[obm-l] [OFF] Como fazer arroba em LaTeX?
Eu tenho que escrever um documento em LaTeX e necessito do simbolo de arroba (@). Alguém sabe qual o comando? Ja pesquisei e nao encontrei nada a respeito. Nem no meu editor (WinEdt) ha a opcao de arroba nos caracteres especiais. Grato = - Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] UIN 114153703 ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] [OFF] Como fazer arroba em LaTeX?
On Wed, Sep 17, 2003 at 11:33:11AM -0300, Marcus Nunes wrote: Eu tenho que escrever um documento em LaTeX e necessito do simbolo de arroba (@). Alguém sabe qual o comando? Ja pesquisei e nao encontrei nada a respeito. Nem no meu editor (WinEdt) ha a opcao de arroba nos caracteres especiais. É só usar @ mesmo. Mas não mande este tipo de pergunta para a lista, svp, é off-topic. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Como resolvê-las???
2^x - 3^(1/x)=1
Seja F: R-{0} - R dada por F(x) = 2^x - 3^(1/x) - 1
Voce quer justamente os zeros de F.
F é contínua e diferenciável em todo o seu domínio (R - {0})
com
F'(x) = 2^x*ln(2) + (1/x^2)*3^(1/x)*ln(3)
F'(x) 0 para todo x em R - {0} ==
F é crescente em todo o seu domínio.
Repare que lim(x - 0-) F(x) = 0 ==
F(x) 0 para todo x 0 ==
F não tem zeros negativos
F(1) = -2 0 e F(2) = 3 - raiz(3) 0 ==
F tem um zero entre 1 e 2 e pela positividade de F', este zero é único.
Com uma planilha eu achei x = 1,58496250071 com precisão de 11 casas
decimais.
Um abraço,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Vc tem toda a razao. Meu erro. On Tue, 16 Sep 2003 23:11:36 -0300, Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Felipe, a pergunta é mais geral do que esta: será que para n 1 existe m tal que f(m) = g(n)? Duda. From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED] Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Sim, uma demonstração bem simples. Sejam f(n) := n^2 g(n) := n! = (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 (DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! = n*(n!) Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1 n =4 = n! = 24 = n*(n! - 2) = 4*(24 - 2) = 4*22 = 88 Ou seja, para n =4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n) Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16 g(4) f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais. Resta apenas checar os pontos antes de 4... g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3) g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2) Então f(n) e g(n) são diferentes para todo n 1. -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia inexistente
Isto ja aconteceu numa Cone Sul,se eu nao me engano.De fato o problema dava umas condiçoes de uma sequencia e pedia um certo termo.Mas os alunos do Brasil provaram que nao existia a sequencia...Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi a todos!Estou aproveitando um rapido intervalo no trabalho para perguntar, jah queneste horario nao dah para pensar em matematica.Eu ontem estava ajudando a filha de um amigo com uns problemas sobresequencia de numeros reais. Pedia-se para verificar se uma sequencia, dadapor algumas condicoes, era convergente. Mas, apos analisarmos, verificamosque, ou porque houve um erro de enunciado, ou porque a questao era capciosa,a tal sequencia nao podia existir. As condicoes que a definiam eramcontraditorias, acarretando que, a partir de um k, seus termos fossempositivos e negativos. Dado que a pergunta final era "Eh esta sequenciaconvergente?" qual seria a resposta logicamente correta? Deveriamos dizersim, porque se a sequencia nao existe entao, por vacuidade, ela ehconvergente? Na linha daquilo que o Nicolau disse uma vez, a afirmacao"todos os dragoes sao verdes" eh verdadeira porque nao existem dragoes.Logo, dragoes e sequencias que nao podem existir sao qualquer coisa. Eurealmente estou com duvidas.Um abracoArtur OPEN Internet@Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos
Bem,o primeiro e razoavelmente facil mas bem chato:se voce conhece alguma formula para a soma dos cubos de 1 ate n fica facil adaptar.Caso contrario voce deve obte-la.A dica e:a soma desses cubos e um polinomio de grau 4. O que e triplo pitagorico primitivo? E o que e (20,y,z)"Henrique P. Sant'Anna Branco" [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Algumas questões: 1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n) 2) Ache todos os triplos pitagóricos (primitivos e não-primitivos) com (20, y, z). Grato, Henrique.___Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Eu acho que isto nao e tao facil:a coisa e achar todos os pares (a,b) com a^2=b! e voce so demonstrou que a nao e igual a b...Felipe Pina [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand?Sim, uma demonstração bem simples.Sejamf(n) := n^2g(n) := n!= (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1(DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! = n*(n!)Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1n =4 = n! = 24 = n*(n! - 2) = 4*(24 - 2) = 4*22 = 88Ou seja, para n =4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n)Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16g(4) f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais.Resta apenas checar os pontos antes de 4...g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3)g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2)Então f(n) e g(n) são diferentes para todo n 1.-- Felipe Pina=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html===Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: [obm-l] Valores de aderencia de cos(n)
A parte do n que importa eh n mod 2.pi, que eh denso no intervalo
[0,2.pi], porque n/2.pi eh irracional. Logo cos(n) eh denso em
cos([0,2.pi])=[-1,1]. Acho que eh so isso.
