[obm-l] Vetores
1-Determinar o Vetor V, ortogonal ao vetor U = (2,-3,-12), e colinear ao vetor W=(-6,4,-2) 2-Os lados de um triângulo retângulos ABC reto em A medem 5, 12 e 13. Cacular AB.AC+BA.BC+CA.CB.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência de Triângulos
estou na oitava série, nesse periodo eu tentei umas 4, 5 vezes fazer!!
[obm-l] Teorema de Tales
Olá pessoal. Queria saber se alguem poderia me ajudar com uma demonstração do teorema de Tales. Tenho o livro fundamentos de matemática elementarmas não conseguir entender a demonstração dele.achei ela muito complicada. agradeço a ajuda.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência de Triângulos
não consegui demostrar
[obm-l] Congruência de Triângulos
Como eu posso fazer para provar os casos ALA e LLL de congruência de triângulos ??
Re: [obm-l] número irracional
Pessoal, muito cuidado com afirmacoes que nao vem acompanhada de prova ou referencia. Assim como o comentario sobre a soma de dois transcendentes ser tambem transcendente, a afirmacao feita na mensagem do Andre eh falsa. Por exemplo, considere a = 2, b = log3/log2. Por um lado, a eh claramente natural, e b eh irracional (de fato, se b=p/q, p,q inteiros positivos, temos 2^p = 3^q que eh uma contradicao pois nenhuma potencia de 3 eh par). Por outro lado, a^b = 3 nao eh um numero irracional! Abracos, Marcio Cohen On 8/11/07, André Smaira [EMAIL PROTECTED] wrote: vc já sabe q 3^(1/2)=sqrt(3) eh irracional e um numero natural elevado a um irracional é irracional Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba maishttp://br.rd.yahoo.com/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/.
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!
Douglas, Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!! Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é: Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx: (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 + 1/c^2 + 6) = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6); 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1). Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 - 6), ou seja, (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC Abraços, Marcio Cohen On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em zerar a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é o quadrado do produto dos senos dos angulos, ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado. E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma expressão simples para a resposta.Resta aguardar que quem propôs o problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em nossa lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem é bastante interessante). Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, no mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio. Abraços, Nehab At 01:09 29/7/2007, you wrote: Ola' Douglas e colegas da lista, nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Convergência/divergência de uma serie
Oi Arthur, Na verdade, (1+1/n^(4/3))^(n^(4/3)) - e nao eh o mesmo que (1+1/n^(4/3))^n - e^(3/4) pq o expoente 4/3 esta soh no n e nao no (1+1/n^(4/3))^n.. Acho inclusive que essa série diverge, pois como 2^x 1+x*ln2 para x0, temos Soma ( 2^(1/n) - 1) ln2*Soma (1/n) ... Abraços, Marcio On 4/19/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu encontrei uma solucao um tanto artesanal. Partimos de lim (1 + 1/n)^n = e. Assim, temos tambem que lim (1 + 1/n^(4/3))^(n^(4/3)) = e, o que eh o mesmo que dizer que . lim (1 + 1/n^(4/3))^n = e^(3/4). Temos que e^(3/4) (2,5)^(3/4) = (1 + 1,5)^(3/4) 1 + 1,5 * 3/4 = 2,125 2 . Assim, para n suficientemente grande temos que (1 + 1/n^(4/3))^n 2 Tomando a raiz enésima, vem 1 + 1/n^(4/3) 2^(1/n) e, portanto, 1/n^(4/3) 2^(1/n) - 1. Para n suficientemente grande, temos portanto que 0 2^(1/n) - 1 1/n^(4/3) Como 4/3 1, a serie Soma 1/n^(4/3) converge. Por comparacao, concluimos entao que Soma ( 2^(1/n) - 1) converge, Abracos Artur . -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: quinta-feira, 19 de abril de 2007 12:50 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma serie A série começa com 2 e os termos vão diminuindo até zero, assim dá para suspeitar que converge porque o termo geral tende a zero. Mas o termo geral tender a zero, não é uma condição suficiente para convergência. Precisamos de um critério, como o da comparação. Eu tentaria, de imediato, algo do tipo: Pegaria uma série que eu sei que converge tal como a_n = 1/(2^n-1), cuja conclusão se tira pela comparação com a série geométrica, e b_n = 2^(1/n) - 1 e calcularia o limite a_n/b_n quando n - infinito. Foi isso que você fez? Ronaldo. Artur Costa Steiner wrote: Achei a analise da convergencia/divergencia desta serie interessante:Soma (n =1, oo) (2^(1/n) - 1)Conclui que converge.AbracosArtur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] séries numéricas
Oi Cláudio, Bem vindo a lista. Uma sugestão é verificar que para qualquer função positiva decrescente f, (e em particular para as duas funções que vc considerou), Somatório_n=2..oo_f(n) converge se e somente se Integral_x=2..oo_f(x) converge (veja isso pela definição de integral ou pela comparação das áreas dos gra'ficos). No 1o caso, f(x) = 1/x/logx e a integral indefinida vale log(logx), que pode ficar tão grande quanto se queira. Para a funcao f(x)=1/x/log^r(x) com r1, a integral indefinida vale -1/((logx)^(r-1))/(r-1), que tende ao valor finito +1/(r-1)/log2 quando x tende a infinito. Fica como exercício analisar a convergência da série cujo termo geral é 1/(logn)^(logn). Abraços, Marcio Cohen On 4/7/07, Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] integral
Aqui vai uma outra solução bem interessante para a integral I = int(0--+00) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx. Ela se baseia na observação de que arctan(pi.x) - arctan(x) eh a integral de 1/(t^2+1) de x até pi.x (*). Logo, a integral pedida pode ser calculada como um integral dupla: I = Integral Dupla_x=0..oo_t=x..pix_(dtdx/(t^2+1)/x) Trocando a ordem de integracao, I = Integral Dupla_t=0..oo_x=t/pi..t_(dxdt/(t^2+1)/x) E agora é fácil, pois Integral_x=t/pi..t_(dx/x) = lnt-ln(t/pi) = ln(pi) eh constante, implicando I = ln(pi)*Integral_t=0..oo_(dt/(t^2+1)) = ln(pi)*pi/2 pela observacao *. Abracos, Marcio Cohen On 4/5/07, Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] wrote: Buenas, Vamos começar pela fórmula da integral por partes: int(a..b)(u dv) = uv(b)-uv(a) -int(a..b)(v du) No caso, temos: u = arctan(pi.x) - arctan(x) v = ln(x) int(0..+oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx = lim(x-oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) - lim(x-0)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) - int(0..oo)( (Pi/(1+Pi^2*x^2)-1/(1+x^2) )*ln(x)) dx O segundo limite é zero (basta olhar a expansão de taylor para arctan(x)). O primeiro limite também é zero. Uma forma de ver pode ser: (arctan(pi.x) - arctan(x))*ln(x) = (arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) lim(x-oo) ((arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) = LHospital = lim(x-oo) (( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x)^2*x ) = 0 Então ficamos com: int(0..+oo)( ( arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx = int(0..oo)( -f(x) ) dx, Onde: f(x) = ( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x) Agora vamos considerar a integral tomada entre -oo e +oo, e lembrar que, para x E R0, ln(-x)=ln(x)+i*Pi. Assim: int(-oo..+oo)(f(x)) dx = 2*int(0..oo) f(x) dx + i*Pi*int(0..oo) Pi/(1+Pi^2*x^2) -1/(1+x^2)) dx Bem, int(-oo..+oo) f(x) dx pode ser calculada por resíduos. Depois, vc toma a parte real para calcular int(0..oo) f(x) dx = f(x) tem dois pólos no semiplano complexo z=x+i*y com y0, que são: z=i e z=i/Pi. Res(z=i) = lim( x-i ) ( f(x)*(x-i) ) = -Pi/4 Res(z=i/Pi) = lim( x-i/Pi )( f(x)*(x-i/Pi) ) = Pi/4 +i/2*ln(Pi) int(-oo..+oo) f(x) dx =2*Pi*i*( -Pi/4+Pi/4+i/2* ln(Pi)) int(-oo..+oo) f(x) dx = -Pi*ln(Pi) A integral pedida é então: int(0..+oo) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx = int(0..oo) -f(x) dx = 1/2 * Pi * ln(Pi) []´s Demetrio --- BRENER [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola, gostaria de uma ajudinha na integral int(0--+00) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx
Re: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001
