Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistemas Dinâmicos
Como se prova isso usando teorema da Variedade Estavel?Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Corrigindo:
O = {a,b} com a = sen(cos(a)) e b=cos(sen(b)).
__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] naturais e singularidades
--- Renato Ghini Bettiol [EMAIL PROTECTED] wrote: Duas questoes interessantes e simples de serem resolvidas: 1. Sejam a,b,c,d numeros inteiros positivos tais que a/bc/d. Mostrar que a/b(a+c)/(b+d)c/d. Essa afirmaçao pode ser usada para mostrar que entre dois numeros racionais positivos diferentes sempre existe um outro numero racional positivo? Bem, parece que sim. 2. Sejam a,b,c reais nao nulos tais que 1/a+1/b+1/c = 1/(a+b+c) Mostrar que um deles é o simetrico de outro, ou seja, a=-b ou a=-c ou b=-c... Para reais a,b,c quaisquer, vale: (a+b)(a+c)(b+c)= a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b+2abc Do problema, (ab+ac+bc)(a+b+c) = abc Ou a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b+3abc = abc O que da a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b+2abc = 0 E fim! Vale a diversão, Abraço e bom final de semana a todos, Renato Bettiol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2()Caso Geral
Bom, acho que tem algo a ver com os números de Bernoulli (que não têm
fórmula fechada, mas quem disse que cos(x) é uma fórmula fechada??
(Isso foi para provocar...)
O truque é que estes números relacionam-se com a expansão de n^k em
somas de binomiais da forma n^k = SOMA {em j} C(n, j) * B(k, j) (ou
algo parecido, pode ter um k-j em vez de j). Daí, como eu falei numa
mensagem anterior, é só usar a soma das colunas.
Maiores detalhes, você pode encontrar no Concrete Mathematics,
R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Apr 9, 2005 11:21 AM, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Existe alguma especie de formula fechada para o caso
geral? Ou seja, calcular as k-esimas potencias dos n
primeiros naturais, em funcao de n e k.
--- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
wrote:
On Tue, Apr 05, 2005 at 02:02:34PM -0300,
claudio.buffara wrote:
Ontem alguém perguntou aqui na lista como se
demonstrava a fórmula da soma
dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos.
Oi Claudio, achei bem legal a sua demonstração.
Na verdade este assunto já foi discutido várias
vezes nesta lista
e pode valer a pena dar uma olhada nos arquivos.
Seja f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Podemos definir f
também como
a única função de Z em Z que satisfaz f(0) = 0, f(n)
= f(n-1) + n^2.
É fácil ver que f é um polinômio de grau 3. De fato,
considere a
seguinte transformação linear: T(a,b,c) = (d,e,f)
se, sendo
g(n) = an^3 + bn^2 + cn, tivermos g(n) - g(n-1) =
dn^2 + en + f.
A transformação linear T é bem definida pois os
termos de grau 3
se cancelam; T também é injetora, pois g(n) - g(n-1)
= 0 para todo n
implica que g é constante logo, como não há termos
constante em g,
temos g = 0. Assim T é inversível. Note que o mesmo
raciocínio
demonstra que se h é um polinômio de grau k e se g
satisfaz
g(n) = g(n-1) + h(n) então g é polinômio de grau
k+1.
Agora escrevendo f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d, f(0) =
0, f(1) = 1,
f(2) = 5, f(3) = 14 temos um sisteminha 3x3:
a + b + c = 1
8a + 4b + 2c = 5
27a + 9b + 3c = 14
e podemos facilmente achar a, b e c.
Mas acho mais elegante neste caso ver quais são as
raízes de f.
Claramente temos f(0) = f(-1) = 0. Note que f(-2) =
- (-1)^2 = -f(1),
f(-3) = - (-1)^2 - (-2)^2 = -f(2), ...,
f(-1-n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (-n)^2 = -f(n).
Temos assim f(-1-n) = -f(n) donde f(-1/2) = 0, a
terceira raiz.