Abraco,
Salvador
On Tue, 16 Sep 2003, Claudio Buffara wrote:
E pra completar a serie de problemas sobre conjuntos densos em R, aqui vai
mais um problema do livro Curso de Analise - vol. 1 do Elon (cap. IV - ex.
46 da 6a. edicao):
Prove que o conjunto dos valores de aderencia da sequencia x(n) = cos(n) eh
o intervalo fechado [-1,1].
OBS: a eh valor de aderencia de x(n) == a eh limite de alguma subsequencia
de x(n).
Sugestao: Use o fato de que se b eh irracional, entao o conjunto {m + n*b;
m,n: inteiros} eh denso em R (o que uma coisa tem a ver com a outra???)
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Como resolvê-las???
Oi, Dirichlet: Imagino que sua idéia tenha sido multiplicar a equação por 3^x. Assim: 2^x - 3^(1/x) = 1 == 6^x - 3^(x+1/x) = 3^x == 6^x - 3^x = 3^(x+1/x) e não 6^x - 3^x = 1. Ou seja, 3^x*3^(1/x) não é igual a 1 (de fato, para nenhum valor real de x, pois isso implicaria em x + 1/x = 0 == x^2 + 1 = 0) Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, September 17, 2003 1:19 PM Subject: Re: [obm-l] Como resolvê-las??? 6^x-1=3^x ou 6^x-3^x=1.Como o lado esquerdo cresce mais rapido que o direito, basta testar as soluçoes ate um certo ponto.leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] wrote: sen(2x-a) - Ksen(a)=02^x - 3^(1/x)=1_MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? É só a gente ver que os quadrados são os números que tem uma quantidade ímpar de divisores. Afinal, os divisores de n vem em pares n e n/d. A única exceção é, se existir, raiz de n. Agora, se chamarmos de d(n) o número de divisores de n temos d(n!) = d(n)*d(n-1)*...d(2)*d(1), que é par pois d(2) é par. Então n! não pode ser quadrado. abrc -ed
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
d(24)=8 d(6)=4 d(4)=3 Logo, d(24)d(6)*d(4). A igualdade so vale, se os fatores forem primos entre si. Abraco, Salvador On Wed, 17 Sep 2003, Eduardo Azevedo wrote: Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? É só a gente ver que os quadrados são os números que tem uma quantidade ímpar de divisores. Afinal, os divisores de n vem em pares n e n/d. A única exceção é, se existir, raiz de n. Agora, se chamarmos de d(n) o número de divisores de n temos d(n!) = d(n)*d(n-1)*...d(2)*d(1), que é par pois d(2) é par. Então n! não pode ser quadrado. abrc -ed = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Imagem densa
Oi, Salvador:
Em essência eu acho que é isso, apesar de você ter omitido alguns passos
facilmente formalizáveis.
Uma pergunta que me ocorre é: que propriedade de f(x) = cos(x) você usou?
Apenas que f é uma sobrejeção de [0,2Pi] em [-1,1]?
Será que o fato de que f é contínua também é relevante?
Que tal cos(m + n*2Pi) = cos(|m|) com m, n inteiros?
Mais geralmente, a minha pergunta é a seguinte:
Dado um conjunto X contido em R e uma função f: X - R, se A é um
subconjunto qualquer de X tal que A é denso em X, qual a condição (sobre X e
f) para que f(A) seja denso em f(X)?
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED]
To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, September 17, 2003 2:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Valores de aderencia de cos(n)
A parte do n que importa eh n mod 2.pi, que eh denso no intervalo
[0,2.pi], porque n/2.pi eh irracional. Logo cos(n) eh denso em
cos([0,2.pi])=[-1,1]. Acho que eh so isso.