Oi Marcelo, A ideia eh que se x é autovalor de A, entao x^k eh autovalor de A^k, pois Au = xu = (A^k)u=(x^k)u. Como A^k = 0 e autovetores sao nao nulos, isso significa que x^k=0, ou seja, x=0. On 2/22/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Marcio, se A é nilpotente, entao existe k, tal que: A^k = 0 A^k - sI = -sI det(A^k - sI) = (-s)^n, onde n é a dimensao de A assim, o unico autovalor de A^k é 0, pois é o unico que zera (-s)^n... nao consegui provar que A tem os autovalores nulos =/ dps tento novamente abracos Salhab - Original Message - From: Marcio Cohen [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, February 19, 2007 5:18 PM Subject: Re: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001 Se det(B) nao for 0, entao B admite inversa B^-1, e portanto podemos escrever A=AB^-1+I. Logo, det(A-I) = det(AB^-1) = det(A)*... = 0 = 1 é autovalor de A (contradição!). A gente chama uma matriz de nilpotente quando existe um inteiro k tal que A^k = 0. Verifique que A é nilpotente sse seus autovalores são todos nulos. Abraços, Marcio Cohen On 2/19/07, Jhonata Ramos [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, tava olhando essa questão: Let be given two matrices A, B from M_n(R) such that A^2001 = 0 and AB = A+B. Show that det(B) = 0. Source VUMC 2001 Vi uma solução que o cara fala o seguinte: A^2001=0 = A is nipoltent detA=0 lemma: If X,Y commute, Y nilpotent then det(X+Y)=detX Gostaria de saber o que significa, nipoltent (não a tradução :) e se o lemma dele ali é verdadeiro, Forte abraço, Jhonata Emerick Ramos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] simetria / putnam 87
Oi Jhonata, Nesse caso, a motivação foi buscar limites de integração simétricos (de -a até a), pois isso lhe permitirá ver mais facilmente idéias como trocar u por -u ou integral de função ímpar de -a até a vale zero. Como os limites vão de x = 2 até x = 4, i.e, de x = 3-1 até x=3+1, é razoável você fazer a substituição de variáveis u = x - 3. Outro exemplo resolvido: I = Integral_de 0 a pi/2_ dx/(1+(tanx)^r). Como a integral vai de x=0 a x=pi/2, eu vou fazer a troca u = x-pi/4, de forma que u vai de -pi/4 até pi/4. Como tanx = tan(u+pi/4) = (1+tanu)/(1-tanu), temos I = Integral_de -pi/4 a pi/4_ (1-tanu)^r du/ ( (1-tanu)^r + (1+tanu)^r ) Trocando u por -u, como tan é uma função ímpar: I = Integral_de -pi/4 a pi/4_ (1+tanu)^r du/ ( (1+tanu)^r + (1-tanu)^r ). Somando as duas, obtemos 2I = Integral_de -pi/4 a pi/4_ du = pi/2, logo I=pi/4. Você pode ler mais a respeito no livro Problem-Solving Through Problems, de Loren Larson por exemplo... Abraços, Marcio Cohen On 2/19/07, Jhonata Ramos [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom dia amigos da lista, estava resolvendo(ou pelo menos tentando :) algumas questões e me deparei com essa: http://www.majorando.com/arquivos/calculoimc.pdf a primeira questão da lista, putnam 87, ficou um pouco obscuro para mim como essa simetria foi utilizada e ainda como sacar em questões do tipo, que se pode usar simetria. P.s - onde posso encontrar alguma coisa para ler a respeito, forte abraço a todos, Jhonata Emerick Ramos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001
Se det(B) nao for 0, entao B admite inversa B^-1, e portanto podemos escrever A=AB^-1+I. Logo, det(A-I) = det(AB^-1) = det(A)*... = 0 = 1 é autovalor de A (contradição!). A gente chama uma matriz de nilpotente quando existe um inteiro k tal que A^k = 0. Verifique que A é nilpotente sse seus autovalores são todos nulos. Abraços, Marcio Cohen On 2/19/07, Jhonata Ramos [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, tava olhando essa questão: Let be given two matrices A, B from M_n(R) such that A^2001 = 0 and AB = A+B. Show that det(B) = 0. Source VUMC 2001 Vi uma solução que o cara fala o seguinte: A^2001=0 = A is nipoltent detA=0 lemma: If X,Y commute, Y nilpotent then det(X+Y)=detX Gostaria de saber o que significa, nipoltent (não a tradução :) e se o lemma dele ali é verdadeiro, Forte abraço, Jhonata Emerick Ramos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
Conforme prometido, eu e o Villard colocamos em www.majorando.com as soluções da OBM 2006. Por enquanto colocamos apenas as soluções do nível 3. Para o nível U, está faltando resolver a 6. Mesmo conversando com diversos alunos que fizeram a prova ainda não conseguimos resolver essa questão. Se alguém puder enviar a solução, ela será incluída no site no próximo fim de semana com os devidos créditos (durante a semana é difícil de arranjarmos tempo). Abraços, Marcio Cohen
Re: [obm-l] Força de grupo!!
Prezado Rodolfo, Já existe um material bastante extenso de preparação para olimpíada universitária em www.majorando.com Em breve, colocaremos também nesse site as soluções da OBM que ocorreu no sábado passado. Abraços, Marcio CohenOn 10/31/06, Rodolfo Braz [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal vamos nos mobilizar pra desenvolver material e lista de treinamento para o pessoal q se prepara para OBM Universitária. Temos muitas pessoas q se interessam e podem ajudar!! Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Resultado da OBM-2006
Prezado Llerer, como um dos responsáveis pela OMERJ, informo que o resultado sairá em novembro. Atenciosamente, Marcio CohenOn 10/31/06, Llerer [EMAIL PROTECTED] wrote: Nelly, e sobre a OMERJ, você sabe alguma coisa ? - Mensagem Original - De: Olimpiada Brasileira de Matematica Para: Lista de discussao Data: TerçA, 31 De Outubro De 2006 04:13 Assunto: [obm-l] Resultado da OBM-2006 Caros(as) amigos(as) da lista,O resultado da OBM-2006 somente será publicado durante o mês de dezembro.(provavelmente somente na segunda quinzena do mês). Por favor aguardem pois estamos em fase de correção.Abraços, Nelly=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] (ITA - 90) SISTEMAS LINEARES - questão 17
Renan, O fato de se ter D = Dm = 0 para todo m não garante que um sistema indeterminado, como mostra o exemplo: x+y+z = 1 x+y+z = 1 x+y+z = 2 no qual se tem D=D1=D2=D3=0 mas o sistema é impossível. Ao provar que D=Dm=0 para todo m você pode concluir que o sistema é indeterminado ou impossível. No caso dessa questão, como (0,0,...,0) é solução, o sistema é indeterminado. Abraço, Marcio Cohen On 10/28/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote: Como é um sistema normal, podemos usar a regra de CramerSendo m um número natural qualquer em [1 , n]x_m = Dm/DOnde Dm denota o determinante da matriz incompleta com os coeficientes de m trocados pelo termo independente. (e bem... D o determinante da matriz incompleta) Bom... já mostraram várias vezes que D = 0, daí x_m = Dm/0Porém Dm também é zero! (Como os coeficientes estão em PA vale usar a soma dos extremos, p. exemplo, pra mostrar que Dm é zero)x_m = 0/0 (indeterminação) para qualquer m no intervalo [1,n] Em 28/10/06, vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Considere o sistema linear homogêneo nas incógnitas x_1, x_2, ..., x_n dado por: a_1 .x_1 + (a_1 + 1)x_2 + (a_1 + n - 1)x_n = 0a_2 .x_1 + (a_2 + 1)x_2 + (a_2 + n - 1)x_n = 0...a_n . x_1 + (a_n + 1)x_2 + (a_n + n - 1)x_n = 0 onde a_1, a_2, ..., a_n são número reais dados. Sobre a solução deste sistema podemos afirmar que: FAz o determinante e veja q ele dara zero(eh mt facil ver isso) daih, ele sera ou impossivel ou indeterminado.mas (0,0,...,) eh uma solucao.logo ele naum eh impossivel e entao eh indeterminado. O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Transformacao linear
Marcelo, A resposta é: Depende ddo que foi pedido. Como transformações lineares não preservam ângulos, é improvável que você consiga resolver esse problema através de uma transformação dessas. Abraços, Marcio CohenOn 10/28/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, fiz hj a 2a. fase da OBMU, e fiquei em duvida quanto a um passo na minha resolucao da questao da elipse... se eu tenho uma elipse, aplico uma transformacao linear, e obtenho uma circunferencia... entao, eu provo o q foi pedido para a circunferencia... essa prova tambem vale para a elipse? a questao pedia pra provar que, se uma mesa de sinuca fosse montada no formado da elipse, e se uma bola colidisse com a borda da mesa, ela sairia na posicao simetria em relacao à normal da elipse, entao uma bola saindo de A, passando por B e C, e entao retornando a A, passaria novamente por B. obs: a transformacao linear é bijetora.. abraços, Salhab
Re: [obm-l] Sequência
Esse problema já caiu numa olimpíada do leste europeu.. A tabela abaixo mostra que a sequência não pode ter mais que 16 termos (pois somando por linhas a tabela abaixo temos uma soma positiva, e somando por colunas temos uma soma negativa!). a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a4 a5 ... a5 a6 ... a6 ... a7 a8 a9 ... a17 Não é fácil construir uma sequência com 16 termos, mas um exemplo é: 5 5 -13 5 5 -13 5 5 -13 5 5 -13 5 5 -13 5 Abraços, Marcio Cohen On 9/15/06, Iuri [EMAIL PROTECTED] wrote: Numa sequencia finita, temos a soma de 7 termos consecutivos sendo sempre negativa, e a soma de 11 termos consecutivos sendo sempre positiva. Qual é o numero máximo de termos dessa sequencia? Iuri = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] IMO 2006 Eslovênia
Prezados participantes da lista, A IMO 2006 já está disponível, inclusive com as soluções oficiais. Eu as coloquei em www.majorando.com , mas também é possível encontrá-las no site oficial dessa IMO. Esse site foi criado por mim e pelo Rodrigo Villard (ele já foi um participante ativo dessa lista). Nele você encontrará detalhes de um livro que acabamos de escrever e será lançado em agosto com tópicos teóricos e soluções das provas de matemática do IME dos últimos 15 anos. Encontrará também diversos artigos escritos por nós relacionados a olimpíadas de matemática, incluindo artigos de preparação para o vestibular do IME, olimpíadas de ensino médio (níveis intermediário e avançado) e olimpíadas universitárias (nível avançado). Abraços, Marcio Cohen = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] LIMITES