Assim f(n) = cn(n+1)(2n+1). Uma substituição obteria
o valor de c,
mas prefiro fazer f(n) ~= int_0^n t^2 dt = 1/3 n^3
donde c = 1/6.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis.
Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] PA e PG
Oi Saulo Eh 2^25 em vez de 225, 2^5 em vez de 25 e q^2 em vez de q2. Dica:alternativa e). []s Wilner --- saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 01.Determine os possíveis valores reais a e b para que os números a , ab e 2a , nessa ordem, formem uma progressão geométrica. ab=q*a 2a=ab*q dividindo b/2=1/b b=raiz2 b=q=raiz2 qualquer valor de a 02 Seja (a1, a2, , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q 0. O produto de do seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q) (1 + q2), então: a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11 nao consegui ler a questao 2 no meu hotmail um abraço, saulo. From: matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] PA e PG Date: Sun, 10 Apr 2005 21:31:05 -0300 01.fz 01.Determine os possíveis valores reais a e b para que os números a , ab e 2a , nessa ordem, formem uma progressão geométrica. 02 Seja (a1, a2, , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q 0. O produto de do seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q) (1 + q2), então: a) a1 + q = 16 b) a1 + q = 12 c) a1 + q = 10 d) a1 + q + n = 20 e) a1 + q + n = 11 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatorio com Serie de Fourier
Oi, esse problema foi passado pelo meu professor enquanto ele explicava Serie de Fourier mas nem ele e ninguem que eu conheca conseguiu provar as seguintes identidades: Somatorio de K = 1, 2, 3 ... (N-1) com p = PI sin( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) - sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 cos( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1 Grato desde ja = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Por 7
este processo só é bom para números pequenos, por exemplo: me diga se 59768758234 é divisível por 7 , aí é melhor usar a técnica das classes. VALEU! UM ABRAÇO! RAFAEL FERREIRA From: Antonio Neto [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Por 7 Date: Sun, 10 Apr 2005 21:23:09 + _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br ---BeginMessage--- Acho mais fácil fazer o seguinte: retire o ultimo algarismo e multiplique por 2, e subtraia do que restou do numero. Exemplo: quero saber se 4935 (obvio) eh divisivel por 7. Retiro o 5, multiplico por 2 e subtraio do que restou: 493 - 10 = 483. Se ainda não sei, repito: 48 - 6 = 42, e agora sei que eh divisivel. Seja lah o que for farelo, abracos, olavo. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Por 7!!!(???)DE NOVO! Date: Sun, 10 Apr 2005 13:10:09 -0300 Mod 7: 1 == 1 10 == 3 100 == 2 == (abc) = 100a + 10b + c == 2a + 3b + c (mod 7) Logo, 7 divide (abc) == 7 divide 2a + 3b + c 1000 == -1 1 == -3 10 == -2 == (abcdef) = 10a + 1b + 1000c + 100d + 10e + f == -2a -3b -c + 2d + 3e + f == -(2a+3b+c) + (2d+3e+f) (mod 7) Logo, 7 divide (abcdef) == 7 divide -(2a+3b+c) + (2d+3e+f) E por ai vai Ficou claro? Entao farelo pra voce tambem. []s, Claudio. on 10.04.05 12:10, Sinomar Dias at [EMAIL PROTECTED] wrote: Colegas, já que ninguém quis me ajudar no problema, poderiam me dizer onde encontrar uma demonstração para o seguinte fato relativo aocritériode divisibilidade por 7, como está descrito abaixo? Obrigado por qualquer ajudinha. i) Um número natural n de 3 ou menos algarismos é divisível por 7 se ocorrer o que segue: Dadon=abc ( a,b e c são os algarismos do número) se, 2*a+3*b+c é divisível por 7, então n é divisível por7. ii) Um natural n com mais de3 algarismos é divisível por7 se, separado em classes de 3 algarismos a partir do último (inclusive), a diferença entre a soma das classes de ordem ímpar e de ordem par for um número divisível por 7, independente do sinal: Dado n=abcdefg Classe1: efg Classe2: bcd Classe3: a S(I)=efg+a ( soma das classes de ordem ímpar) S(P)=bcd (soma das classes de ordem par) Se S(I) S(P) for divisível por 7, então n é divisível por 7. Obrigado Farelo!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ---End Message---