Abraco,
Salvador
On Tue, 16 Sep 2003, Claudio Buffara wrote:
E pra completar a serie de problemas sobre conjuntos densos em R, aqui
vai
mais um problema do livro Curso de Analise - vol. 1 do Elon (cap. IV -
ex.
46 da 6a. edicao):
Prove que o conjunto dos valores de aderencia da sequencia x(n) = cos(n)
eh
o intervalo fechado [-1,1].
OBS: a eh valor de aderencia de x(n) == a eh limite de alguma
subsequencia
de x(n).
Sugestao: Use o fato de que se b eh irracional, entao o conjunto {m +
n*b;
m,n: inteiros} eh denso em R (o que uma coisa tem a ver com a outra???)
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Oi, Ed: Infelizmente, você só pode dizer que d(m*n) = d(m)*d(n) se m e n forem primos entre si, o que não é válido no caso de n!se n = 4, pois mdc(4,2) = 2 (e de fato d(4!) = d(24) = 8, mas d(4)*d(3)*d(2)*d(1) = 3*2*2*1 = 12). Mas valeu pela atenção ao problema. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Eduardo Azevedo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, September 17, 2003 3:05 PM Subject: Re: [obm-l] Fatorial Quadrado Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? É só a gente ver que os quadrados são os números que tem uma quantidade ímpar de divisores. Afinal, os divisores de n vem em pares n e n/d. A única exceção é, se existir, raiz de n. Agora, se chamarmos de d(n) o número de divisores de n temos d(n!) = d(n)*d(n-1)*...d(2)*d(1), que é par pois d(2) é par. Então n! não pode ser quadrado. abrc -ed
[obm-l] equacao da involuta.
Pessoal, estou tentanto deduzir a eq. da envolvente do circulo mas estou obtendo expressoes gigantes dificeis de simplificar. Gostaria que o pessoal me ajudasse postando os modos mais simples de se resolver o problema. Segue o enunciado: Ao desenrolar-se, no plano de um circulo , uma corda enrolada no mesmo, sua extremidade descreve uma curva plana que se chama envolvente do circulo. Seja o circulo fixo de raio a e centro na origem. Sejam A(a,0) a poisção inicial do ponto P e PT a porção desenrolada tangente ao circulo em T. Deduzir as equacoes parametricas de envolvente do circulo usandoi como parametro phi , o angulo AOT Obrigado Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos
Bem,o primeiro e razoavelmente facil mas bem chato:se voce conhece alguma formula para a soma dos cubos de 1 ate n fica facil adaptar.Caso contrario voce deve obte-la.A dica e:a soma desses cubos e um polinomio de grau 4. O primeiro é realmente fácil... Depois que mandei a solução pra lista, consegui fazê-lo. Mas agradeço ao Cláudio. O que e triplo pitagorico primitivo? E o que e (20,y,z) Um Triplo Pitagórico é uma solução natural da equação diofantina x^2 + y^2 = z^2. Acho que tem esse nome porque x e y podem ser encarados como catetos de um triangulo retângulo e z, como a hipotenusa. Um Triplo Pitagórico é primitivo quando mdc(x,y,z) = 1 e (20, y, z) é um triplo da forma 20^2 + y^2 = z^2, os três numeros naturais. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Bem, não sei se estou falando besteira mas acho que tenho uma demonstração simples para o problema proposto, que até usa números primos, mas não utiliza o Postulado de Bertrand. Seja n! = 1.2.3.4.5...(n - 1).n Agora faça o seguinte: a partir de n, ande da direita para a esquerda na expressão 1.2.3.4...(n - 1).n, analisando se cada número que você está passando é primo ou composto. Uma hora você vai passar pela primeira vez por um número primo p. Claramente este primo p não possui nenhum divisor 1 menor que ele, ou seja, na fatoração de n! o expoente de p é 1, fazendo com que n! nunca seja um quadrado perfeito para n 1. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equacao da involuta.