É verdade, obrigado pela correção! Marcio - Original Message - From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 22, 2006 1:12 AM Subject: Re: [obm-l] LIMITES Marcio Cohen wrote: Oi Marcelo. Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e concluir que S não só converge, mas tem forma fechada simples. Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas vezes (ou por indução), S(n) = 2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2. Na verdade S(3)=3*5*9/(2*4*8)=135/64=2.109375 2, e como S(n)S(n+1) com certeza ela converge pra algo maior que 2. O erro no seu raciocínio é que você gera termos da forma (1+1/2^2^n), e não (1+1/2^n) como você gostaria. Numericamente, esse limite converge para aproximadamente 2.384231. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] LIMITES
Para ser mais preciso (e chato), -1/|x| = sen(a)/x = 1/|x| - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 9:10 PM Subject: Re: [obm-l] LIMITES Olá, pq -1 = sen(a) = 1.. para qualquer a... dividindo por x, temos: -1/x = sen(a)/x = 1/x abracos, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 6:43 PM Subject: Re: [obm-l] LIMITES Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá 2) -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x qdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 quando x- 0. abraços, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 AM Subject: [obm-l] LIMITES 1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n). 2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x Grato. Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] LIMITES
Oi Marcelo. Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e concluir que S não só converge, mas temforma fechada simples. Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas vezes (ou por indução),S(n) =2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2. - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 22, 2006 12:32 AM Subject: Re: [obm-l] LIMITES Olá, consegui algumas coisas na 1.. mas ainda nao cheguei a uma resposta.. 1) Seja S = (1 + 1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^3)...(1+1/2^n), temos que: lnS = ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ln(1+1/2^3) + ... + ln(1+1/2^n) é fácil mostrar que o somátorio a direita, quando n-inf, converge. Pois aplicando o teste da raiz obtemos 1/2 1. sabemos que ln(1+x) = x .. x=0 assim: ln(1+1/2^k) = 1/2^k logo, Sum(k=1..n, ln(1+1/2^k)) 1/2 * (1 - 1/2^n)/1/2= 1 - 1/2^n qdo n-inf, temos: Sum(k=1..inf, ln(1+1/2^k))= 1 assim, lnS = 1, qdo n-inf logo: S = e, qdo n-inf bom, talvez conseguindo mostrar que S = e... ou entao utilizando outra ideia pra concluir a questao. abraços, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 6:45 PM Subject: Re: [obm-l] LIMITES Ola Carlos, A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes: a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá ,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como sendo uma função infitesima multiplicada por um limitada ; ou seja a resposta é zero .Tem certeza que a questão (1) esta correta ?[]´s Carlos VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote: 1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] Problema de geometria plana
[EMAIL PROTECTED] escreveu: Srs, O problema abaixo é o de número 55 do livro matematica para o vestibular da UFMG (geometria plana) do Prof Christiano Sena. (sem acentos) Num triangulo ABC, AB =8 cm e AC = 10cm. Pelo incentro do triangulo, traca-se uma reta paralela a BC, que intercepta AB em M e AC em N. O perimetro do triangulo AMN eh: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20. alguem sabe sua solução? o gabarito diz que é 20. at sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Boa noite, Sarmento. Seja I o incentro do triângulo. Sabe-se que med(MBI)=med(IBC) e que med(NCI)=med(ICB). Por outro lado, sendo MN paralelo a BC, tem-se que med(MIB)=med(IBC)=med(MBI) e med(NIC)=med(ICB)=med(NCI). Daí: MB = MI e NC = NI. O perímetro de AMN é: AM + MN + NA = AM + MI + IN + NA = AM + MB + NC + NA = AB + AC = 18. Se algo estiver errado, leve em conta o horário. Abraços, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio
Klaus Ferraz escreveu: Mostre que se a,b,c sao inteiros impares, a equacao ax^2+bx+c nao tem raiz racional. Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/mobile_alerts/*http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.3.5/301 - Release Date: 4/4/2006 Leia o artigo de Eduardo Wagner, Paridade, que pode ser encontrado em http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria espacial
Ponciano, sua solução está completa e elegante. - Original Message - From: Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 4:54 PM Subject: Re: [obm-l] Geometria espacial Tudo bem... Mas precisa justificar ... Será que esse arranjo de pontos maximiza o número de pontos que podem ser colocados dentro do cubo? H não tenho tanta certeza... - Original Message - From: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:59 PM Subject: RE: [obm-l] Geometria espacial Estava pensando numa forma mais simples... Dividir o cubo unitário em 125 cubinhos de lado 1/5 Por casa dos pombos, ao menos um desses cubinhos possui 4 pontos em seu interior. E como uma esfera de raio 1/5 contém um cubo de raio 1/5 -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of Ronaldo Luiz Alonso Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:22 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Geometria espacial Esse problema foi resolvido em uma revista do professor de matemática. Vou apenas esboçar como faz ... Parece que não mas esse é um problema de química. Troque cubo unitário por célula unitária e pontos por átomos Quem não sober o que é cela unitária digite célula unitária no Google. Eu acredito que a melhor situação seria aquela em que os pontos estão em em um reticulado (lattice em inglês) uniformemente espaçado. Neste caso temos que colocar o maior número de pontos possíveis dentro deste reticulado. O reticulado então tem que ser um reticulado de Bravais. Existem 7 reticulados de Bravais que preenchem o espaço. http://pt.wikipedia.org/wiki/Rede_de_Bravais Para todos esses 7 reticulados, no caso do problema existem pelo menos 4 pontos dentre os 400 que fazem pate dos vértices que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Quem não concordar com isso, diga agora ou cale-se para sempre :) - Original Message - From: Dymitri Cardoso Leão [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:25 PM Subject: [obm-l] Geometria espacial * Colocamos 400 pontos, distintos dois a dois, no interior de um cubo unitário. Prove que, entre os 400 pontos, existem pelo menos 4 que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Não tenho a menor noçao de como fazer isto, alguém poderia por favor resolver? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios de Taylor
f(x) = -1/(1-x) = -(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...). Logo, o polinômio de taylor de ordem 2 em torno de x=0 é (-x^2-x-1). Ficou faltando um sinal de menos no seu coeficiente líder. Abraços, Marcio - Original Message - From: Tiago Machado To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, March 19, 2006 7:45 PM Subject: [obm-l] polinômios de Taylor Alguem pode me confirmar se o polinômio de Taylor (de ordem 2) para a função f(x) = 1/(x - 1) no ponto x = 0 é x² - x - 1?Obrigado.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência
Como 23 eh primo, 10^22 = 1 (mod 23), e como10^2 = 8 e 10^11 = 10*(10^2)^5= 10*8^5 = 10*16 != 1 (mod 23),22 eh o menor numero com essa propriedade. Logo, 10^a = 10^b (mod 23) se e somente se a = b (mod 22). Como 10^2 = 8 (mod 23), a resposta é que os valores de k para os quais temos 10^k = 8 (mod 23) são exatamente os inteiros positivos que deixam resto 2 na divisão por 22 (2, 24, 46, ...) Abraços, Marcio - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 7:06 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fw: congruência Olá, vc quer saber para quais valores de k temos: 10^k = 8 (mod 23), certo? bom, temos que: 100 = 8 (mod 23) 10^(2n) = 8^n (mod 23) isso é, para k par temos que a unica solucao é k=2 (n=1). ainda nao consegui extender essa solucao para k impar.. estou tentando! PS: sei mto pouco sobre congruencia, talvez minha solucao esteja errada abraços, Salhab - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 04, 2006 12:16 AM Subject: [obm-l] Fw: congruência - Original Message - From: Leo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 03, 2006 8:11 PM Subject: congruência Como resolver a seguinte congruência 10^k cong 8 (mod 23) ... pra k=2 eh verdadeira mas como achar o caso geral???
