^c (B #8745; A^c)^c = vazio II. (A B^c)^c = B - A^c III. [(A^c B) #8745; (B A)]^c = A Sobre essas afirmaes, podemos garantir que: (A) Apenas afirmao I verdadeira. (B) Apenas a afirmao II verdadeira. (C) Apenas III verdadeira. (D) Todas as afirmaes so verdadeiras (E) Apenas as afirmaes I e III so verdadeiras. Obrigado pela ateno. Estarei grato por qualquer informao. Marcelo Paiva Jr. __ Seleo de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para voc e sua famlia. http://www.uol.com.br/selecao = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios
Prezado Carlos Maçaranduba e demais colegas,
Um contra-exemplo de uma afirmação P é um exemplo da negação de P. No seu
caso, P é a firmação
Se f pertence a k[x] é tal que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a
k, então f = 0.
Pelas regras que governam os sinais lógicos, a negação disto é:
Existe f em k[x] tal que f(w)=0 para todo w em k, MAS f0.
(O mas, aqui, é meramente enfático; do ponto de vista lógico, significa
e.) Portanto, construir um contra-exemplo para K finito consiste em
apresentar:
(a) um corpo finito específico. A. C. Morgado ofereceu K=Z(2)={0,1}, que é
um corpo porque 2 é primo.
(b) um polinômio f em K[X] que se anule em todo w pertencente a K. A. C.
Morgado considerou f = X^2+X. Este polinômio é nulo em todo w em Z(2)? Sim,
pois f(0)=0^2+0=0 e f(1)=1^2+1=1+1=2=0. (Suponho, naturalmente, que você
compreende essas passagens sem maiores explicações.) Portanto, f(w)=w^2+w=0
para todo w em Z(2). Certo?
(c) um polinômio f que satisfaça (b) e que seja NÃO-NULO. Isto quer dizer,
que tenha PELO MENOS UM coeficiente diferente do zero (do corpo). Ora, o
polinômio apresentado por Morgado tem como coeficientes 1, 1 e 0. Isto é,
X^2+X=aX^2+bX+c, com (a,b,c)=(1,1,0). Como 10 (não é?), este polinômio é
não-nulo.
Em parte, foi justamente a percepção de fatos como em (c) que estimularam os
matemáticos a estabelecer uma diferença entre funções polinomiais e
formas polinomiais. Esses conceitos deixam de coincidir precisamente
quando se trabalha com corpos finitos.
Abraços,
Carlos César de Araújo
Matemática para Gregos Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG
- Original Message -
From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, May 31, 2003 6:20 PM
Subject: Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios
Pode ser que seja problema de interpretação, mas eu
acho que isto não é contra-exemplo PORQUE:
-Pela hipotese, eu nao deveria considerar, mesmo para
um corpo finito que f(w) = 0 ,para todo elemento w
pertencente ao corpo finito e CONCLUIR QUE f =0 É
FALSO NESTE CASO
-UM CONTRA-EXEMPLO BOM NAO SERIA RESPEITANDO O QUE EU
DISSE ACIMA
--- A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED]
escreveu: f(x) = x^2 + x em Z(2) eh um
contraexemplo.
Carlos Maçaranduba wrote:
Seja k um corpo infinito.Se f pertence a k[x] é tal
que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a k,
então f = 0.Mostrar por exemplo que esta
propriedade é
falha se k é finito.
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[obm-l] Problema Interessante
Os minérios de ferro de duas minas x e y possuem respectivamente 72% e 58% de ferro. Uma mistura desses dois minérios deu um terceiro minério possuindo 62% de ferro. A razão entre as quantidades do minério da mina x para a mina y, nessa mistura é: a) 1,4 b) 1,2 c) 0,5 d) 0,2 e) 0,4
Re: [obm-l] Conjuntos (refazendo)
Oi, Marcelo (e Morgado): Pelo que eu entendi, voce quer abrir a expressao: (A - B)^c. (X^c = complementar de X). Se for esse o caso, use a seguinte identidade: A - B = A inter B^c == (A - B)^c = (A inter B^c)^c = A^c uniao (B^c)^c = A^c uniao B Na primeira igualdade, eu usei a equivalencia acima, na segunda uma das leis de DeMorgan, e na terceira o fato de que (X^c)^c = X, para todo conjunto X. Por outro lado: A^c - B^c = A^c inter (B^c)^c = A^c inter B, o que eh diferente de A^c uniao B, a menos que B = A^c. Espero que isso ajude. Um abraco, Claudio. -- Cabeçalho inicial --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Sat, 31 May 2003 22:07:08 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos (refazendo) Marcelo, ninguem ta se animando a te responder (eu creio) porque a sua mensagem eh de leitura muito, muito dificil. Reposte a mensagem sem simbolos e acentos. Na que eu recebi tem um A^c ? B^c. Melhor teria sido escrever complemento de (A uniao B) = (complemento de A) uniao (complemento de B) ... marcelo.paiva.jr4 wrote: olá pessoal, recentemente, postei uma mensagem de um exercício de conjuntos e com minha solução. Analisando-a em casa, percebi que usei algumas