[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números
Oi, Bouskela, Este outro Ponce O que voc imaginou MUTO, mas MUITO mais velho mesmo. Quase tanto quanto eu ... Hahaha. Abraos, Nehab Albert Bouskela escreveu: Pois , Ponce, bom v-lo por aqui, saudaes! Esta a soluo que conheo. Um primor de Lgica Matemtica. claro que no se consegue identificar nem x nem y, apenas se descobre que eles existem. claro que sqrt(2)^sqrt(2) leva todo o jeito de ser irracional... Albert Bouskela bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Gabriel Ponce Sent: Saturday, April 04, 2009 4:33 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clssico da Teoria dos Nmeros Tome x=y=sqrt(2). Se x^y for irracional o problema est resolvido, caso contrrio z=x^y irracional. Neste caso, z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2 que racional, e o problema est resolvido. ^^ 2009/4/4 Albert Bouskela bousk...@ymail.com Mostre que existem pelo menos dois nmeros IRRACIONAIS, "x" e "y", tais que x^y RACIONAL. No se assustem: a soluo simples curta, mas requer criatividade. Saudaes, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com Veja quais so os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Msica - Esportes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatoração de 5^1985 - 1 .
Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ningum deu muita bola, talvez achando que bvio. No achei bvio no. Quem resolveu? Abraos, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exerccios, um me chamou muito a ateno. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de trs inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possvel avano, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Método De Newton
2009/4/5 Denisson denisso...@gmail.com:
Estava relendo sobre o método de newton e a demonstração fala que numa
vizinhança suficientemente próxima da raiz o método converge. Implementei o
algoritmo em um computador e o polinômio x^2 + 3x + 2 por exemplo de raizes
-1 e -2 ao tomar uma aproximação inicial de valor 10 ele encontra a raiz
-1. Pergunto o que caracteriza exatamente esse intervalo suficientemente
próximo.
Bom, isso é realmente um problema da demonstração (e provavelmente
de todas as demonstrações que dizem suficientemente pequeno ou
suficientemente grande). Mas acho que não tem jeito melhor de fazer.
Deixa eu explicar o que eu quero dizer:
Se você leu a demonstração, o cara precisa de duas hipóteses sobre os
valores da derivada de f (uma para f', outra para f'', se a memória
não falha), para garantir que o próximo ponto está mais próximo da
raiz do que o atual. Para isso, o cara usa a continuidade de f, f' e
f'', o que é um método bastante geral para obter que a função não
varia muito, mas em compensação, o resultado que ele dá é somente o
suficientemente pequeno que você encontrou, e ainda por cima, a
continuidade não te dá o tamanho desse intervalo. Assim, ele diz
apenas suficientemente pequeno, existe, e o matemático está contente.
Agora, você quer implementar o algoritmo, e gostaria que saber quando
ele funciona. Muito bem, basta reler a demonstração e ver quais são
*exatamente* as hipóteses que a prova exige para a convergência. Se
você lembra do algoritmo de escolha do próximo ponto, temos a_{n+1} =
a_n - f(a_n) / f'(a_n), e a gente testa a convergência usando o único
critério disponível, ou seja, o de Cauchy, e para isso temos que
tentar calcular (a_{n+2} - a_{n+1}) / (a_{n+1} - a_n) e ver se dá um
comportamento de série geométrica. Com a fórmula, isso quer dizer que
é pra calcular f(a_{n+1}) / f(a_n) * f'(a_n) / f'(a_{n+1}). Agora, use
uma aproximação de segunda ordem para a função perto de a_n, ou seja,
diga que f(a_n + x) = f(a_n) + f'(a_n)x + f''(a_n)x^2/2 + erro
pequenininho, e vamos estimar f(a_{n+1}) / f(a_n). Pela definição do
a_{n+1} (lembre da reta tangente batendo no zero !), a distância do
a_{n+1} ao a_n é tal que os dois primeiros termos de taylor
desaparecem, resta portanto só o último, que vale f''(a_n)/2 *
(a_{n+1} - a_n)^2 = f''(a_n)/2 * f(a_n)^2 / f'(a_n)^2. Assim, o
quociente a gente pode estimar com f(a_{n+1}) / f(a_n) ~= f''(a_n)/2 *
f(a_n) / f'(a_n)^2. Daí, resta estimar o quociente das derivadas, e se
eu não me engano, a demonstração simplesmente exige que a f' esteja no
intervalo [a, A], com 0 a A, e portanto o quociente é no máximo
A/a que é limitado. Daí, se você começar suficientemente perto, o erro
é menor do que f(a_n) * (f''(a_n)/2 / f'(a_n)^2) * A/a e isso tudo
será menor do que 1 (pro critério de Cauchy, lembra ?) bastando que a
f''(a_n) seja limitada, e que f(a_n) seja muuuito pequeno (ou
seja, isso é o suficientemente perto da raiz em questão). Bom, isso
é o primeiro passo.