Re: [obm-l] Provadores automáticos de Teorema
por que umas pessoas são mais talentosas e resolvem problemas em matemática mais rápido que as outras Deus e/ou Evoluçao Espiritual e/ou Biologico...e quem sabe?? (e porque algumas pessoas como Evariste Galois que faziam isso tinham um ego fora do comum). Todo matematico que se preze possui, nem que seja um pouquinho, um desejo de saber mais que os outros :p... ... vi alguns provadores de teorema. descobri que a busca ou árvore de busca parecia realmente ser a mola mestra daquilo que chamamos de inteligência. Demonstrar era um processo de tentativa e erro. Acredito que mostrar a veracidade ou a falsidade pode ser uma definiçao de demonstraçao.Sabe o que Godel mostrou em termos práticos??Que existem proposiçoes no sistema formal(ele mostrou uma, a famosa autoreferencia, mas pode haver outras,desde que ele contenha aritmetica de peano)que podem ser provadas verdadeiras e falsas...já imaginou o provador de teorema ora mostrando que a afirmativa era falsa ora que a proposiçao é verdadeira??? Nao sei se os provadores de teorema resolvem nossas vidas por completo nao ... mostrar que o problema era indecidível no conjunto de axiomas utilizado. Mesmo nos melhores computadores, todavia, isso poderia levar anos, séculos, ou talvez nunca ser conseguido (leia por exemplo o livro O último teorema de Fermat). Cuidado pra nao confudir inconsistencia com indecidibilidadetroque o indecidivel por inconsistente no que vc disse...Pois é sabe o que Turing mostrou em termos praticos???Que nao existe algoritmo geral que identifique se uma dada proposiçao é inconsistente ou nao...(Diz-se que tal problema é INDECIDIVEL)e por reduçao, nao existe algoritmo que identifique todas as proposiçoes inconsistentes do sistema de axiomas ... Tudo em matemática se resumia a conjuntos, aplicações de um conjunto em outro e raciocínio lógico usando álgebra booleana e talvez algumas fórmulas. Será??E isso nao era em essencia o que Hilbert pensava tambem?? ...Existia mesmo (!!) uma grande probabilidade de alguém dominar um assunto matemáticamente sem conhecer a sua essência. Na época era apenas uma probabilidade. Algoritmo é algoritmo nao ha surpresas, da mesma forma que alguem domina o algoritmo da multiplicaçao sem saber a sua essencia ela pode dominar matematicamente um assunto, sabendo os algoritmos empregados. Me pareceu loucura, que tudo que faziam em matemática avançada parecia ser resultado de F=ma!! Principios sao principios:) Se a matemática avançada toda vem da física, (que em grego quer dizer natureza). Então... Por que matemáticos como Hilbert queriam axiomatizá-la? Já que as lições que aprendemos vieram todas da natureza? Sei não...e a logica??Nao tem um filosofo grego ai que diz que os conceitos abstratos estao na nossa mente??? Não quero desencorajar ninguém, e sim encorajar. Estudar matemática é indispensável e todos os que puderem devem fazer isso. Os matematicos deveriam criar um dia só em homenagem a Godel e a Turing, pois se Hilbert estivesse certo, nós não precisariamos mais deles :p Assim, em termos humanos, o que seria melhor para nós? Usar provadores automáticos? Eles poderiam fazer com nossos cérebros o que o carro fez com os nossos corações? Vale a pena pensar? Matematica envolve o coraçao tambem :) Assim eu sempre os convido para assistir Dumbo e tomar sorvete após vê-los estressados :) È o que nós de computaçao sabermos fazer melhor :p Fica aqui a provocaçao ;) []´s O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Duvida sobre ingresso na AFA
Olá aos colegas da lista! Gostaria de saber se alguem sabe a media de acertos necessária para ingresso na AFA, ou onde encontrar dados estatisticos sobre este concurso tipo candidato/vaga,etc.. Gostaria tambem de saber se alguem tem a prova da AFA de 2004 para me enviar por e-mail. Desde já agradeço! Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] cálculo no R^n.
