Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Title: Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6 on 08.11.04 03:45, André Barreto at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seis números inteiros são tais que os produtos de cada um deles pela soma dos outros cinco valem 264, 325, 549, 825, 901e 1000. A soma destes 6 números vale? a)30 b) 36 c)50 d)70 e)86 Chamemos os numeros de a, b, c, d, e , f. Seja S = a + b + c + d + e + f. Entao: a*(S - a) = 264, b*(S - b) = 325, ..., f*(S - f) = 1000. Somando estas 6 equacoes e rearranjando, obtemos: S^2 - (a^2 + b^2 + ... + f^2) = 3864. De cara, concluimos que S^2 3864 == S 62, o que elimina as alternativas (a), (b) e (c). Suponhamos que S = 86. Nesse caso, f*(86 - f) = 1000 == f^2 - 86*f + 1000 = 0 == delta = 86^2 - 4*1*1000 = 3396 quadrado perfeito ==. S soh pode ser igual a 70 == alternativa (d). Testando: f*(70 - f) = 1000 == f = 20 ou f = 50 e*(70 - e) = 901 == e = 17 ou e = 53 d*(70 - d) = 825 == d = 15 ou d = 55 c*(70 - c) = 549 == c = 9 ou c = 61 b*(70 - b) = 325 == b = 5 ou b = 65 a*(70 - a) = 264 == a = 4 ou a = 66 Tomando as menores raizes em cada caso, obtemos uma solucao valida (de fato, a unica): a = 4, b = 5, c = 9, d = 15, e = 17, f = 20. Pergunta: Se nao fosse multipla escolha, como voce faria? []s, Claudio.
Re: [obm-l] duvidas derivadas
f(x)= raiz[x^3-x^4]=(1/2raiz(x^3-x^4))*(3x^2-4x^3)= =(x/2raiz(x-x^2))*(3-4x) OBS: se y=raiz(f(x)) entao y´=(1/2f(x))*f´(x) Em 7 Nov 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: qual é a derivada de f(x)=x*sqr(x-x^2)? -- _ Quer mais velocidade? Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você quer na hora que você precisa. Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br
[obm-l] exercício de variáveis complexas do Geraldo Ávila
Na página 73 do livro do Geraldo Ávila tem o seguinte problema: Estabeleça as seguintes propriedades das potências: (z^a)^b=(z)^(ab), onde z é diferente de zero e a e b são complexos quaisquer. Alguem pode provar esta propriedade? Baseado nesta propriedade, caso seja válida, eu consigo afirmar que: (e)^(2.(Pî )^k.a.i)=( (e)^(2.Pî.i) )^(a. ( Pî )^( k-1 ) )=( 1 )^( a. ( Pî )^(k-1) )=1, onde k é inteiro e a é um complexo qualquer. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Desculpe-me por ter enviado posteriormente, minha
caixa de e-mail está bem devagar e ainda não tinha
recebido este seu e-mail.
Artur
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi amigos da lista! Gostaria de tirar umas dúvidas
sobre Limites e mostrar
uma questão legal.
1) A definição de limite que eu vi foi feita em
intervalo aberto. Por que em
intervalo aberto? Poderia ser em intervalo fechado e
se não por que?
ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o
número real a seja f uma
função definida para x E I - {a}... (Gelson Iezzi,
Fundamentos do Matemática
Elementar).
Eh importante que seja um intervalo aberto para
garantir que a condicao
|f(x) - L| eps seja atendida nao importa como que
x se aproxine de a. Se
vc considerasse intervalos fechados, poderia nao ser
possivel garantir esta
condicao. Isto eh ainda mais visivel quando se tem
funcoes definidas em r^n,
n=2, pois x pode se aproximar de a segundo uma
infinidade de possibilidaes.
2) Uma dúvida na teoria do livro do iezzi. Numa
parte ele fala sobre ser
importante perceber que (delta) depende de
(épsilon), não percebi isso e
além de não perceber não vejo porque o (épsilon) não
deva depender também do
(delta)...
Vc primeiro estavbelece arbitrariamente o valor de
epsilon. Para este
epsilon, vc tem que encontra um delta que satisfaca
aa definicao de limite.
De modo geral, o delta depende do epsilon o do valor
de a no qual se avalia
o limite. Isto eh, de modo geral, o valor de delta
associadao a um epsilon
que funciona para um dado a nao funciona para todos
os pontos de acumulacao
do dominio da funcao. Por exemplo, a funcao f(x) =
x^2 apreenta limite em
todo os elementos de R (eh continua), mas, fixado
eps, a escolha do delta
sempre vai depender de x. ja para a funcao
identidade f(x) = x eh possivel,
para um mesmo eps, achar um delta que funcione para
todos o reais x. Isto
esta ligado ao conceito de continuidade uniforme.
3) A demonstração do teorema da unicidade do limite,
não entendi aquela do
livro do iezzi por redução ao absurdo...
(observação: sei o que é redução ao
absurdo mais não entendi uma parte do
desenvolvimento).