Agora, vamos ver o teu exemplo ! Você pegou um polinômio do segundo
grau para testar, portanto, só pra início de conversa, a f''(x) é
limitada *na reta toda* ! O que já é uma boa mão na roda na hora de
fazer o algoritmo convergir. Se você refizer as contas que eu dei,
simplificando quando puder, vai dar pra ver que o quociente entre as
diferenças sucessivas (o que a gente tem que calcular no critério de
Cauchy) é f(a_n) * f''(a_n) / 2( f'(a_n) * f'(a_{n+1}) = Constante *
f(a_n) / ( f'(a_n) f'(a_{n+1} ) . Desenvolvendo mais uma vez por
Taylor (no denominador agora, a gente quase nunca usa isso na prova
porque não precisa, mas no teu caso é legal ver no que dá), a gente
obtém um treco que é aproximadamente (veja que, na verdade, é
exatamente, porque a aproximação de Taylor de ordem 2 de um polinômio
de ordem dois é *exata* !)
f(a_n) * f''(a_n) / 2 ( f'(a_n) ^2 - f(a_n)*f''(a_n) )
e substituindo o polinômio, você vai ver que dá sempre menor do que 1,
exceto quando você começa entre as raízes. Isso tem também uma
explicação geométrica : como a função é convexa, o método sempre
aproxima quando você está depois das raízes (esse é um excelente
exercício pra você ver que você entendeu direitinho o método !), mas
pode se afastar quando você começa entre. Aliás, a melhor maneira de
tentar começar a solução é justamente fazer o desenho !
O segundo ponto, o que acontece no método quando você toma como aproximação
inicial exatamente a média entre duas raizes? Ele vai convergir pra algum
valor? No computador deu erro mas não tenho certeza ainda se foi erro de
programação :P
Bom, é um erro dos dois :) Veja bem, lembra da demonstração, que a
gente pedia para a f' estar num intervalo longe do zero (para poder
estimar um quociente ?) Pois é, a gente também precisa que a derivada
seja diferente de zero para poder simplesmente calcular o próximo
passo da iteração (qualquer coisa, dê uma olhada de volta na fórmula
para lembrar !). Ora, numa função do segundo grau, começando no
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
Um ótimo raciocínio E, claro que ajudou!!! Não é realmente bom o problema? Encontramos sempre problemas fáceis de conjuntos, e esse não é tão bobinho.. Abraços colegas 2009/4/3 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com Pedro. Seja P o número de participantes em cada conferência. Então 13P/12 pessoas assistiram somente a uma conferênciae (300 - 13P/12) assistiram a mais de uma. Sabendo que as três conferências foram assistidas pelo mesmo número de pessoas, a conferência com o maior número de pessoas dentre as (300 - 13P/12) que assistiram mais de uma conferência será a terceira, que tem o menor número de pessoas que assistiram somente a ela. Assim, o número de pessoas na terceira conferência, P, será no máximo igual a P/4 + (300 - 13P/12). Resolvendo a equação: P/4 + (300 - 13P/12) = P vem P = 163,636363... Então P 163,63 e pelo fato de 13P/12 ser um número inteiro positivo, P é múltiplo de 12. Ora, o maior múltiplo de 12 menor que 163,6363.. é 156. Espero ter ajudado. Abraços. Hugo. 2009/4/2 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha bobo de conjuntos, quando de fato não é!!! Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora... Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração Abraços!!! 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t*= 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t*= 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números