on 17.09.03 17:49, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, estou tentanto deduzir a eq. da envolvente do circulo mas estou obtendo expressoes gigantes dificeis de simplificar. Gostaria que o pessoal me ajudasse postando os modos mais simples de se resolver o problema. Segue o enunciado: Ao desenrolar-se, no plano de um circulo , uma corda enrolada no mesmo, sua extremidade descreve uma curva plana que se chama envolvente do circulo. Seja o circulo fixo de raio a e centro na origem. Sejam A(a,0) a poisção inicial do ponto P e PT a porção desenrolada tangente ao circulo em T. Deduzir as equacoes parametricas de envolvente do circulo usandoi como parametro phi , o angulo AOT m(AOT) = t (preferi usar t ao inves de phi) m(TP) = m(arco AT) = t*m(OT) = t*a Alem disso, TP eh obtido de OT po meio de uma rotacao de 90 graus no sentido horario e uma dilatacao de um fator t Usando complexos: OT = a*cis(t) TP = -i*t*OT = a*i*t*cis(t) OP = OT + TP = a*cis(t)*(1 + i*t) = = a*(cos(t) + i*sen(t))*(1 + i*t) = = a*(cos(t) - t*sen(t)) + i*a*(sen(t) + t*cos(t)) OP = x + i*y == x = a*(cos(t) - t*sen(t)) y = a*(sen(t) + t*cos(t)) Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
on 17.09.03 19:45, marcelo oliveira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Bem, não sei se estou falando besteira mas acho que tenho uma demonstração simples para o problema proposto, que até usa números primos, mas não utiliza o Postulado de Bertrand. Seja n! = 1.2.3.4.5...(n - 1).n Agora faça o seguinte: a partir de n, ande da direita para a esquerda na expressão 1.2.3.4...(n - 1).n, analisando se cada número que você está passando é primo ou composto. Uma hora você vai passar pela primeira vez por um número primo p. Claramente este primo p não possui nenhum divisor 1 menor que ele, ou seja, na fatoração de n! o expoente de p é 1, fazendo com que n! nunca seja um quadrado perfeito para n 1. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira Oi, Marcelo: Eu pensei nisso. Voce estah falando do maior primo p tal que p = n. O expoente desse p em n! serah igual a 1 se e somente se n 2p, mas como voce prova isso sem usar o postulado de Bertrand? Com Bertrand sai em 2 linhas: Se n = 2p, entao existirah um primo q tal que p q 2p = n, contrariamente a escolha de p. Logo, deve ser n 2p. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Fatorial Quadrado
on 16.09.03 16:46, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Um abraco, Claudio. O que eu acho estranho eh que a demonstracao do postulado de Bertrand (pelo menos a que eu conheco) baseia-se numa analise dos fatores primos de Binom(2n,n) = (2n)!/n!^2. Assim, seria de se esperar que uma analise dos fatores primos de n! fosse mais simples do que a dos fatores de Binom(2n,n) e, portanto, que existisse uma demonstracao do resultado acima que nao envolvesse o postulado de Bertrand. Eh fato (decorrente do postulado de Bertrand) que se p eh o maior primo = n, entao n 2p e, portanto, o expoente de p em n! eh 1, o que impede que n! seja um quadrado perfeito. O problema eh que sem Bertrand eu nao consigo provar que n 2p, ou seja, que a situacao em que os numeros: p+1, p+2, ..., 2p-1, 2p, ..., n (n = 2p) sao todos compostos nunca ocorre. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Imagem densa
Boa noite a todos os amigos.
Um fato que me parece relevante eh que a funcao cosseno eh periodica e
continua em R e seu periodo minimo, 2PI, eh irracioinal. Pelo que jah
vimos, o conjunto A= {(2PI)a*n +m | m, n inteiros} eh denso em R. O
conjunto imagem do cosseno eh [-1, 1]. Para qualquer r neste intervalo,
existe, face aa continuidade da funcao cosseno, x em [-1, 1] (hah, eh
claro, uma infinidade) tal que cos(x) = r. Em virtude novamente da
continuidade do cosseno e do fato de que A eh denso em R, podemos, para
todo eps0, achar inteiros n e m tais que |cos(2PI*n +m) -r|eps --
|cos(m) -r|eps (usando agora a periodicidade do cosseno). Logo, o
conjunto imagem da sequencia ((cos(n)) eh denso em [-1,1], o que
equivale a dizer que [-1, 1] eh o conjunto dos seus pontos de aderencia.
Podemos generalizar:
Teorema: Se f eh periodica e continua em R e seu periodo minimo p eh
irracional, entao o conjunto dos pontos de aderencia da sequencia (f(n))
eh o intervalo fechado [-m, M], onde m e M sao os valores minimo e
maximo que f assume em [0, p].
Prova: Exatamente os mesmos argumentos que apresentei, generlaizados
agora para f, p e [-m , M].
Um grande abraco a todos
Artur
Oi, Salvador:
Em essência eu acho que é isso, apesar de você ter omitido alguns
passos
facilmente formalizáveis.
Uma pergunta que me ocorre é: que propriedade de f(x) = cos(x) você
usou?