Ele provavelmente fez algo deste tipo: Suponhamos
que, em um ponto a, f
apresente limites distintos L1 e L2. Seja r = |L1
-L2|/2. Entao, r0 e os
intervalos abertos I1 e I2, de raio r e centros em
L1 e L2, nao se
intesectam. Pela definicao de limite, existem reais
positivos d1 e d2 tais
que, f(x) estah em I1 se x estiver no dominio de f
e 0|x-a| d1, e f(x
estah em I2 se x estiver no dominio de f e 0|x-a|
d2. Temos entao que d =
minimo{d1, d2} eh positivo e que, se x estiver no
dominio de f e 0|x-a| d,
entao f(x) estah em I1 e f(x) estah em I2. Isto
signfica que I1 e I2 contem
em comum o elemento f(x), contrariamente aa
conclusao anterior de que sao
disjuntos. Logo, o limite de f em um ponto de
acumulacao de seu dominio, se
existir, eh unico.
Artur
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor
de e-mails @
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Re: [obm-l] dúvidas de limite
--- André Barreto
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá André.
É bem provável que eu não seja a passoa mais
indicada para responder, mas caso eu esteja errado
espero que alguém me corrija.
1) A definição de limite que eu vi foi feita em
intervalo aberto. Por que em intervalo aberto?
Poderia ser em intervalo fechado e se não por que?
ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o
número real a seja f uma função definida para x E I
- {a}... (Gelson Iezzi, Fundamentos do Matemática
Elementar).
Utiliza-se intervalo aberto pois para existência
do limite no ponto não é necessário que a função seja
contínua neste ponto, ou sequer ela precisa ser
definida, como por exemplo f(x)=sen(x)/x, onde o
limite x-0 é um, mas a função não é definida em zero.
2) Uma dúvida na teoria do livro do iezzi. Numa
parte ele fala sobre ser importante perceber que
(delta) depende de (épsilon), não percebi isso e
além de não perceber não vejo porque o (épsilon) não
deva depender também do (delta)...
Da definição de limite tem-se: Para todo epsilon
existe um delta... e não o contrário. Vou dar um
exemplo: Embora lim [x-1] (1/x) = 1 é verdadeiro, não
é verdadeiro que para todo delta existe um epsilon com
|1/x - 1|epsilon para 0|x-1|delta. De fato, se
delta=1, não existe tal epsilon, como 1/x pode ser
arbitrariamente grande para 0|x - 1|1.
Além disso, qualquer função limitada f
automaticamente satisfaz a condição quer
lim[x-a]f(x)=l é verdade ou não.
Este é um dos exercícios do livro 'Calculus -
Michael Spivak', se quiser saber um pouco mais é um
livro bom, se quiser se aprofundar mais talvez um
livro de análise.
3) A demonstração do teorema da unicidade do limite,
não entendi aquela do livro do iezzi por redução ao
absurdo... (observação: sei o que é redução ao
absurdo mais não entendi uma parte do
desenvolvimento).
Não sei como é a do Iezzi, mas segue uma
alternativa que deve ter em qualquer livro de cálculo.
Suponha que o limite não é único, entao:
d = delta e E = Epsilon
lim[x-a]f(x) = l e lim[x-a]f(x) = m, daí:
0|x-a|d1 = |f(x) - l|E e 0|x-a|d2 = |f(x) -
m|E.
Como é para qualquer E, escolho o mesmo E para os
dois.
Escolhento d = min(d1,d2), então:
0|x-a|d = |f(x) - l|E e |f(x) - m|E.
Se l é diferente de m, então |l-m|0, então tomo E =
|l-m|/2. Daí:
0|x-a|d = |f(x) - l||l-m|/2 e |f(x) - m||l-m|/2.
Assim:
|l-m| = |l+ f(x) - f(x) -m| ou = |l-f(x) + |f(x) -
m| |l-m|/2 + |l-m|/2 = |l-m|.
Absurdo.
Ok, espero ter ajudado. Espero também não ter cometido
nenhum erro, qualquer coisa me escreva.
