[obm-l] Combinatória
Prezados Mestres, minha cabeça embolou completamente com esse exercício. Agradeço se puderem me ajudar: Quantos são os números de 6 algarismos distintos que podemos formar de modo que um algarismo par esteja sempre ao lado de pelo menos um algarismo ímpar? Obrigado! Thelio
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp( x^-2), por que é impossível?
Eh, mas esta eh a integral da nota de aula eh DEFINIDA, de -Inf a +Inf. Esta dah para calcular passando por integrais duplas e coordenadas polares (este calculo eh belissimo, neh?). A integral INDEFINIDA (ou a integral definida F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt ) eh impossivel... bom, no sentido que o Leandro falou ali em cima: nao dah para escreve-la usando apenas as chamadas funcoes elementares (sin, cos, ln, exponenciais... esqueci alguma?) e somas, subtracoes, multiplicacoes, divisoes e raizes (FINITAS). Acho que o Cesar queria ver a demonstracao deste fato; infelizmente, eu nao a conheco... alias, nao tenho ideia de como seja esta demonstracao. Agora, se usarmos funcoes nao elementares, dah para escrever sim (por exemplo, usando a funcao erf, como disse o Bouskela, que por sua vez eh uma outra integral destas impossiveis, com aspas). Outra possibilidade para resolve-la (talvez o verbo correto aqui fosse re-escreve-la...) eh por serie de potencias. exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+x^8/4!-x^10/5!+...+(-1)^n . x^(2n)/n!+... F(x)=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/212-x^11/1320+...+(-1)^n.x^(2n+1)/((2n+1).n!)+... Reforcando de novo o que o Leandro disse, esta divisao entre funcoes elementares e nao-elementares eh um tanto arbitraria; quase dah para argumentar que a funcao F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt eh tao elementar quanto o seno, e tao dificil de calcular quanto o seno. Pense bem: como calcular F(1), e como calcular sin(1)? Eh mais uma questao de costume -- a gente mexe com o seno frequentemente, mas raramente com esta F que nem nome ganhou. Abraco, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inte gral de exp(x^-2), por que é impossível?
Pessoal, o livro de Cálculo do Simmons (aquele azul e amarelo, famoso) traz uma discussão introdutória sobre integrais indefinidas que não podem ser expressas em termos de um número finito de funções elementares na seção 10.8, do volume 1. Atenciosamente, Leo. 2009/3/24 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Eh, mas esta eh a integral da nota de aula eh DEFINIDA, de -Inf a +Inf. Esta dah para calcular passando por integrais duplas e coordenadas polares (este calculo eh belissimo, neh?). A integral INDEFINIDA (ou a integral definida F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt ) eh impossivel... bom, no sentido que o Leandro falou ali em cima: nao dah para escreve-la usando apenas as chamadas funcoes elementares (sin, cos, ln, exponenciais... esqueci alguma?) e somas, subtracoes, multiplicacoes, divisoes e raizes (FINITAS). Acho que o Cesar queria ver a demonstracao deste fato; infelizmente, eu nao a conheco... alias, nao tenho ideia de como seja esta demonstracao. Agora, se usarmos funcoes nao elementares, dah para escrever sim (por exemplo, usando a funcao erf, como disse o Bouskela, que por sua vez eh uma outra integral destas impossiveis, com aspas). Outra possibilidade para resolve-la (talvez o verbo correto aqui fosse re-escreve-la...) eh por serie de potencias. exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+x^8/4!-x^10/5!+...+(-1)^n . x^(2n)/n!+... F(x)=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/212-x^11/1320+...+(-1)^n.x^(2n+1)/((2n+1).n!)+... Reforcando de novo o que o Leandro disse, esta divisao entre funcoes elementares e nao-elementares eh um tanto arbitraria; quase dah para argumentar que a funcao F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt eh tao elementar quanto o seno, e tao dificil de calcular quanto o seno. Pense bem: como calcular F(1), e como calcular sin(1)? Eh mais uma questao de costume -- a gente mexe com o seno frequentemente, mas raramente com esta F que nem nome ganhou. Abraco, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Thelio, pense separadamente em cada caso com um número de algarismos pares bem definido. Como um começo, note que só pode haver de 1 a 4 algarismos pares. Leo 2009/3/24 Thelio Gama teliog...@gmail.com Prezados Mestres, minha cabeça embolou completamente com esse exercício. Agradeço se puderem me ajudar: Quantos são os números de 6 algarismos distintos que podemos formar de modo que um algarismo par esteja sempre ao lado de pelo menos um algarismo ímpar? Obrigado! Thelio
[obm-l] Uma sugestão
Oi, amigos Podem pelo menos dar uma luz didática? Abraços... João, Alfredo, Carlos, Maria e Ana são brasiliense. Artur, josé, marta e patricia sao cariocas. Três duplas serão formadas: A 1ª dupla só com mulheres.. A 2ª dupla so com brasilienses e a 3ª dupla so com cariocas. Ninguém pertence a mais de uma dupla... De quantos modos diferentes pode-se formar estas duplas? A) 36 B) 72 C) 88 D) 90 E) 1440 -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira
[obm-l] participar da lista
Quero participar da lista. levi Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por q ue é impossível?