Apenas que f é uma sobrejeção de [0,2Pi] em [-1,1]?
Será que o fato de que f é contínua também é relevante?
Que tal cos(m + n*2Pi) = cos(|m|) com m, n inteiros?
Mais geralmente, a minha pergunta é a seguinte:
Dado um conjunto X contido em R e uma função f: X - R, se A é um
subconjunto qualquer de X tal que A é denso em X, qual a condição
(sobre X
e
f) para que f(A) seja denso em f(X)?
Um abraço,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] Sequencia inexistente
-Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Sent: Wednesday, September 17, 2003 1:08 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Sequencia inexistente Isto ja aconteceu numa Cone Sul,se eu nao me engano.De fato o problema dava umas condiçoes de uma sequencia e pedia um certo termo.Mas os alunos do Brasil provaram que nao existia a sequencia... Pois eh! E neste caso, qual a resposta que se deve dar? Abracos. Artur Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi a todos! Estou aproveitando um rapido intervalo no trabalho para perguntar, jah que neste horario nao dah para pensar em matematica. Eu ontem estava ajudando a filha de um amigo com uns problemas sobre sequencia de numeros reais. Pedia-se para verificar se uma sequencia, dada por algumas condicoes, era convergente. Mas, apos analisarmos, verificamos que, ou porque houve um erro de enunciado, ou porque a questao era capciosa, a tal sequencia nao podia existir. As condicoes que a definiam eram contraditorias, acarretando que, a partir de um k, seus termos fossem positivos e negativos. Dado que a pergunta final era Eh esta sequencia convergente? qual seria a resposta logicamente correta? Deveriamos dizer sim, porque se a sequencia nao existe entao, por vacuidade, ela eh convergente? Na linha daquilo que o Nicolau disse uma vez, a afirmacao todos os dragoes sao verdes eh verdadeira porque nao existem dragoes. Logo, dragoes e sequencias que nao podem existir sao qualquer coisa. Eu realmente estou com duvidas. Um abraco Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Para quem gosta de Analise...
Este problema eh bonitinho
Suponhamos que f, de valor real, seja diferenciável em R e seja k0.
Mostre que:
se k0, então lim x - infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, implica
que lim x- infinito f('x) = 0 e lim x- infinito f(x) = L/k
se k0, então lim x- infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, só é
possível se lim x- infinito e^(k*x) f(x) = 0, caso em que temos também
lim x- infinito f'(x) = 0 e lim x- infinito f(x) = L/k
Abracos!
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: Fatorial Quadrado
Pensei um pouco nesse problema e, sei lá porque que razão, parei pra contar quantos dois aparecem nas fatorações de números (pares) consecutivos. Encontrei a seguinte sequência: 1 (2 contém exatamente um 2) 2 (4 contém dois 2...) 1 3 (8 tem 3, deu pra entender né) 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 5 (...) Era de se esperar que aparecessem simetrias, mas confesso que me surpreendi em constatar que as somas parciais dessa sequencia nos blocos terminados em posições 2^n são todas forma (2^n) -1 !! Ex: Somando até 4: 1+2 = 3 Somando até 8: 1+2+1+3 = 7 Somando até 32: 1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5 = 31 Depois do choque, vi que o fato é não só razoável como também algo esperado, já que entre 1 e 2^n vão haver 2^(n-1) múltiplos de 2, 2^(n-2) múltiplos de 4, 2^(n-3) múltiplos de 8 e assim por diante. Escrevendo essa soma em binário (isso te lembra alguma coisa, Pina ?) vamos tem um cara da forma ()base2 onde aparecem n 1´s , o que é justamente algo do tipo 2^n -1 !! Bom, isso não me levou a concluir nada sobre fatoriais e quadrados, mas achei válido mandar pra lista assim mesmo :-)) Saudações Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, September 17, 2003 9:24 PM Subject: [obm-l] Re: Fatorial Quadrado on 16.09.03 16:46, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Um abraco, Claudio. O que eu acho estranho eh que a demonstracao do postulado de Bertrand (pelo menos a que eu conheco) baseia-se numa analise dos fatores primos de Binom(2n,n) = (2n)!/n!^2. Assim, seria de se esperar que uma analise dos fatores primos de n! fosse mais simples do que a dos fatores de Binom(2n,n) e, portanto, que existisse uma demonstracao do resultado acima que nao envolvesse o postulado de Bertrand. Eh fato (decorrente do postulado de Bertrand) que se p eh o maior primo = n, entao n 2p e, portanto, o expoente de p em n! eh 1, o que impede que n! seja um quadrado perfeito. O problema eh que sem Bertrand eu nao consigo provar que n 2p, ou seja, que a situacao em que os numeros: p+1, p+2, ..., 2p-1, 2p, ..., n (n = 2p) sao todos compostos nunca ocorre. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Imagem densa
on 17.09.03 22:14, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Boa noite a todos os amigos.