Artur
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Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Eu fiz assim Montadas as equações a(b+c+d+e+f)= 264 b(a+c+d+e+f)= 325 c(a+b+d+e+f)= 549 d(a+b+c+e+f)= 825 e(a+b+c+d+f)= 901 f(a+b+c+d+e)= 1000 Primeiro perceber que 901 é igual a 17 X 53 e esses dois são primos ou seja... e(a+b+c+d+f)= 901 ou a letra ( e ) é igual a 17 e o trambolho (a+b+c+d+f) a 53 ou vice versa... bem com isso vou tentar descobrir quem é a letra ( f )... vou pegar essa equação f(a+b+c+d+e)= 1000 da quela outra eu sei que (supondo ( e ) = 17) e(a+b+c+d+f)= 901 = 17 x 53 então = (a+b+c+d+f) = 53 ou seja: (a+b+c+d) = 53 f Vou usar isso na outra f(a+b+c+d+e)= 1000 = f(53 f +e)= 1000, mas nessa suposição o ( e ) é igual a 17 então f(53 f +17) = 1000. Pronto mas agora você já pode perceber que se você invertese quem era 17 e 53 você chegaria na mesma expressão! Seria bem assim f(17 f + 53) = 1000 que é a mesma coisa... resultado interesante... Você vai tentar com as outrasincognitas e vai achar equações do 2 grau para todas. Bem... a um fato interesante... quando você calcular as raízes de( f )você vai achar 50 e 20. e(a+b+c+d+f)= 901 olha bem essa... se o( e ) fosse 53, (a+b+c+d+f) tem que ser igual a 17; mas se o f so pode ser 20 ou 50, nunca (a+b+c+d+f) daria igual a 17. (nota: ao resolver todas equações do segundo grau todas as possíveis raízes são positivas, só para você nãopensar que as raízes poderiam ser negativas porque no inicio eles dizem inteiro). Você já sabe que aincognita ( e ) é 17. Masas outrasincognitas todas com exceção da letra( f )tem um valor que passa de 53 como raiz... ou seja cada raiz menos a( f )perde uma de suas raízes...Você sabe todas raízes menos a( f ). Masachar a ( f ) é fácil,(a+b+c+d+f) = 53 mas a+b+c+d = 33 ou seja( f )só pode ser 20. O resultado que ele quer é a soma de todas as raízes (a+b+c+d+e+f) = (33+e+20) = (33+17+20) = 70. Resposta letra D Legal sua resolução Cláudio, Obrigado. Alguém por favor, me ajude nas dúvidas de limites. Atenciosamente André Sento Sé Barreto Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 08.11.04 03:45, André Barreto at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seis números inteiros são tais que os produtos de cada um deles pela soma dos outros cinco valem 264, 325, 549, 825, 901e 1000. A soma destes 6 números vale? a)30 b) 36 c)50 d)70 e)86 Chamemos os numeros de a, b, c, d, e , f.Seja S = a + b + c + d + e + f.Entao: a*(S - a) = 264, b*(S - b) = 325, ..., f*(S - f) = 1000.Somando estas 6 equacoes e rearranjando, obtemos:S^2 - (a^2 + b^2 + ... + f^2) = 3864.De cara, concluimos que S^2 3864 == S 62, o que elimina as alternativas (a), (b) e (c).Suponhamos que S = 86.Nesse caso, f*(86 - f) = 1000 == f^2 - 86*f + 1000 = 0 ==delta = 86^2 - 4*1*1000 = 3396 quadrado perfeito ==.S soh pode ser igual a 70 == alternativa (d).Testando: f*(70 - f) = 1000 == f = 20 ou f = 50e*(70 - e) = 901 == e = 17 ou e = 53d*(70 - d) = 825 == d = 15 ou d = 55c*(70 - c) = 54! 9 == c = 9 ou c = 61b*(70 - b) = 325 == b = 5 ou b = 65a*(70 - a) = 264 == a = 4 ou a = 66Tomando as menores raizes em cada caso, obtemos uma solucao valida (de fato, a unica): a = 4, b = 5, c = 9, d = 15, e = 17, f = 20.Pergunta: Se nao fosse multipla escolha, como voce faria?[]s,Claudio. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Desculpe-me por ter enviado posteriormente, minha caixa de e-mail está bem devagar e ainda não tinha recebido este seu e-mail. Artur Nao existe a mais leve razao para pedir desculpas! O outro Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Title: Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6 on 08.11.04 11:34, André Barreto at [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu fiz assim Montadas as equações a(b+c+d+e+f)= 264 b(a+c+d+e+f)= 325 c(a+b+d+e+f)= 549 d(a+b+c+e+f)= 825 e(a+b+c+d+f)= 901 f(a+b+c+d+e)= 1000 Primeiro perceber que 901 é igual a 17 X 53 e esses dois são primos ou seja... e(a+b+c+d+f)= 901 *** Nesse ponto, voce poderia ter arriscado a conjectura de que: e = 17, a + b + c + d + f = 53 == soma = 70 Dai era soh testar os outros casos, ou seja, verificar se as raizes de: a(70 - a) = 264, b(70 - b) = 325, etc. eram inteiras, da mesma forma que na minha solucao. Voce teria descoberto que sim e que, alem disso, a soma das menores raizes da cada equacao era, de fato, igual a 70. Repare que voce descobre nao soh a soma dos numeros, mas o valor de dada um deles. []s, Claudio. ou a letra ( e ) é igual a 17 e o trambolho (a+b+c+d+f) a 53 ou vice versa... bem com isso vou tentar descobrir quem é a letra ( f )... vou pegar essa equação