O problema é que não existe primitiva de e^(-x^2), mas pode-se calcular a integral numericamente ou até analiticamente dependendo do intervalo de integração. Ela é convergente em todo R. Resultados possíveis de se encontrar analiticamente é a integral de zero a infinito ou de -infinito a +infinito. Iuri 2009/3/23 Paulo Cesar pcesa...@gmail.com Essa integral não é impossível. Só não é possível resolver pelos métodos convencionais. Já vi a solução numa aula de cálculo 3, faz muito tempo. Caso eu encontre, publico aqui. mas acho que até lá um dos mestres da lista já terá resolvido. Abraço PC
[obm-l] limite
Boa tarde, poderiam me ajudar nesse limite. lim (x-0) [3.ln(x)] / [4+ln(x)] meu resultado deu 3 mas acho que eu errei muito obrigado Hermann
[obm-l] Eureka! No. 29 já está on-line
Caros(as) amigos(as) da OBM, Já está on-line a versão eletrônica da revista Eureka! No. 29 Confira no site www.obm.org.br Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] limite
Caro Hermann, O enunciado correto deve ser lim x- 0+ (zero por valores superiores), já que a função real f(x) = ln(x) só é definida para valores positivos de x. Seu resultado (3) está correto. O limite é uma forma indeterminada do tipo (-infinito)/(-infinito). Você pode resolvê-lo de duas maneiras: Solução 1: Usando desprezo: O número 4 que aparece no denominador é desprezível em face do ln(x) que tende para (-infinito). Desprezando-o, você pode cancelar o ln(x) do numerador com o do denominador e encontrar o resultado (3). Solução 2: Usando a Regra de L'Hôpital: Basta derivar o numerador e o denominador. Seu limite ficará lim x- 0+ (3/x) / (1/x) = 3. Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com
Re: [obm-l] limite
Olá Hermann, acredito que seja x-0+, pois o limite lateral a esquerda daria ln de numero negativo. faça y = ln(x), desta maneira, quando x-0+, temos y--inf, logo: lim(y--inf) 3y/(4+y) = lim(y--inf) 3/(1+4/y) = 3 cheguei na mesma resposta que vc... onde acha que erramos? abraços, Salhab 2009/3/24 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br Boa tarde, poderiam me ajudar nesse limite. lim (x-0) [3.ln(x)] / [4+ln(x)] meu resultado deu 3 mas acho que eu errei muito obrigado Hermann
Re: [obm-l] 6 amigos no cinema
Olá Palmerim, é verdade eu achei que seu passo (1) estava correto, mas há um equívoco. Quais da duas moças v. chamou apenas de uma, a m1m2 ou m1m3 ou a m2m3? Na verdade o o total de agrupamentos com 2 moças juntas (2 ou 3) é 576 e não 240. O total com apenas 2 moças juntas é 432. O total com 3 moças juntas 144. O total de 3 moças separadas 144. 2 moças juntas e 2 rapazes nunca juntos 72. 2009/3/23 Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com Oi José Airton Humm... Não entendo. Se no passo 2 faço a contagem de todos os grupamentos onde estão 2 rapazes juntos e duas moças juntas, então aí já não estariam incluídos necessariamente os grupamentos onde há três rapazes juntos?? Bem, vou pensar mais para ver se encontro alguma outra causa do erro. Valeu! Palmerim 2009/3/22 JOSE AIRTON CARNEIRO nep...@ig.com.br É como o Paulo Cesar,Rafael Forte e Luis Lopes resolveram, dá 72. Agora o erro do Palmerim é que ele está esquecendo que dentre esses 240 possíveis agrupamentos, também estão os que possuem 3 rapazes juntos.Que são exatamente 72. 2009/3/20 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, Vou me arriscar mas vou escrever pouco. Chame de P as duas moças juntas. Elas formam um bloco e sobram 5 lugares. Como os rapazes r não sentam juntos, as duas disposições possíveis nas poltronas são: rMrPr (a) rPrMr (b) Então faço (a) e dobro o resultado para considerar (b). (3,2) é o símbolo de combinação. O P é dado por (3,2)=3. R(3)M(1)R(2)P(3,2)R(1)=3X1X2X3X1=18 Mas P pode permutar. Logo, 18X2=36. E dobrando para levar em conta a disposição (b), encontro 72. []'s Luís -- Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? -- Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true -- Dharmo rakshati rakshatah O Dharma protege aquele que protege o Dharma
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é imp ossível?