aplicações erroneamente. Por exemplo: É correto fazer (A U B)^c = A^c ? B^c, mas não é (A - B)^c = A^c - B^c (como eu fiz) Analisando esse último (A^c - B^c) no diagrama de Eule- Ven, notamos que a codição (reunião ou interseção) em que se encontram o conjunto A e o B altera o resultado. Por exemplo: para A ? B, temos: A^c - B^c = B - A e para A diferente B, temos: A^c - B^c = B Gostaria de saber se existe alguma propriedade para diferença de conjuntos complementar, tipo como a que usei erroneamente, (A - B)^c = A^c - B^c. Ou algum método para solucionar de forma direta, questões como a que eu postei (estou colocando novamente abaix rama de Euler-ven, pois este necessitaria de várias condições, e, no caso da utilização de três conjuntos ficaria algo impraticável. (ITA-96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações: I. (A - B)^c (B ? A^c)^c = vazio II. (A - B^c)^c = B - A^c III. [(A^c - B) ? (B - A)]^c = A Sobre essas afirmações, podemos garantir que: (A) Apenas afirmação I é verdadeira. (B) Apenas a afirmação II é verdadeira. (C) Apenas III é verdadeira. (D) Todas as afirmações são verdadeiras (E) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. Obrigado pela atenção. Estarei grato por qualquer informação. Marcelo Paiva Jr. _ _ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] ajuda geometria
Title: Mensagem Trace os segmentos MC e BP. Observe que o triâgulo NMC é retângulo já que M e B são diametralmente opostos (o ângulo MCB está inscrito num arco de meia volta). Como o triângulo BPN é semelhante ao NMC (caso A-A) NPB é reto. O arco q subtendea corda MC é um arco de 60º e portanto med(MC) = R. Temos ainda que med(NC) = R*SQRT(3)/2 e usando o teorema de pitagoras vc descobre que med (NM) = R*SQRT(7)/2. Agora basta usar a semelhança e descobrir med(NP),que, se eu não errei todas as contas (o q eh muito pouco provável), deve ser 3*R*SQRT(7)/14 []'s Boromir -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Daniel PiniEnviada em: sábado, 31 de maio de 2003 14:26Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] ajuda geometria Considere um triângulo equilátero ABC, inscrito em um circulo de raio R. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios do arco menor AC e do segmento BC. Se a reta MN também intercepta a circunferencia desse circulo no ponto P, P diferente de M, então NP mede?
RE: [obm-l] Problema Interessante
Sejam Qx e Qy as quantidades de minerio das minas x e y que compoem a mistura. A quantidade total de ferro nesta mistura, segundo as informacoes prestadas, eh entao de 0,72Qx + 0,58 Qy, a qual representa 62% da quantidade total de minerio. Logo, 0,72Qx + 0,58 Qy = 0,62(Qx + Qy) = 0,10Qx = 0,04Qy e, portanto, Qx/Qy = 0,04/0,10 = 0,4. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Fabio Bernardo Sent: Saturday, May 31, 2003 10:57 PM To: obm Subject: [obm-l] Problema Interessante Os minérios de ferro de duas minas x e y possuem respectivamente 72% e 58% de ferro. Uma mistura desses dois minérios deu um terceiro minério possuindo 62% de ferro. A razão entre as quantidades do minério da mina x para a mina y, nessa mistura é: a) 1,4 b) 1,2 c) 0,5 d) 0,2 e) 0,4 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
Oi Fabio, Seja X a quantidade de minério da mina x e Y, da mina y, então: 0,72X + 0,58Y = 0,62(X + Y) 0,10X = 0,04Y X/Y = 0,4 um abraço, Camilo Fabio Bernardo [EMAIL PROTECTED] wrote: Os minérios de ferro de duas minas x e y possuem respectivamente 72% e 58% de ferro. Uma mistura desses dois minérios deu um terceiro minério possuindo 62% de ferro. A razão entre as quantidades do minério da mina x para a mina y, nessa mistura é: a) 1,4 b) 1,2 c) 0,5 d) 0,2 e) 0,4Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] Conjuntos (refazendo)
Claudio, muito obrigado pela ajuda, essa identidade que você colocou, realmente, facilita e muito os cálculos -Fiquei um bom tempo analisando uma saida, e não tive essa idéia, vivendo e aprendendo-. Gostaria de fazer mais uma pergunta. Para resolver essa última conseqüência, por exemplo, A inter B^c, não existe outra maneira, tem que se considerar a condição (interseção ou reunião) dos conjuntos A e B, digo isso diante - novamente- do diagrama de Euler-ven. Você concorda? De qualquer forma, obrigado pela atenção. Marcelo Paiva Jr. Oi, Marcelo (e Morgado): Pelo que eu entendi, voce quer abrir a expressao: (A - B)^c. (X^c = complementar de X). Se for esse o caso, use a seguinte identidade: A - B = A inter B^c == (A - B)^c = (A inter B^c)^c = A^c uniao (B^c) ^c = A^c uniao B Na primeira igualdade, eu usei a equivalencia acima, na