f(a+b+c+d+e)= 1000 da quela outra eu sei que (supondo ( e ) = 17) e(a+b+c+d+f)= 901 = 17 x 53 então = (a+b+c+d+f) = 53 ou seja: (a+b+c+d) = 53 f Vou usar isso na outra f(a+b+c+d+e)= 1000 = f(53 f +e)= 1000, mas nessa suposição o ( e ) é igual a 17 então f(53 f +17) = 1000. Pronto mas agora você já pode perceber que se você invertese quem era 17 e 53 você chegaria na mesma expressão! Seria bem assim f(17 f + 53) = 1000 que é a mesma coisa... resultado interesante... Você vai tentar com as outras incognitas e vai achar equações do 2 grau para todas. Bem... a um fato interesante... quando você calcular as raízes de ( f ) você vai achar 50 e 20. e(a+b+c+d+f)= 901 olha bem essa... se o ( e ) fosse 53, (a+b+c+d+f) tem que ser igual a 17; mas se o f so pode ser 20 ou 50, nunca (a+b+c+d+f) daria igual a 17. (nota: ao resolver todas equações do segundo grau todas as possíveis raízes são positivas, só para você não pensar que as raízes poderiam ser negativas porque no inicio eles dizem inteiro). Você já sabe que a incognita ( e ) é 17. Mas as outras incognitas todas com exceção da letra ( f ) tem um valor que passa de 53 como raiz... ou seja cada raiz menos a ( f ) perde uma de suas raízes... Você sabe todas raízes menos a ( f ). Mas achar a ( f ) é fácil, (a+b+c+d+f) = 53 mas a+b+c+d = 33 ou seja ( f ) só pode ser 20. O resultado que ele quer é a soma de todas as raízes (a+b+c+d+e+f) = (33+e+20) = (33+17+20) = 70. Resposta letra D Legal sua resolução Cláudio, Obrigado. Alguém por favor, me ajude nas dúvidas de limites. Atenciosamente André Sento Sé Barreto Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 08.11.04 03:45, André Barreto at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seis números inteiros são tais que os produtos de cada um deles pela soma dos outros cinco valem 264, 325, 549, 825, 901e 1000. A soma destes 6 números vale? a)30 b) 36 c)50 d)70 e)86 Chamemos os numeros de a, b, c, d, e , f. Seja S = a + b + c + d + e + f. Entao: a*(S - a) = 264, b*(S - b) = 325, ..., f*(S - f) = 1000. Somando estas 6 equacoes e rearranjando, obtemos: S^2 - (a^2 + b^2 + ... + f^2) = 3864. De cara, concluimos que S^2 3864 == S 62, o que elimina as alternativas (a), (b) e (c). Suponhamos que S = 86. Nesse caso, f*(86 - f) = 1000 == f^2 - 86*f + 1000 = 0 == delta = 86^2 - 4*1*1000 = 3396 quadrado perfeito ==. S soh pode ser igual a 70 == alternativa (d). Testando: f*(70 - f) = 1000 == f = 20 ou f = 50 e*(70 - e) = 901 == e = 17 ou e = 53 d*(70 - d) = 825 == d = 15 ou d = 55 c*(70 - c) = 54! 9 == c = 9 ou c = 61 b*(70 - b) = 325 == b = 5 ou b = 65 a*(70 - a) = 264 == a = 4 ou a = 66 Tomando as menores raizes em cada caso, obtemos uma solucao valida (de fato, a unica): a = 4, b = 5, c = 9, d = 15, e = 17, f = 20. Pergunta: Se nao fosse multipla escolha, como voce faria? []s, Claudio. Yahoo! Acesso Grátis http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/*http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] serie dos inversos dos promos
Oi pessoal, Algum de voces jah estudou, quanto a convergencia, series do tipo Soma( n=1, oo)(1/p_n)^k, sendo p_n o n_gesimo primo positivo e k=1 um real? Eu sei que para k=1 a serie diverge. Alguem poderia dar uma sugestao de como podemos provar isto? Abracos Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
on 08.11.04 09:58, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi amigos da lista! Gostaria de tirar umas dúvidas sobre Limites e mostrar
uma questão legal.
1) A definição de limite que eu vi foi feita em intervalo aberto. Por que em
intervalo aberto? Poderia ser em intervalo fechado e se não por que?
ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a seja f uma
função definida para x E I - {a}... (Gelson Iezzi, Fundamentos do Matemática
Elementar).
Eh importante que seja um intervalo aberto para garantir que a condicao
|f(x) - L| eps seja atendida nao importa como que x se aproxine de a. Se
vc considerasse intervalos fechados, poderia nao ser possivel garantir esta
condicao. Isto eh ainda mais visivel quando se tem funcoes definidas em r^n,
n=2, pois x pode se aproximar de a segundo uma infinidade de possibilidaes.
Eu nao entendi esse argumento. De fato, acho que nao se usa um intervalo
fechado apenas porque um tal intervalo pode ser degenerado, ou seja,
consistir de um unico ponto (mais precisamente, um intervalo fechado pode
degenerar num conjunto unitario). No caso do limite de f(x) quando x - a, o
importante eh excluir o a da nossa analise, ou seja, estamos interessados
nos valores de f(x) com x proximo de a e diferente de a, e isso pode ser
feito tambem com um intervalko fechado (nao-degenerado).