Olá! Bem, gostei das respostas, mas tenho algumas (só três) observações: 1ª) De fato, podemos muito bem definir algumas funções através de integrais, p.ex., Bessel, Gama, Legendre etc. Essas funções são perfeitamente aceitas e, aliás, de bastante utilidade. 2ª) Acredito que não seja possível demonstrar a impossibilidade de se encontrar uma determinada integral indefinida, expressa apenas através das funções mais básicas. I.e., em princípio, a integral indefinida (expressa apenas através das funções mais básicas) de qualquer função NÃO existe, ou não pode ser calculada (no sentido convencional), até que se consiga, por qualquer meio (admitindo-se até chutar, ou inferir), determiná-la, e, aí, vale o Teorema Fundamental do Cálculo. Um bom exemplo é a integral de sqrt(sin(x)). 3ª) Um dos participantes da Lista mencionou que se pode definir a função ln(x) como sendo a integral da função 1/x . Poder, até pode, mas vai dar uma baita complicação: - vou apresentar 2 teoremas: Definições: Seja e um número real tal que: e = limite [ (1+1/x)^x , x=+infinito ] . Seja f uma função tal que: f(x) = e^x . Afirmativa (a ser provada - é fácil!): f possui função inversa: f(-1) = g . 1º Teorema: Se f(-1)=g , então integral [1/x , x]=g(x) ... muito fácil de se demonstrar! Já o 2º Teorema... Definições: Seja e um número real tal que: e = limite [ (1+1/x)^x , x=+infinito ] . Seja f uma função tal que: f(x) = e^x . 2º Teorema: Lembro que o 1º Teorema não vale mais, porque a função g ainda não foi definida. Se integral [1/x , x]=g(x) , então g=f(-1) ... não é fácil de se demonstrar! AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com -Original Message- From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Ralph Teixeira Sent: Tuesday, March 24, 2009 10:10 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível? Eh, mas esta eh a integral da nota de aula eh DEFINIDA, de -Inf a +Inf. Esta dah para calcular passando por integrais duplas e coordenadas polares (este calculo eh belissimo, neh?). A integral INDEFINIDA (ou a integral definida F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt ) eh impossivel... bom, no sentido que o Leandro falou ali em cima: nao dah para escreve-la usando apenas as chamadas funcoes elementares (sin, cos, ln, exponenciais... esqueci alguma?) e somas, subtracoes, multiplicacoes, divisoes e raizes (FINITAS). Acho que o Cesar queria ver a demonstracao deste fato; infelizmente, eu nao a conheco... alias, nao tenho ideia de como seja esta demonstracao. Agora, se usarmos funcoes nao elementares, dah para escrever sim (por exemplo, usando a funcao erf, como disse o Bouskela, que por sua vez eh uma outra integral destas impossiveis, com aspas). Outra possibilidade para resolve-la (talvez o verbo correto aqui fosse re-escreve-la...) eh por serie de potencias. exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+x^8/4!-x^10/5!+...+(-1)^n . x^(2n)/n!+... F(x)=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/212-x^11/1320+...+(- 1)^n.x^(2n+1)/((2n+1).n!)+... Reforcando de novo o que o Leandro disse, esta divisao entre funcoes elementares e nao-elementares eh um tanto arbitraria; quase dah para argumentar que a funcao F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt eh tao elementar quanto o seno, e tao dificil de calcular quanto o seno. Pense bem: como calcular F(1), e como calcular sin(1)? Eh mais uma questao de costume -- a gente mexe com o seno frequentemente, mas raramente com esta F que nem nome ganhou. Abraco, Ralph === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Cálculo de Integrais: - uma boa dica!
Olá! Para os estudantes e demais interessados que se esbarram com integrais complicadas, há, na web (no site do software Mathematica), um ótimo calculador de integrais: http://integrals.wolfram.com/index.jsp Wolfram Mathematica Online Integrator Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?