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Fatoração
Salhab [ k4ss ] escreveu: (a+b+c)^4 = 1 *fatorando*.. temos: a^4 + b^4 + c^4 + 4 [(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc] = 1 a^4 + b^4 + c^4 + 4 * 1/4 = 1 a^4 + b^4 + c^4 = 0 Sem querer ser chato, gostaria de fazer uma pequeníssima correção nas palavras: no caso, o correto é *expandindo*, e não fatorando. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] altura_triangulo
elton francisco ferreira escreveu: ola pessoal da lista! como resolver a questao que se segue? Determine a altura nao relativa a base de um triangulo isosceles de lados 10m, 10m e 12 m. ___ Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. http://br.yahoo.com/homepageset.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = 1) Encontre a altura relativa à base; 2) Calcule a área do triângulo; 3) Sendo *h* a altura procurada e sendo a base (agora) igual a 10m, use a informação de 2) para calcular *h*. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inducao
A 2a é maior que a 1a ué... - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, December 17, 2005 10:16 AM Subject: [obm-l] inducao Mostre usando inducao que para todo natural n:1/n+1 + 1/n+2 + ...+1/2n = 1/2 Mostre que para todo natural n: 1/n + 1/n+1 + 1/n+2 + ...+1/2n = 1/2 a primeira dá por inducao só q nao consegui. a segunda não dá. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Procuro um livro
Olá José pode me informar onde você encontro esse exemplar ruim, se você não for querer presentear a pessoa com ele!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda Vestibular ITA
Olá pessoal To precisando da ajuda de vcs. Vou prestar vestibular para o ITA no próximo ano, e estou precisando de materiais legais mesmo para estudar. Se vcs conhecem algum site/livros/métodos de estudo bom mesmo com esses materiais respondam-me por favor. Não precisa ser apenas de Matématica pode ser Física, Química, Português, Inglês. Qualquer ajuda será válida. Valeu Galera. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Noções de Matemática
Se você puder me passar o endereço eu agradeço Felipe!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Noções de Matemática
alguem aqui da comunidade sabe onde eu posso encontrar para compra a coleção Noções de Matemática (Aref / Nilton Lapa) para compra. E também a indicação de sebos bons para compra de livrvos de exatas!!! Abraços = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Proposição
Alguem pode me ajudar a entender o conceito de proposição!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Inteiros
Se p natural maior que 1 não é divisivel nem por 2 nem por 3, então p^2-1 é divisilvel por: a)18 b)24 c)36 d)9 e)27 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra inteiros
Seja m um número ímpar, prove que m^2 -1 é divisil por 8. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria
Pondo(senx)^2 =1/2+t, (cosx)^2=1/2-t, -1/2=t=1/2 y = (1/2+t)^3 + (1/2-t)^3 = 1/4 + 3t^2 tem mínimo em t=0 (y=1/4) e máximo em t=+-1/2 (y=1) Observe que y=1/4 para x=pi/4, 3pi/4, 5pi/4, ... logo o período é maior ou igual a pi/2. Por outro lado, trocar x por x+pi/2 não muda o valor de y, logo o período é exatamente pi/2. - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 16, 2005 9:46 PM Subject: [obm-l] trigonometria Achar os valores maximo e minimo e o periodo da função y=(sen(x))^6 + (cos(x))^6 fiz de uma maneira mt trabalhosa que se ninguem tiver feito igualmente eu coloco aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] questões!!
questões para praticar, pegar velocidade na resoluções. pode ter questões de todos os níveis (fácil, media e dificil).
Re: [obm-l] Re:[obm-l] questões!!
Obrigado pelas questões Paulo. Alguem pode me ajudar com livros também. Abraços Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomio
P(x) = x eh a unica solução (demo: P(x)-x se anula em todos os pontos da seq. crescente definida por a1=1, a(n+1)=a(n)^2+1, n =1 e portanto é identicamente nulo) - Original Message - From: Danilo Nascimento To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, November 14, 2005 8:29 PM Subject: [obm-l] polinomio Determine todos os polinomios P(x) tais que P(x^2+1) = (P(x))^2+1 para todo x real. alguem se habilita? Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
[obm-l] questões!!
alguem sabe onde eu posso encontrar questões boas, ótimas de 5º a 8º série ?? e também livros ?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Proposição ??
alguem pode me da uma ajuda com o conceito de proposição ?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas de Sistema de Númeração
1) Um número tem três alagarimos, sendo que o número formado pelos dois algarismo a direita é o quadrado dos algarismo das centenas. A diferença entre o algarismo das centens e os das dezenas é o algarismos das unidades. Qual é esse número ? 2) Um número par tem dois algarismo, cuja a soma é 15 e cuja a diferença em módulo é 3. Qual o número ?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Tautologia
Olá galera tô com uma dúvida bem básica: O que é uma Tautologia e para que ele serve, sua aplicação Abraços. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] lidski
Oieee galera queria pergintar se alguem aqui da lista tem o lidski, e em que línguas ele foi publicado aqui no brasil ?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equacao
Duas soluções para essa questão, bem como as
soluções de todas as questões da prova de matemática do IME desse ano podem ser
encontradas por exemplo no site do Ponto de Ensino (onde eu
trabalho):
www.pensi.com.br
Uma solução possível é: Como k eh primo, xy
multiplo de k = x ou y multiplo de k.
Se x=ak, a inteiro, temos substituindo na
equacao que y=ak/(a-1). Como y eh inteiro e mdc(a,a-1)=1, deve-se ter a-1
dividindo k. Sendo k primo, isso dá a-1 em {-k,-1,k,1} que dá a em {1-k, 0, 1+k,
2} e substituindo em x=ak e y=ak/(a-1) vc acha 4 soluções. Trocando x com y
(i.e, fazendo y=ak) vc acha mais duas.
É interessante notar que essa questão
já tinha aparecido antes na olimpíada de matemática do Estado do Rio de Janeiro
de 1998 (por acaso foi uma prova que eu fiz como aluno, por isso lembrei
:)).
Abraços,
Marcio
- Original Message -
From:
Danilo Nascimento
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, October 26, 2005 9:28
AM
Subject: [obm-l] equacao
Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros
positivose k um numero primo
Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada vocêacumula cupons e
concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
Re: Re:[obm-l] equacao
Mesmo assim, ainda temos as soluções: (k^2+k, k+1) e (k-k^2, k-1) e suas simétricas. - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Wednesday, October 26, 2005 1:14 PM Subject: Re:[obm-l] equacao Eu supuz que k é um primo fixo dado. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 26 Oct 2005 12:20:17 -0200 (BRST) Assunto: Re:[obm-l] equacao Na verdare, por tentativa (e muitos erros) e' possivel tambem outras solucoes: zk - zw = -wk = z = -wk/(k-w) Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1) Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1) Abraco, sergio On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote: Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1. A equação fica (z + w)k = dzw. k não pode dividir z pois z = km == (km + w)k = dkmw == km + w = dmw == w = m(dw - k) == m divide w == contradição, pois z (e portanto m) é primo com w Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w. Logo, k divide d == d = kn == (z + w)k = knzw == z + w = nzw == 1/w + 1/z = n = inteiro positivo Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w = 2. Se z = w = 1, então x = y = d == 2dk = d^2 == d = 2k == uma solução é (2k,2k). Se z 1 ou w 1, então 1/z + 1/w = n = 1 == z = w = 2 e d = k == de novo obtemos a solução (2k,2k). Logo, a única solução é (2k,2k). De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT) Assunto:[obm-l] equacao Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] lidski alguem ??