Alem disso, todo intervalo fechado e nao-degenerado de centro em a e raio
epsilon contem um intervalo aberto centrado em a (de raio epsilon/2, por
exemplo).
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
Sauda,c~oes, O Dir. já deu algumas idéias. Aí vão algumas dicas. Considere a figura abaixo: A m D O BC Trace o circ. que passa por BCD e marque A na circunferência. Sejam AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=x, BD=y e seja m a reta simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC. Lema: O ponto O \in m pertence ao lado BC sss ABCD é insc. (cíclico). Teorema: (Ptolomeu) xy = ac + bd sss ABCD é cíclico. Na dem. do teorema acima mostra-se que OB = ac/d e que AO/AC = a/d. Daí a const. que segue: 1) Numa reta r marque CB = b e construa O tal que BO = ac/d . 2) um lg para A é o círculo (B,a). O outro é um círc. de Apolônio considerando os pontos O e C. Deixamos os detalhes, a construção e a discussão para o leitor. []'s, Luis From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel Date: Sun, 7 Nov 2004 11:39:44 -0300 (ART) Bem, um modo e usar Ptolomeu e Hiparco para calcular as diagonais do quadrilatero pretendido. Sai um monte de raizes quadradas, e e aquele tipo de prova sem a menor criatividade, que ate mesmo eu nao gosto. Tambem ha uma soluçao cearense, que consiste em reproduzir a demonstraçao do Teorema de Ptolomeu. E melhor eu escreve-las depois no forum, pois a coisa fircara mais critica e criptica. Inte! Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Aqui vai um problema proposto ha tempos pelo Eduardo Wagner e que nunca foi resolvido na lista: Construir um quadrilatero inscritivel ABCD dados AB e os comprimentos de BC, CD e DA. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia numerica
On Sun, Nov 07, 2004 at 06:30:25PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ora, 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ... a soma de
uma PG
e vale 1/(1+x). Substituindo x por 1 temos que, em
algum sentido,
f(1) = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4.
Essa equao para soma de PG o resultado de um
limite quando 0
Concordo com voc, embora o Nicolau tenha feito a ressalva em algum
sentido... Mas que sentido?
Talvez o sentido seja considerar um limite de f(x) quando x tende a 1 pela
esquerda... Mas como fao isso??
Isso. Recapitulando, o problema original era:
Quanto vale 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... ?
De acordo com a definio usual de convergncia, que voc encontra
em qualquer livro de clculo ou de anlise, esta uma srie divergente
e portanto a soma infinita no est definida.
Existem, entretanto, outras definies mais amplas de soma infinita
de acordo com as quais esta soma est definida e vale 1/4.
Uma delas a seguinte.
Faa f(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + ...
Queremos calcular ou definir f(1). Temos f(x) = 1/(1+x)^2 para |x| 1.
Assim, natural definir f(x) = 1/(1+x)^2 para todo x.
Em particular, para x = 1 esta definio pode ser justificada por
lim_{x - 1} f(x) = 1/4.
Assim, no sentido que acabamos de discutir,
fica sendo natural dizer que 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4.
[]s, N.
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
Re: [obm-l] serie dos inversos dos promos
Artur Costa Steiner ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Oi pessoal, Algum de voces jah estudou, quanto a convergencia, series do tipo Soma( n=1, oo)(1/p_n)^k, sendo p_n o n_gesimo primo positivo e k=1 um real? Eu sei que para k=1 a serie diverge. Alguem poderia dar uma sugestao de como podemos provar isto? Uma forma de fazer isso é supondo que a série converge. Se isso ocorre, então existe um k inteiro positivo tal que Soma( n=k+1, oo)(1/p_n) 1/2. Seja Q = p_1*...*p_k o produto dos k primeiros primos, e considere números da forma 1 + m*Q, onde m = 1, 2, ... . Claramente, todo fator primo desses números está entre os primos p_(k+1), p_(k+2), ... . Logo, para cada r = 1, temos Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) = Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t , visto que a soma à direita inclui entre seus termos todos os termos da esquerda. Mas da observação feita no início, Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t = Soma(t=1, oo)(1/2)^t = 2 e portanto Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) converge. Mas integral(1, A)(1/(1 + x*Q))dx = (1/Q)*log(1 + A*Q) - (1/Q)*log(1 + Q) - oo quando A - oo. Logo, pelo teste da integral, este somatório deveria divergir, o que gera a nossa desejada contradição. Eu não estou certo quanto a isso, mas acho que há uma demonstração combinatória desse resultado... []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] serie dos inversos dos primos