Oi, Bouskela. Você tem uma certa razão... Mas, sinceramente, o que diabos é e^x? Mais espcificamente, o que é e^pi, por exemplo? Dá para definir por limites usando números racionais, mas dá um certo trabalhinho... Então tem um pessoal que prefere DEFINIR o logaritmo pela integral, e DEFINIR a função e^x como sendo a inversa do ln (assim, este tal de e por definição seria o número cujo ln é 1!). Neste novo universo, as coisas se encaixam elegantemente (e, de bônus, responde-se a pergunta do meu parágrafo anterior). Mais detalhadamente, a ordem lógica desse pessoal é: *Alerta! Texto DENSO a seguir! Nada difícil, mas está denso!* 0. Não sabemos o que é ln, nunca ouvimos falar de e, não temos a mínima idéia do que seja a^x quando x não é racional. 1. Para x em (0,+Inf), definimos ln(x)=Int(1 a x) 1/t dt. Assim, d(lnx)/dx=1/x e ln1=0. 2. Conclua que ln(x) é crescente (pois a derivada é +). (2a. Em particular, note que ln2ln1=0.) 3. Mostre que ln(x^r)=r.ln(x) (pelo menos para r racional) -- Um jeito é: tome h(x)=ln(x^r)-rln(x); derivando, usando a Regra da Cadeia e (1), vem h'(x)=0. Então h(x)=h(1)=0. 4. Usando 2a e 3, temos que ln(2^r)=r.ln2 pode ser tão grande quanto quisermos se r for grande, e tão negativo quanto quisermos se r for bem negativo. Assim, a imagem desta misteriosa ln(x) é o intervalo (-Inf, +Inf). 5. Por (2), lnx é monótona, então invertível; vamos chamar sua inversa de exp(x):(-Inf, +Inf) - (0,+Inf) (estes intervalos vêm de (4) e (1)). 6. Mostre que exp(rx)=exp(x)^r (pelo menos para r racional) -- Um jeito: use que exp(rx)=exp(rln(exp(x)))=exp(ln(exp(x)^r))=exp(x)^r. 7. DEFINIÇÃO: e=exp(1). Assim, exp(x)=exp(x.1)=exp(1)^x=e^x (pelo menos para x racional) 8. Agora é o contrário: a gente vai MOSTRAR que e=lim ln(1+1/x)^x quando x vai para Inf. Como? Use L´Hôpital nesta indeterminação do tipo 1^(+Inf). 9. DEFINIÇÃO: x^y=exp(y.lnx) sempre que x0, para qualquer y, inclusive y irracional. Parece que dá MUITO mais trabalho (poxa, são uns 10 teoreminhas encadeados)... Mas, no processo, a gente prova elegantemente todas as propriedades dos logaritmos e das exponenciais (bom, tem algumas que eu não pus aqui, mas que saem de maneira similar). Quando a gente dá Cálculo 1 *para a matemática* aqui na UFF, a gente reserva uma aula de 2 horas para falar disso. Eu começo a aula fazendo o passo 0. Aí eu pergunto: quanto é ln(a.b)? Quanto é ln(10^6)? Quanto vale e? Respostas corretas (antes do passo 1): não tenho ideia, nunca vi mais gordoo, é, que é? :) :) :) Abraço a todos, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] participar da lista
É fácil, Levi: Basta enviar um email para obm-l conforme estas instruções: link:http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 2009/3/24 levi queiroz lqzmatemat...@yahoo.com.br Quero participar da lista. levi -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] Re: [obm-l] Uma sugestão
O Walter, Vou arriscar uma tentativa, veja se concorda (aguardando, naturalmente, outros comentários e eventuais correções). Acho que devemos considerar C (6,2) = 6 situações possíveis quanto à primeira dupla (só de mulheres) como mostra o quadro abaixo: *SITUAÇÃO* *1ª DUPLA* *2ª DUPLA* *3ª DUPLA* *TOTAIS* 1ª Maria e Ana C (3,2) C (4,2) 3x6 = 18 2ª Maria e Marta C (4,2) C (3,2) 6x3 = 18 3ª Maria e Patrícia C (4,2) C (3,2) 6x3 = 18 4ª Ana e Marta C (4,2) C (3,2) 6x3 = 18 5ª Ana e Patrícia C (4,2) C (3,2) 6x3 = 18 6ª Marta e Patrícia C (5,2) C (2,2) 10x1 = 10 Adicionando os totais, teríamos 100. Só que esta alternativa não existe na questão. Então, vamos aguardar os comentários dos mestres da lista. Abraços, Palmerim 2009/3/24 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com Oi, amigos Podem pelo menos dar uma luz didática? Abraços... João, Alfredo, Carlos, Maria e Ana são brasiliense. Artur, josé, marta e patricia sao cariocas. Três duplas serão formadas: A 1ª dupla só com mulheres.. A 2ª dupla so com brasilienses e a 3ª dupla so com cariocas. Ninguém pertence a mais de uma dupla... De quantos modos diferentes pode-se formar estas duplas? A) 36 B) 72 C) 88 D) 90 E) 1440 -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira -- Dharmo rakshati rakshatah O Dharma protege aquele que protege o Dharma