Gostaria de uma ajuda no problema abaixo: Sejam U em R^m, U aberto conexo, f:U -- R^m de classe C^k (k=0) com Jf(x) = 0 (ou seja, det df(x) 0), para todo x em U. Mostre que f é uma aplicação aberta. Mostre, através de um exemplo, que a imagem por f de um fechado pode não ser um fechado. Obs.: No caso em quek1, a primeira parte do problema estah resolvida, pois f é um difeo. local e, portanto leva abertos em abertos (Não precisa da hipótese de U ser conexo). Acho que a hipótese de U ser conexovai ser usada apenas no caso em k = 0, ou seja, U conexo == f de classe C^1 e, daí posso usar o teorema da função inversa. grato desde já, éder. Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
RE: [obm-l] Por 7
--Que historia e essa de so e bom para numeros pequenos? Para comeco de historia, pode-se pegar qualquer bloco de digitos em vez de apenas um por vez. Ou seja, podemos fazer algo como: 5976875(8234) - 16468 - 5960407 596(0407) -0407 -0407 -218 E isto nao e multiplo de 7. (So para desencargo de consciencia, conferi na BC...) E apenas para terminar, normalmente ninguem te perguntaria se o numero abaixo e ou nao multiplo de 7: 597687582345976875823459768758234597687582 \ 345976597687582345976875823459768758234597 \ 687582345976597687582345976875823459768758 \ 234597687582345976597687582345976875823459 \ 768758234597687582345976875823459768758234 \ 598947895789456844566496313554564654456613 \ 324165456489789754123164641304104817105130 \ 152895531714012404504576875823459768758234 ^ 2 /*Os \ sao apenas quebras de linha para maior legibilidade*/ /*Ou para menor ilegibilidade, entenda como quiser...*/ Neste caso especificamente, nenhum criterio e melhor que o outro (ou estou muito enganado, o que ultimamente e um fato-comum)... --- Rafael Alfinito Ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: este processo só é bom para números pequenos, por exemplo: me diga se 59768758234 é divisível por 7 , aí é melhor usar a técnica das classes. VALEU! UM ABRAÇO! RAFAEL FERREIRA Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] S_n^(k) e lan,camento de livro [era 1^2 + 2^2 + ... + n^2()Caso Geral]
Sauda,c~oes, Oi Dirichlet, Seja S_n^(k) = 1^k + 2^k + . + n^k . Conheço duas fórmulas fechadas para S_n^(k). Uma é uma fórmula recorrente e a outra envolve números de Bernoulli. Estes resultados estão demonstrados no livro que vou lançar lá pelo dia 15 de maio. Na verdade são dois volumes e estas somas fazem parte do Vol. 1. No site www.escolademestres.com/qedtexte há amostras em pdf e descrições dos conteúdos dos dois volumes. As somas S_n^(k) aparecem no Vol. 1 no exercício 21 e no capítulo 5, como pode ser visto na amostra. Peço que perguntas sobre os livros sejam encaminhadas para o meu email e não para o da lista. Obrigado. []'s Luís From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2()Caso Geral Date: Sat, 9 Apr 2005 11:21:49 -0300 (ART) Existe alguma especie de formula fechada para o caso geral? Ou seja, calcular as k-esimas potencias dos n primeiros naturais, em funcao de n e k. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier
Oi Felipe. Tentei adivinhar as expressoes que vc. coloca mas estah dificil, principalmente o segundo membro da somatoria dos cosenos. Veja que para N=1 portanto K=1 (nao sei se K K=K^2, i.e. K ao quadrado, mas neste caso nao importa) nao se consegue obter a igualdade expressa. Se vc. pouder ser mais explicito... []s Wilner --- Felipe Amaral [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, esse problema foi passado pelo meu professor enquanto ele explicava Serie de Fourier mas nem ele e ninguem que eu conheca conseguiu provar as seguintes identidades: Somatorio de K = 1, 2, 3 ... (N-1) com p = PI sin( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) - sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 cos( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1 Grato desde ja = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Duvidas
05. 05. Uma vez, para tod o x 1 e n Î N, vale a desigualdade xn n(x - 1). Temos como conseqüência que, para 0 x1e n Î N, tem-se: se: a) xn-A) xn-1 [(n + 1)(1 + x)]-1 b) xn-1 [n2(1 - x)]-1 c) xn-1 [(n + 1)(1 - x)]-1 D) xn-1 [n(1 - x)]-1 E) xn-1 [n(1 + x)]-1
RE: [obm-l] Por 7
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet said: --Que historia e essa de so e bom para numeros pequenos? Para comeco de historia, pode-se pegar qualquer bloco de digitos em vez de apenas um por vez. [...] Então você certamente acha que 147 não é um múltiplo de 7? Afinal de contas, 1 - 2*47 = 1 - 94 = 93 = -3*31. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier
Desculpem Nao havia notado que o somatorio vai so ateh N-1. Assim, o problema deve ser soh para N1. Alguns testes que fiz indicam que K K eh k^2 e que no segundo somatorio o segundo membro deve ser ( 1 + cos(Np/2) + sin(Np/2) )(Raiz(N)/2) - 1. Pode confirmar? Wilner --- Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Felipe. Tentei adivinhar as expressoes que vc. coloca mas estah dificil, principalmente o segundo membro da somatoria dos cosenos. Veja que para N=1 portanto K=1 (nao sei se K K=K^2, i.e. K ao quadrado, mas neste caso nao importa) nao se consegue obter a igualdade expressa. Se vc. pouder ser mais explicito... []s Wilner --- Felipe Amaral [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, esse problema foi passado pelo meu professor enquanto ele explicava Serie de Fourier mas nem ele e ninguem que eu conheca conseguiu provar as seguintes identidades: Somatorio de K = 1, 2, 3 ... (N-1) com p = PI sin( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) - sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 cos( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1 Grato desde ja = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier
Acho queé isso mesmo. Pra mim,o problemaé provar que: se n é inteiro positivo e w = exp(i*2*pi/n), então: 1 + w + w^4 + w^9 + ... + w^((n-1)^2) = K(n)*raiz(n) onde K(n) = 1+i, 1, 0, i se n == 0, 1, 2, 3 (mod 4), respectivamente. Não me parecemuito trivial... Aliás, alguém conhece alguma fórmula fechada para a soma: 1 + x + x^4 + x^9 + ... + x^(n^2) com x qualquer? E como se chama isso? Soma de uma PG de segunda ordem (onde os logs dos termos formam uma PA de 2a. ordem)? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 11 Apr 2005 18:41:49 -0300 (ART) Assunto: Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier Desculpem Nao havia notado que o somatorio vai so ateh N-1. Assim, o problema deve ser soh para N1. Alguns testes que fiz indicam que K K eh k^2 e que no segundo somatorio o segundo membro deve ser ( 1 + cos(Np/2) + sin(Np/2) )(Raiz(N)/2) - 1. Pode confirmar? Wilner --- Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Oi Felipe. Tentei adivinhar as expressoes que vc. coloca mas estah dificil, principalmente o segundo membro da somatoria dos cosenos. Veja que para N=1 portanto K=1 (nao sei se K K=K^2, i.e. K ao quadrado, mas neste caso nao importa) nao