Um fato que me parece relevante eh que a funcao cosseno eh periodica e
continua em R e seu periodo minimo, 2PI, eh irracioinal.
Oi, Artur:
Eu tambem achava isso, mas a funcao real f(x) = cos(x^2) nao eh periodica e
eu tenho a sensacao (mas nao a demonstracao) de que o conjunto de valores de
aderencia da sequencia y(n) = cos(n^2) tambem eh [-1,1].
Pelo que jah
vimos, o conjunto A= {(2PI)a*n +m | m, n inteiros} eh denso em R. O
conjunto imagem do cosseno eh [-1, 1]. Para qualquer r neste intervalo,
existe, face aa continuidade da funcao cosseno, x em [-1, 1] (hah, eh
claro, uma infinidade) tal que cos(x) = r.
Nesse caso acho que o que eh importante nao eh a continuidade mas o fato de
cos ser uma sobrejecao de R em [-1,1]. Por exemplo, a funcao f definida
acima eh descontinua em todo x inteiro.
Mais um exemplo: Seja f:R - R dada por:
f(x) = cos(x^2) se x eh racional
f(x) = -cos(x^2) se x eh irracional.
f eh nao-periodica e descontinua em quase todo ponto e eu apostaria que o
conjunto de valores de aderencia de z(n) = f(n) eh [-1,1].
Claro, tudo o que eu falei eh soh conjectural. Eu adoraria ver as
demonstracoes ou contra-exemplos.
Um abraco,
Claudio.
Em virtude novamente da
continuidade do cosseno e do fato de que A eh denso em R, podemos, para
todo eps0, achar inteiros n e m tais que |cos(2PI*n +m) -r|eps --
|cos(m) -r|eps (usando agora a periodicidade do cosseno). Logo, o
conjunto imagem da sequencia ((cos(n)) eh denso em [-1,1], o que
equivale a dizer que [-1, 1] eh o conjunto dos seus pontos de aderencia.
Podemos generalizar:
Teorema: Se f eh periodica e continua em R e seu periodo minimo p eh
irracional, entao o conjunto dos pontos de aderencia da sequencia (f(n))
eh o intervalo fechado [-m, M], onde m e M sao os valores minimo e
maximo que f assume em [0, p].
Prova: Exatamente os mesmos argumentos que apresentei, generlaizados
agora para f, p e [-m , M].
Um grande abraco a todos
Artur
Oi, Salvador:
Em essência eu acho que é isso, apesar de você ter omitido alguns
passos
facilmente formalizáveis.
Uma pergunta que me ocorre é: que propriedade de f(x) = cos(x) você
usou?
Apenas que f é uma sobrejeção de [0,2Pi] em [-1,1]?
Será que o fato de que f é contínua também é relevante?
Que tal cos(m + n*2Pi) = cos(|m|) com m, n inteiros?
Mais geralmente, a minha pergunta é a seguinte:
Dado um conjunto X contido em R e uma função f: X - R, se A é um
subconjunto qualquer de X tal que A é denso em X, qual a condição
(sobre X
e
f) para que f(A) seja denso em f(X)?
Um abraço,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica
on 17.09.03 23:05, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aa media geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, os numeros forem todos iguais. Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao havia me dado conta disto. Abracos. Artur Isso eh consequencia de MG = MA. Considere os numeros positivos a1, a2, ..., an. A sua media harmonica eh igual a n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) Entao: ((1/a1)*(1/a2)*...*(1/an))^(1/n) = (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n == 1/(a1*a2*...*an)^(1/n) = (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n == (a1*a2*...*an)^(1/n) = n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) == MG = MH e igualdade sss 1/a1 = 1/a2 = ... = 1/an sss a1 = a2 = ... = an. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica
Exatamente! Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara Sent: Thursday, September 18, 2003 12:02 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica on 17.09.03 23:05, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aa media geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, os numeros forem todos iguais. Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao havia me dado conta disto. Abracos. Artur Isso eh consequencia de MG = MA. Considere os numeros positivos a1, a2, ..., an. A sua media harmonica eh igual a n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) Entao: ((1/a1)*(1/a2)*...*(1/an))^(1/n) = (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n == 1/(a1*a2*...*an)^(1/n) = (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n == (a1*a2*...*an)^(1/n) = n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) == MG = MH e igualdade sss 1/a1 = 1/a2 = ... = 1/an sss a1 = a2 = ... = an. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Beleza matematica - T. do valor Intermediario
Dentro da ideia do Claudio, vou apresentar a prova deste que eh um dos mais
importantes teoremas da Analise: Se f eh continua em [a, b], entao f assume
em [a,b] todos os valores compreendidos entre f(a) e f(b). Para facilitar,
podemos, sem qualquer perda de generalidade, mostrar que, nas condicoes
dadas, se f(a)0 e f(b) 0 entao existe um c em (a,b) tal que f(c)=0. Vou
apresentar uma prova que acho linda. Definamos S = {x em [a,b] | f(x)0}.