Oieee galera queria pergintar se alguem aqui da lista tem o lidski e em que línguas ele foi publicado aqui no brasil ?? Abraços Márcio!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ensino de matematica
Gostaria de fazer uma pergunta ao pessoal da lista que lida com ensino, principalmente (mas não exclusivamente) a nivel fundamental e médio: por que o Brasil tem um desempenho tão bom nas competições internacionais de matemática mas, ao mesmo tempo, é tão mal avaliado no, vamos dizer, ensino normal? Pergunto isso porque há países que têm qualidade tanto na matemática olímpica quanto na matemática escolar. Qual a sua opinião, professor Nicolau? Desculpem se o assunto foge ao tema principal. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Aritmética Progressiva
Ilídio Leite escreveu: olá... alguém conhece o livro Aritmética Progressiva, de Antônio Trajano? achei um exemplar num sebo mas estava encapado, não pude folheá-lo. abraços a todos, Ilídio Leite Caro Ilídio, Eu tinha um exemplar deste livro. Fiquei muito empolgado quando comprei porque o Elon (que ele me desculpe a intimidade) fala sempre muito bem deste livro. Bem, entrei em contato com o próprio Elon falando sobre o livro e coisa e tal e aí veio o balde de água fria: minha edição não era a que ele usara, ou seja, o exemplar que estava comigo já havia sofrido alterações e reduções. Havia comprado gato por lebre. Se você conseguir uma permissão para dar uma olhada no interior do livro, procure se consta a definição de proporcionalidade. Se constar, compre o livro (e depois vou tentar uma cópia contigo!), caso contrário, não creio que o investimento valha a pena, mas aí é contigo. Abraços, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fw: Probabilidade
Sim. A questão é da olimpíada estadual de matemática de 2005, mas o enunciado não é exatamente assim (embora o sentido seja esse). - Original Message - From: fgb1 To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, October 05, 2005 9:45 PM Subject: [obm-l] Fw: Probabilidade - Original Message - From: fgb1 To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, February 19, 2005 11:59 PM Subject: Probabilidade Uma roleta circular foi dividia em 6 setores de mesma área. Em 3 desses setores estava escrito: ganha o carro. Em 2 desses setores estava escrito: Perde o carro e no outro : jogue novamente. Qual é a probabilidade de um jogador ganhar o carro? O aluno me disse que era de uma olimpíada recente. Alguém, por acaso,reconhece a Olímpíada?
Re: [obm-l] Ajuda - Proporção
admath escreveu: Olá Já li diversas teorias sobre proporcionalidade só que não consigo entender estes dois problemas de maneira alguma. Alguém pode me explicar de uma maneira bem didática? 1) Dividindo 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é quanto? 2) A proporção entre as medalhas de ouro, prata e bronze de um atleta é 3 : 4 : 7, respectivamente. Quantas medalhas de ouro, prata e bronze espera-se que esse atleta obtenha em 70 jogos, se essa proporção se mantiver e ele conquistar medalhas em todos os jogos? -Posso falar que o método da regra de 3 é o mesmo processo quando lidamos com grandezas proporcionais? obrigado. 1) Complementando a solução do Jefferson: Quando o problema menciona partes proporcionais', está implícito que são partes DIRETAMENTE proporcionais. Quando ele diz que vai dividir 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, isso significa que há um valor constante (chamado constante de proporcionalidade) e que a primeira parte vale o dobro, a segunda o triplo e a terceira o quíntuplo dessa constante. Esse problema também pode ser resolvido usando um método conhecido como falsa posição. A idéia é a seguinte: Se as partes valessem 2, 3 e 5, a soma valeria 10. Como a soma das partes é 70, que é 7 vezes 10, cada parte deve ser, também, multiplicada por 7. Logo, cada parte vale 14, 21 e 35. 2) Usando a idéia da falsa posição: Para ganhar 3 medalhas de ouro, 4 de prata e 7 de bronze ele deve disputar 3 + 4 + 7 = 14 jogos. Se ele disputar 70 jogos (= 5 x 14) ele ganhará: 5 x 3 = 15 medalhas de ouro. 5 x 4 = 20 medalhas de prata. 5 x 7 = 35 medalhas de bronze. No primeiro problema a constante de proporcionalidade é 10, e no segundo, 5. Espero que, com a solução do Jefferson e esses breves comentários, tudo tenha ficado mais claro para você. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros da MIR
A editora Atual lançou alguns títulos da MIR na série Aprendendo e ensinando. Vejam em http://www.atualeditora.com.br/campanha2002/frame_segmento.htm, clicando em Ensino Superior e, logo depois, em Série russa. []s, Márcio. On Sun, 04 Sep 2005 19:40:30 -0700, Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Mesmo assim vc ajudou muito dando esse endereço. Valeu Marcio [EMAIL PROTECTED] escreveu: De fato, passei o endereço errado. O correto (testei antes de escrever) é realmente www.livifusp.com.br. []s, Márcio. On Sun, 04 Sep 2005 14:06:12 -0700, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote: Cara, o site mudou de nome (tinha uma pagina velha que ainda tinha isso, a unica no Google, e que disse que isso era a Livraria de Fisica da Usp), agora tem um i a mais: http://www.livifusp.com.br/. Espero que seja este mesmo. Abraços, -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros da MIR
No site www.livfusp.com.br você encontra alguns livros da MIR. Já comprei com eles e é tranqüilo. []s, Márcio. On Sat, 03 Sep 2005 23:16:37 -0700, Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Aos amigos da lista que estão interessados em adquirir livros da extinta editora mir, um dos endereços é www.mir.ru outro é www.urss.ru . Certamente , um dos meus melhores livros de cálculo foi o demidovitch , eu o indico a todos que querem uma boa preparação nesse ramo da matemática. Abraços - Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros da MIR
De fato, passei o endereço errado. O correto (testei antes de escrever) é realmente www.livifusp.com.br. []s, Márcio. On Sun, 04 Sep 2005 14:06:12 -0700, Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Cara, o site mudou de nome (tinha uma pagina velha que ainda tinha isso, a unica no Google, e que disse que isso era a Livraria de Fisica da Usp), agora tem um i a mais: http://www.livifusp.com.br/. Espero que seja este mesmo. Abraços, -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais uma questão da prova.
Rejane escreveu: Quem puder me ajudar, eu agradeço. Abraços. Rejane Questão 08) No triângulo *ABC* ao lado, se *M* e *N* são pontos médios e a área do triangulo *DMC* é 1 dm², então a área, em dm², no triangulo *ABD* é: A) 3 B) 2 C) 2,5 D) 1,5 E) 1,9 *M* *D* *N* *B* *C* *A* Rejane, por falta de tempo devo ter escrito excessivamente, mas aí vai. Se a área de *DMC* é igual a 1, a área de DMB também é, pois os dois triângulos considerados têm mesma base e mesma altura. Daí, *Área *de *BDC* = 2. Como D é o baricentro de *ABC*, *BD*/*DN* = 2, e, por conseqüência, *Área* de *BDC* / *Área* de *DCN* = 2, ou seja, *Área* de *DCN* = 1. Isso significa que *Área* de *BCN* = 2 + 1 = 3. A Área de *ABN* = 3, pois N é médio de *AC*. A área de *ABD* = 2/3 da área de *ABN*, ou seja: *Área* de *ABD* = 2. Dê uma conferida, por favor. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] alguém pelo amor de deus consegue achar a soma dessa sequência????
para a linha n, dá combinação(2n,n) - Original Message - From: Danilo Araújo Silva [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, August 27, 2005 2:44 PM Subject: [obm-l] alguém pelo amor de deus consegue achar a soma dessa sequência a sequência é simples... é o trianculo de pascal com seus termos ao quadrado... exemplo... sabemos que... 1 =1 1 1=2 1 2 1 =4 1 3 3 1 =8 1 4 6 4 1 =16 1 5 10 10 5 1 =32 a soma das linhas do triangulo de pascal é de 2^n... mas qual é soma de 1*1 1*11*1 1*1 2*2 1*1 1*1 3*3 3*3 1*1 1*1 4*4 6*6 4*4 1*1 para a n-ésima linha alguém aí poderia me ajudar... (eu não consigo condensar a a fórmula dada pelo 'meu' triangulo evanescente...) muito obrigado pela atenção... se algu´´em achar a fórmula eu ficaria feliz se explicitasse o procedimento usado para achar... Tchau...Abração pros cês... -- Lord Lestat vive...hum... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Consulta sobre livros
Obrigado ao Carlos e ao Dirichilet pelas respostas. []s, Márcio. On Thu, 25 Aug 2005 16:57:36 -0700, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Márcio, se o seu objetivo são problemas para teinamento básico de olimpiadas pode comprar eu os comprei e não me arrependi, são muito bons, excelentesproblemas e muito bem organizados Cgomes - Original Message - From: Marcio [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 25, 2005 11:22 PM Subject: [obm-l] Consulta sobre livros Boa tarde, pessoal. Estive olhando a página www.artofproblemsolving.com e estou querendo comprar os dois volumes do livro The Art of Problem Solving, de Sandor Lehoczky e Richard Rusczyk. Alguém os recomenda? []s, Márcio. -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Consulta sobre livros
Boa tarde, pessoal. Estive olhando a página www.artofproblemsolving.com e estou querendo comprar os dois volumes do livro The Art of Problem Solving, de Sandor Lehoczky e Richard Rusczyk. Alguém os recomenda? []s, Márcio. -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geo plana
Um dos lados não paralelos mede 2r, e o outro, mede 2(r+1). Sejam x e y os dois lados paralelos, com x y. Como o quadrilátero é circunscritível, a soma de lados opostos é constante. Então, x + y = 2r + 2(r+1), ou seja, r = 4 cm. Considere, agora, o triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 2(r+1) e os catetos medem 2r e y - x. Fazendo as contas você chega a y - x = 6. Como x + y = 18, então x = 6 e y = 12. Os lados medem 6 cm, 8 cm, 10 cm e 12 cm, sendo que a = 6 cm. A resposta é C. []s, Márcio. On Tue, 23 Aug 2005 10:07:53 -0700, Renato Bettiol [EMAIL PROTECTED] wrote: (ITA-SP) Num trapezio retangulo circunscritivel, a soma dos dois lados paralelos eh igual a 18cm, e a diferença dos dois outros lados eh igual a 2cm. Se r eh o raio da circunferencia inscrita e a eh o comprimento do menor lado do trapezio, entao a soma a+r (em cm) eh igual a: A)12 B)11 C)10 D)9 E)8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ola podem me ajudar??