se consegue obter a igualdade expressa. Se vc. pouder ser mais explicito... []s Wilner --- Felipe Amaral <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Oi, esse problema foi passado pelo meu professor enquanto ele explicava Serie de Fourier mas nem ele e ninguem que eu conheca conseguiu provar as seguintes identidades: Somatorio de K = 1, 2, 3 ... (N-1) com p = PI sin( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) - sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 cos( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1 Grato desde ja = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier
Oi, desculpem a zona, mas de qualquer forma, acho que vocês interpretaram ou decodificaram corretamente... Só confirmando: Somatorio de K = 1, 2, 3 ... (N-1) sin( 2piK^2/N ) = ( 1 + cos(Npi/2) - sin( Npi/2 ) )Raiz(N)/2 cos( 2piK^2/N ) = ( 1 + cos(Npi/2) + sin( Npi/2 ) )Raiz(N)/2 - 1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier
Eu consegui provar o caso N == 2 (mod4), o qual,obviamente, deve ser o mais fácil... Sejam N = 4m+2 e w = cis(2*pi/N) = cis(pi/(2m+1)) == w^(2m+1) = -1. Olhando mod 4m+2: (2m+1)^2 = 4m^2+4m+1 == 2m+1 Logo, para 0 = k = 2m: (2m+1+k)^2 - k^2 = (2m+1)^2 + 2(2m+1)k == (2m+1)^2 == 2m+1 == (2m+1+k)^2 == k^2+2m+1 == w^((2m+1+k)^2) = w^(k^2+2m+1) = w^(k^2)*w^(2m+1) = -w^(k^2) Assim: SOMA(k=0...N-1) w^(k^2) = SOMA(k=0...2m) ( w^(k^2) + w^((2m+1+k)^2) ) = SOMA(k=0...2m) ( w^(k^2) - w^(k^2) ) = 0. *** Nos outros casos aparece aquela raiz(N), que complica um pouco as coisas... []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 11 Apr 2005 19:42:15 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier Acho queé isso mesmo. Pra mim,o problemaé provar que: se n é inteiro positivo e w = exp(i*2*pi/n), então: 1 + w + w^4 + w^9 + ... + w^((n-1)^2) = K(n)*raiz(n) onde K(n) = 1+i, 1, 0, i se n == 0, 1, 2, 3 (mod 4), respectivamente. Não me parecemuito trivial... Aliás, alguém conhece alguma fórmula fechada para a soma: 1 + x + x^4 + x^9 + ... + x^(n^2) com x qualquer? E como se chama isso? Soma de uma PG de segunda ordem (onde os logs dos termos formam uma PA de 2a. ordem)? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 11 Apr 2005 18:41:49 -0300 (ART) Assunto: Re: [obm-l] Somatorio com Serie de Fourier Desculpem Nao havia notado que o somatorio vai so ateh N-1. Assim, o problema deve ser soh para N1. Alguns testes que fiz indicam que K K eh k^2 e que no segundo somatorio o segundo membro deve ser ( 1 + cos(Np/2) + sin(Np/2) )(Raiz(N)/2) - 1. Pode confirmar? Wilner --- Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Oi Felipe. Tentei adivinhar as expressoes que vc. coloca mas estah dificil, principalmente o segundo membro da somatoria dos cosenos. Veja que para N=1 portanto K=1 (nao sei se K K=K^2, i.e. K ao quadrado, mas neste caso nao importa) nao se consegue obter a igualdade expressa. Se vc. pouder ser mais explicito... []s Wilner --- Felipe Amaral <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Oi, esse problema foi passado pelo meu professor enquanto ele explicava Serie de Fourier mas nem ele e ninguem que eu conheca conseguiu provar as seguintes identidades: Somatorio de K = 1, 2, 3 ... (N-1) com p = PI sin( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) - sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 cos( 2 p K K / N ) = ( 1 + cos( N p / 2 ) + sin( N p /2 ) ) Raiz(N) / 2 - 1 Grato desde ja = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