Eu acho mesmo que o Artur vai gostar dessa aqui: A ideia eh provar que, para x = 2, SOMA(p = x) 1/p log(log(x)) - 1, onde a soma em questao se estende aos primos = x. A divergencia da serie dos inversos dos primos eh uma consequencia imediata dessa desigualdade. Seja A = conjunto dos naturais cujos fatores primos sao = x. Entao, o produtorio: PRODUTO(p = x) (1 + 1/p + 1/p^2 + ...) eh igual a soma: SOMA(n em A) 1/n. Em particular, se n = x, entao n pertence a A, de forma que a soma: SOMA(1 = n = x) 1/n estah incluida na soma acima. Agora, sabemos que: SOMA(1 = n = N) 1/n = INTEGRAL(1 a N+1) dx/x = log(N+1) log(x). Logo, SOMA(n em A) 1/n SOMA(1 = n = x) 1/n log(x). Por outro lado, SOMA(n em A) 1/n = PRODUTO(p = x) (1 + 1/p + 1/p^2 + ...) = PRODUTO(p = x) 1/(1 - 1/p). Ou seja: PRODUTO(p = x) 1/(1 - 1/p) log(x). * Agora, para a grande sacada da demonstracao: a desigualdade: exp(y + y^2) = 1/(1 - y), para 0 = y = 1/2, a qual se demonstra facilmente pela analise da derivada de: f(y) = (1 - y)exp(y + y^2) Fazendo y = 1/p para cada primo p = x, e multiplicando as desigualdades membro a membro, obtemos: PRODUTO(p = x) exp(1/p + 1/p^2) = PRODUTO(p = x) 1/(1 - 1/p) log(x). Mas: PRODUTO(p = x) exp(1/p + 1/p^2) = exp( SOMA(p = x) (1/p + 1/p^2) ), de forma que: exp( SOMA(p = x) (1/p + 1/p^2) ) log(x) == SOMA(p = x) (1/p + 1/p^2) log(log(x)) == SOMA(p = x) 1/p log(log(x)) - SOMA(p = x) 1/p^2 Mas SOMA(p = x) 1/p^2 SOMA(n = 2) 1/n^2 = Pi^2/6 - 1 1 == SOMA(p = x) 1/p log(log(x)) - 1. []s, Claudio. on 08.11.04 14:12, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Artur Costa Steiner ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Oi pessoal, Algum de voces jah estudou, quanto a convergencia, series do tipo Soma( n=1, oo)(1/p_n)^k, sendo p_n o n_gesimo primo positivo e k=1 um real? Eu sei que para k=1 a serie diverge. Alguem poderia dar uma sugestao de como podemos provar isto? Uma forma de fazer isso é supondo que a série converge. Se isso ocorre, então existe um k inteiro positivo tal que Soma( n=k+1, oo)(1/p_n) 1/2. Seja Q = p_1*...*p_k o produto dos k primeiros primos, e considere números da forma 1 + m*Q, onde m = 1, 2, ... . Claramente, todo fator primo desses números está entre os primos p_(k+1), p_(k+2), ... . Logo, para cada r = 1, temos Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) = Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t , visto que a soma à direita inclui entre seus termos todos os termos da esquerda. Mas da observação feita no início, Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t = Soma(t=1, oo)(1/2)^t = 2 e portanto Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) converge. Mas integral(1, A)(1/(1 + x*Q))dx = (1/Q)*log(1 + A*Q) - (1/Q)*log(1 + Q) - oo quando A - oo. Logo, pelo teste da integral, este somatório deveria divergir, o que gera a nossa desejada contradição. Eu não estou certo quanto a isso, mas acho que há uma demonstração combinatória desse resultado... []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
on 08.11.04 12:35, Luís Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, O Dir. já deu algumas idéias. Aí vão algumas dicas. Considere a figura abaixo: A m D O BC Trace o circ. que passa por BCD e marque A na circunferência. Sejam AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=x, BD=y e seja m a reta simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC. Lema: O ponto O \in m pertence ao lado BC sss ABCD é insc. (cíclico). Qual a definicao do ponto O? Teorema: (Ptolomeu) xy = ac + bd sss ABCD é cíclico. Na dem. do teorema acima mostra-se que OB = ac/d e que AO/AC = a/d. Daí a const. que segue: 1) Numa reta r marque CB = b e construa O tal que BO = ac/d . 2) um lg para A é o círculo (B,a). O outro é um círc. de Apolônio considerando os pontos O e C. Deixamos os detalhes, a construção e a discussão para o leitor. []'s, Luis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
Sauda,c~oes, Oi Claudio, A figura talvez não tenha saído direito na msg. Seja m a reta simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC. Lema: O ponto O em m pertence ao lado BC sss ABCD é insc. (cíclico). Qual a definicao do ponto O? Interseção das retas m e BC. Na figura que imaginei os pontos têm as seguintes coordenadas (só um esboço a mão livre para análise): A = (1,2) B = (0,0) C = (3,0) D = (2.5,1) O = (-1,0) []'s Luis From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel Date: Mon, 08 Nov 2004 15:45:18 -0200 on 08.11.04 12:35, Luís Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, O Dir. já deu algumas idéias. Aí vão algumas dicas. Considere a figura abaixo: A m D O BC Trace o circ. que passa por BCD e marque A na circunferência. Sejam AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=x, BD=y e seja m a reta simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC. Lema: O ponto O \in m pertence ao lado BC sss ABCD é insc. (cíclico). Qual a definicao do ponto O? Teorema: (Ptolomeu) xy = ac + bd sss ABCD é cíclico. Na dem. do teorema acima mostra-se que OB = ac/d e que AO/AC = a/d. Daí a const. que segue: 1) Numa reta r marque CB = b e construa O tal que BO = ac/d . 2) um lg para A é o círculo (B,a). O outro é um círc. de Apolônio considerando os pontos O e C. Deixamos os detalhes, a construção e a discussão para o leitor. []'s, Luis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