Apesar de considerar que aquilo que o Dirichilet escreveu é matemática (embora não tenha contas), vou fazer a parte braçal. Cn,p-1 = (n!)/(p-1)!(n-p+1)! Cn,p = (n!)/p!(n-p)! O mmc dos denominadores é p!(n-p+1)!. Logo Cn,p-1 + Cn,p = [(n!)p + n!(n-p+1)]/p!(n-p+1)! = [n!(p+n-p+1)]/p!(n-p+1)! = [(n+1)!]/p!(n+1-p)! = Cn+1,p Só um comentário pessoal: se eu fosse corrigir uma questão dessas, ficaria muito feliz em encontrar uma solução que se baseasse apenas em argumento combinatório. []s, Márcio. On Tue, 23 Aug 2005 14:02:49 -0700, RAfitcho [EMAIL PROTECTED] wrote: é muito pratica essa resposta.. mas nao posso escrever isso em uma prova discursiva se é que me entende... preciso da parte matemática... mas obrigado po tentar - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, August 23, 2005 1:59 AM Subject: Re: [obm-l] Ola podem me ajudar?? Ha um argumento combinatorio que eu adoro! Temos que provar que o tanto de jeitos de se escolher p bolas de bilhar de um conjunto de n+1 e o tanto de jeitos de se escolher p bolas de bilhar de um conjunto de n, mais o tanto de jeitos de se escolher p-1 bolas de bilhar de um conjunto de n. Bem, podemos fazer assim: *Marcar uma bola. Ai temos udas possibilidades: --Jogar esta bola fora, o que da a segunda parte acima; --Escolher esta bola como uma das p que eu quero, e escolher as outras depois, o que da a segunda frase. E ai, convenceu? --- RAfitcho [EMAIL PROTECTED] escreveu: a) Mostre que Cn,p-1 + Cn,p = Cn+1,p nao to consguindo... obrigado desde já ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ESA - AJUDA
Oi Sharon, Coloque a origem do sistema de coordenadas no local onde se localiza o menino. Desse modo, o topo do muro (e que, pelo problema, pertence à parábola) se localiza no ponto (6, 3). Faça a substituição na lei da função y = ax^2 + (1- 4a)x, e você obterá a = -1/4. Daí, é só calcular o valor máximo da função. Eu encontrei 4. Qualquer coisa, estamos aí. []s, Márcio. On Thu, 18 Aug 2005 23:37:05 -0700, Sharon Guedes [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Um amigo meu fez a prova da ESA e teve dúvidas em resolver essa questão. Resolvi ela mas acabei chegando em duas respostas. Alguém poderia nos ajudar? Questão: Estando afastado 6 metros de um muro de 3 metros de altura, um menino chuta a bola que cai exatamente sobre o citado muro, após percorrer a trajetória descrita pela equação y= ax2 + (1-4a)x, em relação ao sistema de coordenadas usual. Nestas condições, a altura máxima atingida pela bola é: (a) 8(b) 6 (c) 4 (d) 12 (e) 10 Atenciosamenta, Sharon Guedes. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria
Boa tarde a todos. Caro Jefferson, Vamos, em primeiro lugar, lembrar a questão original, que era mais ou menos assim: As tangentes dos três ângulos internos de um triângulo são números inteiros e positivos. Calcule seus valores. Eu propus uma solução chegando ao terno (1, 2, 3), mas havia afirmado que não sabia se a solução era única. Depois, um colega provou que não é possível que duas das tangentes sejam maiores que 2, mostrando, então, que a solução (1, 2, 3) é única. Se o problema que você está resolvendo é esse, as suas duas conjecturas são falsas. Suponhamos que bc = 3, ac = 3 e ab = 3. Das duas primeiras igualdades vem que a/b = 1, ou seja, a = b, que usado na terceira igualdade produz a = b = srqt(3), valores não inteiros. Uma situação análoga acontece na sua segunda suposição. Sendo assim, parece-me que o problema tem apenas uma solução. []s, Márcio. On Tue, 16 Aug 2005 19:13:02 -0700, Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Meu caro amigo e ex aluno Eurico, vc não deve ter pensado no seguinte: a + b + c = a.b.c = (1/bc) + (1/ac) + (1/ab) = 1 e, suponha que bc = 3, ac = 3 e ab = 3, e se tivéssemos bc = 2, ac = 4 e ab = 4? Eu, sinceramente acho que esta questão não tem só uma solução como vc afirma. Valeu e abraço Antonio Eurico Dias [EMAIL PROTECTED] escreveu: E completando o raciocinio do Dirichlet: TgA + TgB + TgC = TgA. TgB. TgC a + b + c = a.b.c = abc - a = b + c = a (bc - 1) = b + c a = (b + c) / (bc - 1), como a é inteiro positivo: b + c = bc - 1 = bc - b = c + 1 b.(c - 1) = c + 1 = b = (c+1)/(c-1) = b = 1 + 2/(c-1) Logo, como b também é inteiro c - 1 = 2 ou c -1 = 1, que levam ao unico conjunto de solucoes inteiras positivas (1 , 2 , 3)... Eurico Sistema Elite de Ensino - Unidade Belém - Start your day with Yahoo! - make it your home page __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda questão de Física ITA
não consegui responder graficamente, alguem pode da uma ajuda!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria
On Wed, 10 Aug 2005 06:20:13 -0700, Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Será que alguém já viu esta questão ou tem alguma idéia de como resolver ? Sejam a ,b e c ângulos internos de umtriângulo e, supondo que as tangentes dos três ângulos sejam números inteiros e positivos, calcule essas tangentes. Valeu __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ Oi, Jefferson. Se não errei nada, aqui vai. Ângulos: a, b e c a + b + c = 180 = tg(a + b + c)= tg 180, ou seja, tg(a + b + c) = 0 Daí, tg(a + b) + tg(c) = 0. No final das contas, chega-se a tg a + tg b + tg c = (tg a)(tg b)(tg c) Como as tangentes são números inteiros e positivos, uma opção (não sei se única) é tg a = 1, tg b = 2 e tg c = 3 []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Economia Matemática
Maurício escreveu: Oi, sou eu de novo. Estou interessado em fazer uma pós na área de Economia Matemática. Vocês sabem onde se faz pesquisa de qualidade nessa área aqui no Brasil ou no Exterior? Abraços e obrigado, Maurício __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Se você procura qualidade, penso que não se pode deixar de mencionar o IMPA, que tem cursos de mestrado e doutorado em Economia Matemática. Veja em www.impa.br. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] videos impa
eu não consegui baixar nenhum!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia - Solucoes
Oi gente! Esse ano não pude pensar nos problemas da imo do jeito que
gosto (pegando a prova logo depois de ela ser liberada no mathlinks e indo
para um restaurante pensar 4h30m direto nela :)).. Mas finalmente peguei a
prova (do primeiro dia) de jeito e consegui fazer as questoes. Vou mandar
aqui minhas solucoes do 1o dia conforme o gugu sugeriu (obs: reparei que
minha solucao da 2 eh mto parecida com a do gugu, mas agora vou mandar mesmo
assim). Espero que esteja tudo certo (minha unica duvida eh na 2 :), mas
acho que tá certa. prefiro mandar logo).
Vou colocar as soluções após os enunciados do shine também.
Obs: Quem não entender a minha solução da 3 deve aguardar um artigo na
eureka sobre desigualdades e contas simétricas que estou escrevendo!