Olá Vidal, Pois é, vivendo e aprendendo. Fiquei meio envergonhado por não conhecer esse Teorema de Gelfond (aliás, bem famoso e recente!). E é mesmo pra sentir vergonha, já que ele resolve o 7º Problema de Hilbert. Bem, obrigado. Mas admito: fiquei meio chateado pela minha ignorância. AB mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of *Vidal Sent: Sunday, April 05, 2009 2:36 AM To: OBM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números Caro Bouskela, Mas 2^sqrt(2) parece e é bem irracional ! Aleksander Gelfond provou em 1934 que se *a* é algébrico não nulo diferente de um e *b* é algébrico e irracional, então *a^b* é transcendente (e portanto, irracional). Apesar de Schneider também ter demonstrado a mesma proposição de forma independente no mesmo ano, o resultado ficou conhecido como Teorema de Gelfond (em mais uma destas injustiças históricas que grassam na Matemática). Assim, 2^sqrt(2) é irracional, assim como também o é e^pi, já que e^pi = (-1)^(-i). Desta forma, eles resolveram *parcialmente* o sétimo dos vinte e três famosos problemas de Hilbert, propostos em 1900. Mas ainda falta resolver o caso de *b* ser irracional, mas não algébrico. Não sabemos até hoje, por exemplo, se 2^e é irracional (apesar de parecer sê-lo). Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com Olá! Hummm... acho que não... 2^sqrt(2) tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional. Entretanto, é preciso demonstrá-lo. A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa pela determinação (identificação) de x e y, i.e., consegue-se apenas demonstrar que x e y existem, mas não identificá-los. Sds., AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of *Vidal Sent: Saturday, April 04, 2009 3:27 PM To: OBM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números Caro Bouskela, x = 2^sqrt(2) y = sqrt(2) x^y = 4 Bom final de semana ! Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com
[obm-l] Paralelepipedo, triangulo e inteiros
Uma das arestas, b, do paralelepipedo P eh a media aritmetica das outras duas e a maior delas eh a media geometrica entre b e um inteiro d. d eh a hipotenusa de um triangulo cujos catetos sao a diagonal de P e 5. Determine as ternas de inteiros que representam as arestas de P. []'s Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
valeu Pedro é realmente uma questão atipica de conjuntos, e o tempo é um fator importante demais, e a solução do Hugo foi deveras legal. Abraços Em 02/04/09, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com escreveu: Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha bobo de conjuntos, quando de fato não é!!! Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora... Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração Abraços!!! 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* = 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* = 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conceito de funçao ??
Valeu Erick e Valeu Bruno !!! OBG., vejam se entendi certo !!! Então é assim, se em um determinado intervalo do domínio a função apresnta trechos crescente e trechos constantes ela é CRESCENTE , porém se for crescente de ponta a ponta nesse intervalo chamamos ESTRITAMENTE CRESCENTE. ou ainda podia ser assim se a função não tiver nenhum pedaço decrescente no intervalo estudado,ela é crescente , mesmo que tenha um pedaço constante. AÍ eu pergunto :se nesse intervalo ela for constante de ponta a ponta poderia chamar de Crecente ou decrescente ?? ou nesse caso seria constante , para esse intervalo ?? Abraços , desde já agredeço pela ajuda !! o segundo e o terceiro questionamento ficaram OK !! - Original Message - From: Erick Nascimento To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 03, 2009 7:47 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conceito de funçao ?? 1) f é crescente se, e somente se, Para todo x e x' (x' x) no domínio de f, f(x') = f(x). f é estritamente crescente se, e somente se, Para todo x e x' (x' x) no domínio de f, f(x') f(x). 