Como S eh limitado superiormente por b, existe c = supremo S, sendo imediato
que c pertence a [a,b]. Se f(c)0, entao c estah em S e cb. Em virtude da
continuidade de f em [a,b], portanto em c, segue-se que existe 0 h b-c
tal que f eh estritamente negativa em (c, c+h). Logo, (c, c+h) eh
subconjunto de S, o que implica a existencia de um y em S (na realidade, uma
infinidade) tal que yc. Mas, como isto contraria a definicao de c = supremo
S, segue-se que f(c)0 eh uma hipotese insustentavel. Se, por outro lado,
f(c)0, entao ca. Da continuidade de f em c, segue-se que existe 0hc-a
tal que f eh estritamente positiva em (c-h, c), o que acarreta que (c-h, c)
nao intersecte S. Mas isto contraria a definicao de c como supremo de S,
mostrando que f(c) 0 eh tambem uma hipotese insustentavel. Por exclusao,
concluimos que f(c)=0. Nesta prova, o principio do supremo desempenha papel
fundamental.
Uma outra prova tambem interessante e baseada no fato de que R eh completo
(o que equivale ao principio do supremo) deu origem ao metodo da biseccao
para achar raizes de equacoes do tipo f(x)=0, quando f eh continua.
Definamos a1=a, b1= b, I1= [a1,b1] e seja c1 o ponto medio de I1. Se
f(c1)=0, acabou! Se f(c1)0, facamos a2=a1 e b2 = c1; se f(c10, facamos
a2=c1 e b2=b1. Definamos agora I2 = [a2, b2] e tomemos seu ponto medio c2;
Se f(c2) =0, fim; se não, apliquemos a I2 o mesmo processo descrito,
obtendo I3, e assim sucessivamente. Se este processo terminar apos um numero
finito de passos, entao encontraremos um c em [a,b] tal que f(c) = 0. Se o
processo prosseguir indefinidamente, obteremos sequencias (a_n) e (b_n)
tais que, para cada n, a = a_ n b_n = b, f(a_n)0 (1) e f(b_n)0 (2). Em
virtude das sucessivas biseccoes realizadas, teremos, tambem para cada n,
que b_n - a_n = 2^(-(n-1))*(b-a) Como R eh completo, existe um elemento c
comum a todos os intervalos fechados I_n, sendo portanto imediato que, para
todo n, 0 = c - a_n = 2^(-(n-1))*(b-a) e 0 = b_n - c = 2^(-(n-1))*(b-a).
Como 2^(-(n-1))*(b-a) -- 0, temos que (a_n) e (b_n) convergem para c, fato
que, em virtude da continuidade de f, acarreta que (f(a_n)) e (f(b_n))
convirjam para f(c). Considerando-se as propriedades dos limites de
sequencias, segue-se de (1) que f(c)=0 e de (2) que f(c)=0. Logo , f(c) =
0, o que demonstra o teorema.
Eh ainda interessante comentar que este teorema eh um caso particular de
outro bem mais geral, valido nao apenas em R, mas em R^n, em espacos
metricos e, ateh mesmo, em todos os espacos topologicos. Ou seja, se X e um
espaco conexo e f:X--Y eh continua em X, entao f(X) eh um subconjunto
conexo de Y. Funcoes continuas preservam conectividade. Como na reta real os
conjuntos conexos sao os intervalos, a imagem de [a,b] sob f eh tambem um
intervalo (e fechado, pois [a,b] eh compacto). Como f(a) e f(b) estao em
f([a,b]), segue-se, pelas propriedades dos intervalos, que f assume todos os
valores compreendidos entre f(a) e f(b). Um abraco
Artur
attachment: winmail.dat
RE: [obm-l] Imagem densa
Oi Cláudio,
Eu tambem tenho esta sensacao, acho que isto dah margem a um bonito
problema. O teorema que citei e se, nao creio que seja somente se.