- Original Message -
From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, July 24, 2005 12:06 AM
Subject: Re: [obm-l] Prova da IMO - Primeiro dia - Solucoes
Oi pessoal,
Resolvi compilar as minhas soluções de cada um dos dias para fins de
referência (em particular porque algumas de minhas mensagens anteriores
foram um pouco confusas, ou por não ter a solução junto ou por não dizerem
no subject sobre que problema tratavam). Seguem aqui (como sempre, após a
mensagem original do Shine) as soluções do primeiro dia.
Abraços,
Gugu
Oi gente,
Acabei de ver a primeira prova da IMO no site
http://www.mathlinks.ro/
Lá vão os enunciados (eu mesmo traduzi agora).
1. Escolhemos seis pontos sobre os lados do triângulo
equilátero ABC: A_1, A_2 sobre BC; B_1, B_2 sobre AC;
C_1, C_2 sobre AB. Essa escolha é feita de modo que
A_1A_2B_1B_2C_1C_2 é um hexágono convexo com todos os
seus lados iguais.
Prove que A_1B_2, B_1C_2 e C_1A_2 são concorrentes.
Solução: Spg, ponha A1 = (x,0); A2 = (-y,0), onde x,y sao reais positivos
com x+y = r, r o lado do hexagono.
Sejam a e b os angulos B1,A2,C e C2,A1,B respectivamente (i.e, os
angulos do hexagono com a base BC).
Pensando vetorialmente, temos C1 = (x+rcos(b)-rcos60, rsen(b)+rsen60); B2
= (-y-rcos(a)+rcos60, rsen(a)+rsen60).
Como todos os lados sao iguais, a distancia de C1 a B2 eh r. Usando que
x+y=r, cos60 = 1/2 e a formula da distancia entre dois pontos isso dá:
(cos(b)+cos(a))^2 + (sen(b)-sen(a))^2 = 1 donde cos(a+b) = -1/2 e a+b = 120
graus.
Esse mesmo raciocínio se aplica a cada uma das bases, e portanto os
triângulos das pontas são todos congruentes.
Todos os lados do triangulo B2,C2,A2 são iguais (cada um deles eh base
de um triangulo de lados r,r com angulo 120-b entre esses r´s) e portanto
ele eh equilatero. As retas B1C2, A1B2, C1A2 são alturas desse triangulos
equilatero (a congruencia LLL dos triangulos B1B2C2 e B1A2C2 implicam C2B1
perpendicular a B2A2), e portanto concorrem num ponto.
2. Seja a_1,a_2,... uma seqüência de inteiros com
infinitos termos positivos e negativos. Suponha que
para todo n inteiro positivo os números
a_1,a_2,...,a_n deixam n restos diferentes na divisão
por n.
Prove que todo inteiro aparece exatamente uma vez na
seqüência a_1,a_2,...
Solução:
Basta provar que o 0 aparece na sequencia, pois r aparece na sequencia
(x_n) sse 0 aparece na sequencia (x_n - r), e (x_n) tem as propriedades do
enunciado sse (x_n - r) tem.
Suponha, spg, x1 = p 0 (se x10, olhe para a sequencia (- x_n) ):
Temos entao x2 = p-1 ou x2 = p+1 (pq se x2 = p+i com i impar 1, entao
x2=x1 (mod i) e i =3 ainda nao chegou!).
Vamos provar por inducao que a sequencia nunca da saltos, i.e, que
cada novo termo está a uma unidade de distancia de algum termo que ja
apareceu na sequencia. Como a sequencia eventualmente fica negativa, isso
garante que ela passa pelo zero.
Suponha que {x1,x2,...,xt} = {p-s,...,p-2,p-1,p,p+1,p+2,...,p+r} com
r+s+1=t.
Entao, as unicas opcoes para x(t+1) sao p-s-1 e p+r+1 (observe que
p+r+1=p-s-1 (mod t+1)).
De fato, olhando mod (t+1) temos que {p-s-1,p-s,...,p+r} e {p-s,
...,p+r,p+r+1} formam um sistema completo de residuos mod(t+1) (pois sao uma
versao transladada de {1,2,...,r+s+2=t+1}). Os numeros que poderiam ocupar a
posicao x(t+1) sao portanto os que tem a mesma classe que estes dois tem mod
(t+1), i.e, sao: p+r+1, p+r+1+(t+1), p+r+1+2(t+1), ..., p-s-1, p-s-1-(t+1),
p-s-1-2(t+1), ...
Agora, se x(t+1) = p+r+1+k(t+1) com k1, entao x(t+1)=p+r (mod
1+k(t+1)), e como 1+k(t+1) t+1, isso vai estragar a sequencia na posicao
1+k(t+1). O outro caso eh analogo.
3. Sejam x,y,z reais positivos tais que xyz = 1.
Prove que
(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) +
(y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) +
(z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) = 0.
Solução:
Tirando mmc e olhando para as somas simétricas, a desigualdade eh
equivalente a:
sym_sum (x^5-x^2)(x^2+y^5+z^2)(x^2+y^2+z^5) = 0
Como (x^2+y^5+z^2)(x^2+y^2+z^5) = x^4 +(y^5+z^2+y^2+z^5)x^2 +
(y^5+z^2)(z^5+y^2), o que quero eh:
sym_sum (x^9 + 2x^7y^5 + 2x^7y^2 + 2x^5y^7 + x^5y^5z^5 + x^5y^2z^2)
=
sym_sum
[obm-l] Resultado IMC
Saiu o resultado oficial da IMC de 2005 (a competição internacional de matemática universitária)! O Brasil foi incrivelmente bem, o melhor resultado da história!!! O Alex (ufrj) foi grand first prize! Esse é um prêmio especial dado aos melhores dentre os primeiros colocados. O Brasil (e se não me engano a America Latina) nunca tinha ganho. Em seguida, Fabinho (puc)e Thiago Barros (unicamp) ficaram com First Prize! Bernardo (ufrj/politechinique), Thiago Sobral (ita) e Carlos Stein (ita) ganharam Second Prize! Além desses, o Brasil teve third prize e menção honrosa, mas não sei exatamente como ficou isso após a reclassificação! Abraços a todos, Marcio
Re: [obm-l] ajuda questão de Física ITA
tem como você fazer um esboço do gráfico ai Roberto ?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
Desculpe-me, Saulo, mas os ângulos são congruentes sim. Veja: QBP é um ângulo formado pela corda BP e pelo lado AB, que é tangente à circunferência. Logo, mede metade do arco menor BP. O ângulo PCB é um ângulo inscrito e também mede metade do arco menor BP. Uma argumentação parecida vale para os ângulos PCR e PBD. Outra coisa: quem disse que BC é um diâmetro? Dê uma conferida com cuidado, por favor. []s, Márcio. saulo nilson escreveu: os angulos nao sao congruentes BC nao passa pelo centro da circunferencia, BC e uma corda e nao um diametro. Eu fiz achando o raio da circunferencia que e 13, dai vc acha os lados e pela area do triangulo isosceles vc acha acha o valor da altura pedida, mas na da uma resposta simples. Eu projetei PQ e PR sobre os raios que unem o centro aos pontos de tangencia da circunferencia ai obtive um quadrilatero que tem lados r-9 e r-4 que e semelhante a AQPR, dai vc acha o raio que da 13, isso esta certo ou errado? On 7/20/05, Marcio M Rocha [EMAIL PROTECTED] wrote: Eder Albuquerque escreveu: Olá, Gostaria de ajuda no seguinte problema: seja ABC um triângulo isósceles, onde AB=AC são tangentes a uma circunferência e BC é uma corda. Seja P um ponto sobre a circunferência anterior, interno ao triângulo ABC, tal que a distância de P a AB é 9 e a distância de P a AC é 4. Encontre a distância de P a BC. Não tô conseguindo resolver... Grato, Eder __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ A resposta é 6. Sejam Q, R e D os pés das perpendiculares, respectivamente a AB, AC e BC por P. Construa o triângulo BPC. Veja que os ângulos QBP e PCB são conguentes. Daí, os triângulos retângulos QPB e PDC são semelhantes, e podemos escrever que (PQ / PD) = (PB / PC). Analogamente, os ângulos PCR e PBC são congruentes, donde vem a semelhança dos triângulos retângulos PCR e PBD, e podemos escrever que (PR / PD) = (PC / PB). Logo, (PQ / PD) = (PD / PR), ou seja, (PD)^2 = (PQ).(PR). Pelo problema, PQ = 9 e PR = 4. Assim, PD = 6. Este problema consta do livro Challenging Problems in Geometry. Um abraço, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ajuda questão de Física ITA
(ITA) Três turista, reunidos num mesmo local e dispondo de uma bicicleta que pode levar somente duas pessoa de cada vez, precisando chegar a um centro turístico o mais rápido possível. O turista A leva turista B, de bicicleta, até um ponto X do percurso e retorna para apanhar o turista C que vinha caminhando ao seu encontro. O turista B, a partir de X continua a pé sua viagem rumo ao centro turístico. Os três chegam simultaneamente juntos ao centro turítico. A velocidade média como pedestre é V1, enquanto como ciclista e V2. Com que velocidade média os turistas farão o percurso total ?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