on 08.11.04 16:24, Luís Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Oi Claudio, A figura talvez não tenha saído direito na msg. Seja m a reta simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC. Lema: O ponto O em m pertence ao lado BC sss ABCD é insc. (cíclico). Qual a definicao do ponto O? Interseção das retas m e BC. Desculpe a minha lerdeza, mas nesse caso, a menos que m seja paralela a BC, vai sempre existir um ponto O, nao? Mesmo que ABCD nao seja ciclico. Na figura que imaginei os pontos têm as seguintes coordenadas (só um esboço a mão livre para análise): A = (1,2) B = (0,0) C = (3,0) D = (2.5,1) O = (-1,0) []'s Luis From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel Date: Mon, 08 Nov 2004 15:45:18 -0200 on 08.11.04 12:35, Luís Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, O Dir. já deu algumas idéias. Aí vão algumas dicas. Considere a figura abaixo: A m D O BC Trace o circ. que passa por BCD e marque A na circunferência. Sejam AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=x, BD=y e seja m a reta simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC. Lema: O ponto O \in m pertence ao lado BC sss ABCD é insc. (cíclico). Qual a definicao do ponto O? Teorema: (Ptolomeu) xy = ac + bd sss ABCD é cíclico. Na dem. do teorema acima mostra-se que OB = ac/d e que AO/AC = a/d. Daí a const. que segue: 1) Numa reta r marque CB = b e construa O tal que BO = ac/d . 2) um lg para A é o círculo (B,a). O outro é um círc. de Apolônio considerando os pontos O e C. Deixamos os detalhes, a construção e a discussão para o leitor. []'s, Luis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] A FRASE SOLUÇÃO!
Valeu Cláudio! Grato pela engenhosa resolução do problema do tijolo (CAMPEÃO!). Quanto ao problema do Felipe, a frase solução é a seguinte: Você não vai me dar a nota de cem reais. A frase não pode ser falsa. Se o fosse, Felipe não poderia receber nada e a afirmação passava a ser verdadeira - uma contradição. Contudo, a frase pode perfeitamente ser verdadeira. Basta que Felipe receba a nota de cem reais. Daí, eu não tenho outra alternativa senão dar-lhe a nota de maior valor.. A propósito! o que Felipe poderia ter dito para me deixar sem nenhuma opção? Numa classe com 12 alunos, o professor escreveu na lousa um número natural menor que 50.000 e pediu que os alunos falassem alguma coisa a respeito dele. O primeiro aluno disse que o número era múltiplo de 2, o segundo disse que o número era múltiplo de 3 e assim sucessivamente até o último, que disse que o número era múltiplo de 13. Em seguida o professor disse que, com exceção de dois alunos consecutivos que erraram, todos os demais acertaram. Quais foram os alunos que erraram? Qual foi o número que o professor escreveu? Um abraço à todos! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] O PROBLEMA DE JOSEFUS!
Ok! Pessoal! Vejam uma variante de um problema antigo em homenagem a Flavius Josefus, um historiador famoso do primeiro século. Segundo a lenda, Josefus não teria sobrevivido para ficar famoso se não fosse seu talento matemático. Durante a guerra entre judeus e romanos, ele estava entre 11 rebeldes judeus encurralados em uma caverna pelos romanos. Preferindo o suicídio à captura, os rebeldes decidiram formar um círculo e, contando ao longo deste, matar cada terceira pessoa restante até não sobrar ninguém. Mas Josefus, junto com um co-conspirador não identificado, não queria saber deste pacto suicida; então calculou rapidamente onde ele e seu amigo deveriam ficar neste círculo maligno. Na nossa variação, começamos com n pessoas numeradas de 1 a n em um círculo e eliminamos cada segunda pessoa restante até sobrar uma única pessoa. Suponha que Josefus se encontra em uma determinada posição J, mas tem a chance de dizer qual é o parâmetro de eliminação q tal que toda q-ésima pessoa é executada. Ele sempre pode se salvar? Vocês sabiam...que o quadrado de um número inteiro não pode terminar em mais de três algarismos iguais a 4... Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:
Bem Artur, eu estou convencido de que f(x^2) não é
periódica, mas não sei se entendi bem esta última
demonstração. Achei meio complicada para o meu nível.