(Mas tambem soh tenho conjecturas)
Um abraco
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara
Sent: Wednesday, September 17, 2003 11:57 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Imagem densa
on 17.09.03 22:14, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Boa noite a todos os amigos.
Um fato que me parece relevante eh que a funcao cosseno eh periodica
e
continua em R e seu periodo minimo, 2PI, eh irracioinal.
Oi, Artur:
Eu tambem achava isso, mas a funcao real f(x) = cos(x^2) nao eh
periodica
e
eu tenho a sensacao (mas nao a demonstracao) de que o conjunto de
valores
de
aderencia da sequencia y(n) = cos(n^2) tambem eh [-1,1].
Pelo que jah
vimos, o conjunto A= {(2PI)a*n +m | m, n inteiros} eh denso em R. O
conjunto imagem do cosseno eh [-1, 1]. Para qualquer r neste
intervalo,
existe, face aa continuidade da funcao cosseno, x em [-1, 1] (hah,
eh
claro, uma infinidade) tal que cos(x) = r.
Nesse caso acho que o que eh importante nao eh a continuidade mas o
fato
de
cos ser uma sobrejecao de R em [-1,1]. Por exemplo, a funcao f
definida
acima eh descontinua em todo x inteiro.
Mais um exemplo: Seja f:R - R dada por:
f(x) = cos(x^2) se x eh racional
f(x) = -cos(x^2) se x eh irracional.
f eh nao-periodica e descontinua em quase todo ponto e eu apostaria
que o
conjunto de valores de aderencia de z(n) = f(n) eh [-1,1].
Claro, tudo o que eu falei eh soh conjectural. Eu adoraria ver as
demonstracoes ou contra-exemplos.
Um abraco,
Claudio.
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[obm-l] Base 2 / Fatoriais / Binom(n,k)
Oi, Will: Se voce achou isso interessante, aqui tem mais alguns: 1) O expoente do primo p na decomposicao de n! eh igual a: [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... onde [x] = maior inteiro = x. 2) Binom(n,k) eh impar == as representacoes binarias de k e n-k nao tem um algarismo 1 nas mesmas posicoes == NURB(n) = NURB(k) + NURB(n-k) one NURB(m) = Numero de 1's na Representacao Binaria de m. 3) Binom(n,k) eh impar para todo k (0=k=n) == n = 2^m - 1 para algum inteiro positivo m. 4) Binom(n,k) eh par para todo k (1=k=n-1) == n = 2^m para algum inteiro positivo m. 5) Se E_2(n!) = expoente de 2 na decomposicao de n! e NURB(n) eh como definido acima, entao E_2(n!) + NURB(n) = n, para todo inteiro positivo n. 6) Para todo n, o numero de coeficientes binomiais Binom(n,k) (0=k=n) que sao impares eh igual a 2^NURB(n). Um abraco, Claudio. on 17.09.03 23:21, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pensei um pouco nesse problema e, sei lá porque que razão, parei pra contar quantos dois aparecem nas fatorações de números (pares) consecutivos. Encontrei a seguinte sequência: 1 (2 contém exatamente um 2) 2 (4 contém dois 2...) 1 3 (8 tem 3, deu pra entender né) 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 5 (...) Era de se esperar que aparecessem simetrias, mas confesso que me surpreendi em constatar que as somas parciais dessa sequencia nos blocos terminados em posições 2^n são todas forma (2^n) -1 !! Ex: Somando até 4: 1+2 = 3 Somando até 8: 1+2+1+3 = 7 Somando até 32: 1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5 = 31 Depois do choque, vi que o fato é não só razoável como também algo esperado, já que entre 1 e 2^n vão haver 2^(n-1) múltiplos de 2, 2^(n-2) múltiplos de 4, 2^(n-3) múltiplos de 8 e assim por diante. Escrevendo essa soma em binário (isso te lembra alguma coisa, Pina ?) vamos tem um cara da forma ()base2 onde aparecem n 1´s , o que é justamente algo do tipo 2^n -1 !! Bom, isso não me levou a concluir nada sobre fatoriais e quadrados, mas achei válido mandar pra lista assim mesmo :-)) Saudações Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