2) f é monótona se uma das afirmações abaixo é verdadeira para f: f é estritamente crescente; f é estritamente decrescente; f é crescente; f é decrescente; 3) Você pode ler a frase da seguinte maneira: toda função de R em R é a soma de uma Par com outra Impar, pois f(x) = [ f(x) + f(-x) ] /2 + [ f(x) - f(-x) ] /2 A frase diz que toda função f(x) pode ser escrita como: f(x) = ( f(x) + f(-x) )/2 + ( f(x) - f(-x) )/2 Vemos que a primeira função da soma, h(x) = ( f(x) + f(-x) )/2 é par, pois h(-x) = ( f(-x) + f(x) )/2 = ( f(x) + f(-x) )/2 = h(x). A segunda função da soma, g(x) = ( f(x) - f(-x) )/2 é ímpar, pois g(-x) = ( f(-x) - f(x) )/2 = - ( f(x) - f(-x) )/2 = -g(x). Portanto, f(x) = h(x) + g(x), onde h é uma função par e g é uma função ímpar. Ajudei? -- Erick Nogueira do Nascimento Engenheiro de Computação - Unicamp Mestrando em Ciência da Computação - IC - Unicamp 2009/4/3 Gustavo Duarte gvdua...@hotlink.com.br 1) Qual a diferença entre uma função crescente e uma função estritamente crescente ? 2) O que seria uma funçõa monótona ( ou monotónica ) ? 3) Conheço a definiçõa de função PAR e de IMPAR ,porém não estou conseguindo associar a frase com a expressão matematica ; toda função de R em R é a soma de uma Par com outra Impar, pois f(x) = [ f(x) + f(-x) ] /2 + [ f(x) - f(-x) ] /2Alguém ajuda ?
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números
Caro Bouskela, Não se martirize ! Somos todos ignorantes, não no sentido pejorativo da palavra, mas na acepção de ignorarmos, desconhecermos os milhares, talvez milhões, de teoremas, conjecturas, problemas abertos e resultados já existentes, afora os que estão sendo gerados neste exato momento em todo o mundo, e os que ainda estão por vir até o fim dos nossos dias. E se, nesta ocasião derradeira, os terroristas suicidas islâmicos são agraciados com setenta virgens cada, talvez para nós esteja reservada como prêmio a onisciência matemática, a fim de nos livrar de todo este martírio terreno. Em tempo, o Gelfond e o Schneider só fizeram a parte fácil do sétimo problema de Hilbert, o caso de b (expoente) irracional e algébrico. Ficou faltando a melhor parte, quando b é irracional, mas não algébrico. Quem sabe um dia a gente não marca um chope, num destes bares com toalha de papel na mesa, e termina o trabalho que eles deixaram inacabado? :) Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com Olá Vidal, Pois é, vivendo e aprendendo. Fiquei meio envergonhado por não conhecer esse Teorema de Gelfond (aliás, bem famoso e recente!). E é mesmo pra sentir vergonha, já que ele resolve o 7º Problema de Hilbert. Bem, obrigado. Mas admito: fiquei meio chateado pela minha ignorância. *AB* bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of **Vidal *Sent:* Sunday, April 05, 2009 2:36 AM *To:* OBM *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números Caro Bouskela, Mas 2^sqrt(2) parece e é bem irracional ! Aleksander Gelfond provou em 1934 que se *a* é algébrico não nulo diferente de um e *b* é algébrico e irracional, então *a^b* é transcendente (e portanto, irracional). Apesar de Schneider também ter demonstrado a mesma proposição de forma independente no mesmo ano, o resultado ficou conhecido como Teorema de Gelfond (em mais uma destas injustiças históricas que grassam na Matemática). Assim, 2^sqrt(2) é irracional, assim como também o é e^pi, já que e^pi = (-1)^(-i). Desta forma, eles resolveram *parcialmente* o sétimo dos vinte e três famosos problemas de Hilbert, propostos em 1900. Mas ainda falta resolver o caso de *b* ser irracional, mas não algébrico. Não sabemos até hoje, por exemplo, se 2^e é irracional (apesar de parecer sê-lo). Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com Olá! Hummm... acho que não... 2^sqrt(2) tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional. Entretanto, é preciso demonstrá-lo. A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los. Sds., *AB* bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of **Vidal *Sent:* Saturday, April 04, 2009 3:27 PM *To:* OBM *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números Caro Bouskela, x = 2^sqrt(2) y = sqrt(2) x^y = 4 Bom final de semana ! Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com