segunda uma das leis de DeMorgan, e na terceira o fato de que (X^c)^c = X, para todo conjunto X. Por outro lado: A^c - B^c = A^c inter (B^c) ^c = A^c inter B, o que eh diferente de A^c uniao B, a menos que B = A^c. Espero que isso ajude. Um abraco, Claudio. -- Cabeçalho inicial --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Sat, 31 May 2003 22:07:08 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos (refazendo) Marcelo, ninguem ta se animando a te responder (eu cr eio) porque a sua mensagem eh de leitura muito, muito dificil. Reposte a mensagem sem simbolos e acentos. Na que eu recebi tem um A^c ? B^c . Melhor teria sido escrever complemento de (A uniao B) = (complemento de A) uniao (complemento de B) ... marcelo.paiva.jr4 wrote: olá pessoal, recentemente, postei uma mensagem de um exercício de conjuntos e com minha solução. Analisan do-a em casa, percebi que usei algumas aplicações erroneamente. Por exemplo: É correto fazer (A U B)^c = A^c ? B^c, mas não é (A - B)^c = A^c - B^c (como eu fiz) Analisando esse último (A^c - B^c) no diagrama de Eule- Ven, notamos que a codição (reunião ou interseção) e m que se encontram o conjunto A e o B altera o resulta do. Por exemplo: para A ? B, temos: A^c - B^c = B - A e para A diferente B, temos: A^c - B^c = B Gostaria de saber se existe alguma propriedade para diferença de conjuntos complementar, tipo como a q ue usei erroneamente, (A - B)^c = A^c - B^c. Ou algum método para solucionar de forma direta, questões com o a que eu postei (estou colocando novamente abaix rama de Euler-ven, pois este necessitaria de várias condições, e, no caso da utilização de trê s conjuntos ficaria algo impraticável. (ITA- 96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações: I. (A - B)^c (B ? A^c)^c = vazio II. (A - B^c)^c = B - A^c III. [(A^c - B) ? (B - A)]^c = A Sobre essas afirmações, podemos garantir que: (A) Apenas afirmação I é verdadeira. (B) Apenas a afirmação II é verdadeira. (C) Apenas III é verdadeira. (D) Todas as afirmações são verdadeiras (E) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. Obrigado pela atenção. Estarei grato por qualquer informação. Marcelo Paiva Jr. _ _ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua fam ília. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usa r a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos (Morgado)
Prof. Morgado, respondi a mensagem de Claudio sem ler a sua. Em resposta, realmente, você tem razão, utilizei o caractere interseção do windows, pois no e-mail bol estava lendo -fiz um teste antes-, mas, pelo visto, não é acoselhado mesmo utilizar tal recurso. Obrigado pelo aviso. Marcelo Paiva Jr. Marcelo, ninguem ta se animando a te responder (eu crei o) porque a sua mensagem eh de leitura muito, muito dificil. Reposte a mensagem sem simbolos e acentos. Na que eu recebi tem um A^c #8745; B^c. Melhor teria sido escrever complemento de (A uniao B) = (complemento de A) uniao (complemento de B) ... marcelo.paiva.jr4 wrote: olá pessoal, recentemente, postei uma mensagem de um exercício de conjuntos e com minha solução. Analisando -a em casa, percebi que usei algumas aplicações erroneamente. Por exemplo: É correto fazer (A U B)^c = A^c #8745; B^c, mas não é (A - B)^c = A^c - B^c (como eu fiz) Analisando esse último (A^c - B^c) no diagrama de Eule- Ven, notamos que a codição (reunião ou interseção) em que se encontram o conjunto A e o B altera o resultado . Por exemplo: para A #8745; B, temos: A^c - B^c = B - A e para A diferente B, temos: A^c - B^c = B Gostaria de saber se existe alguma propriedade para diferença de conjuntos complementar, tipo como a que usei erroneamente, (A - B)^c = A^c - B^c. Ou algum método para solucionar de forma direta, questões como a que eu postei (estou colocando novamente abaixo), sem o auxílio do diagrama de Euler- ven, pois este necessitaria de várias condições, e, no caso da utilização de três conjuntos ficaria algo impraticável. (ITA-96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações: I. (A - B)^c (B #8745; A^c)^c = vazio II. (A - B^c)^c = B - A^c III. [(A^c - B) #8745; (B - A)]^c = A Sobre essas afirmações, podemos garantir que: (A) Apenas afirmação I é verdadeira. (B) Apenas a afirmação II é verdadeira. (C) Apenas III é verdadeira. (D) Todas as afirmações são verdadeiras (E) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. Obrigado pela atenção. Estarei grato por qualquer informação. Marcelo Paiva Jr. __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua famíl ia. http://www.uol.com.br/selecao == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