Mas, ainda tratando deste problema (que é muito
interessante), deixa eu recaptular as conclusões das
mensagensa anteriores, para ver se tu e o Cláudio
concordam:
g(x) = f(u(x))
- Se u(x) for periódica - g(x) é períódica. Nào se
pode saber o período de g(x), mas pode-se afirmar que
pG = pU/n , onde pG = período de g(x), pU = período de
u(x), n é um número inteiro = 1, 2, 3,... Prova-se
isso com:
g(x + pU) = f(u(x + pU)) = f(u(x)) = g(x)
O exato valor de pG vai depender do caso, da imagem de
u(x, da forma de f(x), etc.
- Se f(x) é períodica e u(x) é não periódica, g(x) não
será periódica, exceto se u(x) for linear. Pode-se
provar isto adaptando qualquer uma das formas que
usamos para provar que f(x^2) era nào períodica,
certo?
Por fim, se nem f(x) nem g(x) forem períodicas, nada
se pode afirmar a priori. Já que, como mostrou o
Cláudio, g(x) poderá será periódica mesmo nesta
situação.
Seria isso?
Sds, Demétrio
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Amigos Cláudio e Demétrio
pesquisei na Internet sobre aquela questão da função
periódica e encontrei
esta outra prova de que f(x^2) não é periódica.
Achei interessante, apesar
de eu ter ficado com algumas dúvidas.
O que vocês acham dela?
Artur
Suppose f:R-R is continuous, periodic and
non-constant on R. Then, is it
possible that g(x) = f(x^2) is periodic on R?
Here is another, almost elementary approach.
Let f(x) be continuous and periodic with period
T0. Suppose that
M=maxf(x), m=minf(x). Let's say that f(x) makes an
inversion in the
segment [a,b], if f({a,b})={m,M} and mf(x)M for
any x in (a,b).
Define now the inversion index of f in some
segment I as the sum of
all inversions of f in I. We shall denote it by
Inv(f(x),I).
It is easy to see that the inversion index is
finite and positive on
any (bounded) segment of length T.
Suppose now that g(x)=f(x^2) is periodic with
period p0. Then
f(x^2) = f(x^2+2px+p^2), x in
R.
Making a change of the variable we get
f(x) = f(x+2p.sqrt(x)+p^2), x
=0.
Set for convenience h(x) = 2p.sqrt(x)+p^2, so
f(x) = f(x+h(x)), x =0.
Consider now the map x - x+h(x). It is clearly
strictly monotone.
Take some sufficiently large segment [0,N], then its
image is the
segment [h(0),N+h(N)]. Hence the above formula gives
that the
inversion indices of f(x) over these two segments
should coincide:
Inv(f(x), [0,N]) = Inv(f(x),
[h(0),N+h(N)]).
But this is impossible, as h(N) -infinity so the
difference between
the lengths of these segments tends to infinity as
well and the second
index should increase by k.Inv(f(x),[0,T]), k
arbitrarily large.
It is clear that this method may be extended to
more general situations.
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Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
Sauda,c~oes, Oi Claudio, A figura talvez não tenha saído direito na msg. Seja m a reta simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC. Lema: O ponto O em m pertence ao lado BC sss ABCD é insc. (cíclico). Qual a definicao do ponto O? Interseção das retas m e BC. Desculpe a minha lerdeza, mas nesse caso, a menos que m seja paralela a BC, vai sempre existir um ponto O, nao? Mesmo que ABCD nao seja ciclico. Sim, e não tem nada de lerdeza. Não quis falar muito e está confuso. Falando mais, a reta m contém um e somente um ponto O tal que o /_ AOB = /_ ACD . Dos triângulos ACD e AOB, temos (pois a reta m blablabla) /_ ABO = /_ ADC . Assim, se ABCD é cíclico, o ponto O está no lado BC; e somente nesse caso, pois, reciprocamente, se O está em BC então ABCD é cíclico. Para os que não sabem: ABCD é cíclico sss A+C = B+D = 180. A teoria está aí. Mas a construção ainda não é fácil. Analise triângulos semelhantes e obtenha relações de proporcionalidades. []'s Luis From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel Date: Mon, 08 Nov 2004 17:17:26 -0200 on 08.11.04 16:24, Luís Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote: Sauda,c~oes, Oi Claudio, A figura talvez não tenha saído direito na msg. Seja m a reta simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC. Lema: O ponto O em m pertence ao lado BC sss ABCD é insc. (cíclico). Qual a definicao do ponto O? Interseção das retas m e BC. Desculpe a minha lerdeza, mas nesse caso, a menos que m seja paralela a BC, vai sempre existir um ponto O, nao? Mesmo que ABCD nao seja ciclico. Na figura que imaginei os pontos têm as seguintes coordenadas (só um esboço a mão livre para análise): A = (1,2) B = (0,0) C = (3,0) D = (2.5,1) O = (-1,0) []'s Luis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
