Oi, Will: Se voce achou isso interessante, aqui tem mais alguns:
1) O expoente do primo p na decomposicao de n! eh igual a: [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... onde [x] = maior inteiro <= x. 2) Binom(n,k) eh impar <==> as representacoes binarias de k e n-k nao tem um algarismo "1" nas mesmas posicoes <==> NURB(n) = NURB(k) + NURB(n-k) one NURB(m) = Numero de 1's na Representacao Binaria de m. 3) Binom(n,k) eh impar para todo k (0<=k<=n) <==> n = 2^m - 1 para algum inteiro positivo m. 4) Binom(n,k) eh par para todo k (1<=k<=n-1) <==> n = 2^m para algum inteiro positivo m. 5) Se E_2(n!) = expoente de 2 na decomposicao de n! e NURB(n) eh como definido acima, entao E_2(n!) + NURB(n) = n, para todo inteiro positivo n. 6) Para todo n, o numero de coeficientes binomiais Binom(n,k) (0<=k<=n) que sao impares eh igual a 2^NURB(n). Um abraco, Claudio. on 17.09.03 23:21, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pensei um pouco nesse problema e, sei l� porque que raz�o, parei pra contar > quantos "dois" aparecem nas fatora��es de n�meros (pares) consecutivos. > > Encontrei a seguinte sequ�ncia: > > 1 (2 cont�m exatamente um 2) > 2 (4 cont�m dois 2...) > 1 > 3 (8 tem 3, deu pra entender n�) > 1 > 2 > 1 > 4 > 1 > 2 > 1 > 3 > 1 > 2 > 1 > 5 > (...) > > Era de se esperar que aparecessem simetrias, mas confesso que me surpreendi > em constatar que as somas parciais dessa sequencia nos blocos terminados em > posi��es 2^n s�o todas forma (2^n) -1 !! > Ex: > Somando at� 4: > 1+2 = 3 > > Somando at� 8: > 1+2+1+3 = 7 > > Somando at� 32: > 1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5 = 31 > > Depois do choque, vi que o fato � n�o s� razo�vel como tamb�m algo esperado, > j� que entre 1 e 2^n v�o haver 2^(n-1) m�ltiplos de 2, 2^(n-2) m�ltiplos de > 4, 2^(n-3) m�ltiplos de 8 e assim por diante. Escrevendo essa soma em > bin�rio (isso te lembra alguma coisa, Pina ?) vamos tem um cara da forma > (11111111....)base2 onde aparecem n 1�s , o que � justamente algo do tipo > 2^n -1 !! > > Bom, isso n�o me levou a concluir nada sobre fatoriais e quadrados, mas > achei v�lido mandar pra lista assim mesmo :-)) > > Sauda��es > Will > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