Eder Albuquerque escreveu: Olá, Gostaria de ajuda no seguinte problema: seja ABC um triângulo isósceles, onde AB=AC são tangentes a uma circunferência e BC é uma corda. Seja P um ponto sobre a circunferência anterior, interno ao triângulo ABC, tal que a distância de P a AB é 9 e a distância de P a AC é 4. Encontre a distância de P a BC. Não tô conseguindo resolver... Grato, Eder __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ A resposta é 6. Sejam Q, R e D os pés das perpendiculares, respectivamente a AB, AC e BC por P. Construa o triângulo BPC. Veja que os ângulos QBP e PCB são conguentes. Daí, os triângulos retângulos QPB e PDC são semelhantes, e podemos escrever que (PQ / PD) = (PB / PC). Analogamente, os ângulos PCR e PBC são congruentes, donde vem a semelhança dos triângulos retângulos PCR e PBD, e podemos escrever que (PR / PD) = (PC / PB). Logo, (PQ / PD) = (PD / PR), ou seja, (PD)^2 = (PQ).(PR). Pelo problema, PQ = 9 e PR = 4. Assim, PD = 6. Este problema consta do livro Challenging Problems in Geometry. Um abraço, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria plana
elton francisco ferreira escreveu: Olá pessoal, ai vai algumas questoes que começei a a resoluçao mas nao consigo terminar. Se vcs puderem me ajudarem. 1 - Num triangulo retangulo ABC, sabe-se que a área vale 2s e que a razão entre os catetos é b/c=k. Calcule seus lados. 2 – A diferença entre os catetos de um triangulo retângulo é d e a área é s. Determine os catetos para: d = 17 e s = 84 3 – Num triangulo retângulo, a hipotenusa é a e a altura relativa a ela é h. Calcule os catetos para : a = 25 e h = 12 ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = 1- A área é a metade de bc, ou seja, bc = 4s. Multiplicando ambos os membros de b/c = k por bc, vem b^2 = bck, ou seja, b = sqrt(4ks), ou b = 2.sqrt(ks). Daí, c = 2.sqrt(ks) / k 2- b = 24 e c = 7. Como o produto dos catetos é o dobro da área, temos que bc = 168. Como b - c = 17, você cai numa eq do 2o grau. 3- b = 20 e c = 15. Veja que b^2 + c^2 = 625 e bc = 300. Daí, b + c = 35, e você monta uma equação do 2o grau. Abraços, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OFF TOPIC: programa de caraceteres matemáticos
onde eu consigo esse LaTeX = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
não entendi!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Matrizes
ajuda com a seguinte questão, ai vai o link dela: http://mas-usp.sites.uol.com.br/matriz.JPG = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Indicação Livro
alguem pode me indicar algum livro a nível de ensino médio para física e matemática, que tenha um bom conteudo, que não seja muito resumido. Valew!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma desigualdade legal!
É realmente complicado calcular essa derivada.. Uma possível solução para esse problema é simplesmente tirar o mmc.. Aqui está: Vc quer provar que sym_sum (a^(x+2) + 1) / (a^x bc + 1) = 6 E as passagens abaixo são equivalentes: sym_sum (a^(x+2) + 1)(b^x ac + 1)(c^x ab + 1) = 6(a^x bc + 1)(b^x ac + 1)(c^x ab + 1) sym_sum (a^(x+4) b^(x+1) c^(x+1) + 2 * a^(x+3) b^x c + a^(x+2) + b^(x+1) c^(x+1) a^2 + 2*a^x bc + 1 ) = sym_sum ( a^(x+2) * b^(x+2) * c^(x+2) + 3*a^(x+1) b^(x+1)c^2 + 3*a^x bc + 1) Agora, pela desigualdade de muirhead (bunching), voce sabe que: sym_sum [a^(x+4) b^(x+1) c^(x+1) - a^(x+2) * b^(x+2) * c^(x+2)] = 0 sym_sum [2 * a^(x+3) b^x c - 2*a^(x+1) b^(x+1)c^2] =0 sym_sum [b^(x+1) c^(x+1) a^2 - a^(x+1) b^(x+1)c^2] = 0 sym_sum [a^(x+2) - a^x bc ] = 0 Somando tudo voce conclui a desigualdade pedida. Abraços, Marcio - Original Message - From: Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 10, 2005 4:22 PM Subject: [obm-l] Uma desigualdade legal! Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai: Dados a,b,c,x reais positivos provar que: [a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1]=3. Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a seguinte função f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe, até uma outra solução pro problema. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema
Lincoln escreveu: Alguém pode me dar uma ajuda neste problema? Seja /ABCD/ um retângulo de lados /AB/ = 4 e /BC/ =3. A perpendicular à diagonal /BD/ traçada por /A/ corta /BD/ no ponto /H/. Chamamos de /M/ o ponto médio de /BH/ e de /N/ o ponto médio de /CD/. Calcule a medida do segmento /MN/. Lincoln, Escrevi rápido e sem muita organização. Veja se você entende e se está tudo OK. BD = 5 e AH = 2,4. A perpendicular ao segmento AH, passando por M, intersecta AB no ponto P. Desse modo, MP = 1,2 e P é o médio de AB. Os segmentos PN e BD cortam-se ao meio, num ponto Q. Seja R um ponto de BD, simétrico de M em relação a Q. Os triângulos PMQ e NRQ são congruentes. Desse modo, MN^2 = RN^2 + RM^2, ou seja, MN^2 = (1,2)^2 + (1,8)^2. Daí, MN = 3*sqrt(13)/5. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Gabaritos do nivel universtirário
Basta entrar no site da obm e baixar as Eurekas. Nelas voc vai encontrar as solues do nvel universitrio das provas at 2003. - Original Message - From: Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, June 19, 2005 10:31 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Gabaritos do nivel universtirrio infelizmente no site da OBM encontra-se apenas gabaritos da primeira fase da universitria ... eu queria os gabaritos da segunda fase ... mas de qq forma Muito obrigado From: Jnior [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Gabaritos do nivel universtirrio Date: Sun, 19 Jun 2005 17:54:42 -0300 Todos os gabaritos de provas passadas estao em: http://www.obm.org.br/frameset-provas.htm Em 19/06/05, Daniel Regufe[EMAIL PROTECTED] escreveu: Aonde q eu posso encontrar os gabaritos das provas da obm do nivel universitrio da segunda fase ?? Muito obrigado _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida elementar
Luiz Ernesto Leitao escreveu: Lendo o livro de Análise do Djairo Guedes ele pediu que se provasse a seguinte afirmativa elementar: Prove que p ( p natural) é par, se e somente se, p^2 for par. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 1a parte: p é par = p^2 é par p é par = p = 2n Donde se conclui que p^2 = 4(n^2) = 2(2n^2) que é par 2a parte: p^2 é par = p é par Prove a contrapositiva: p é ímpar = p^2 é ímpar p é ímpar = p = 2n +1 Daí, p^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1 que é ímpar. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] teorema chinês do resto
Da primeira, x = 3 + 17k. Na segunda, 3+17k = 10 (mod 16) = k = 7 (mod 16) = k = 7 + 16t = x = 3 + 17(7 + 16t) = 122 + 17*16t Na terceira, 122 + 17*16t = 0 (mod 15) = 2 + 2*1*t = 0 (mod15) = t = -1 (mod 15) = t = -1 + 15s = x = 122 + 17*16*(-1 + 15s) = x = -150 + 17*16*15s, ou x = 3930 (mod 4080) (todas as variáveis acima são inteiras) - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 30, 2005 1:45 PM Subject: [obm-l] teorema chinês do resto alguem poderia resolver esse sistema? x=3 (mod 17) x=10 (mod 16) x=0 (mod 15) * = (usei como´o símbolo de congruência) Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ajuda com proporções
ajuda com proporções: quais são os possiveis valores da seguinte proporção: a/b+c+d = b/a+c+d = c/a+b+d = d/a+b+c = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas russos
fabiodjalma escreveu: Onde você os encontrou? Em (09:21:52), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Bom dia a todos! Encontrei 100 problemas russos traduzidos pelo Paulo Santa Rita e estou tentando resolvê-los. Gostaria de uma idéia para o seguinte: É dado um retangulo ABCD com o comprimento da diagonal AC valendo L. Quatro círculos com centros em A, B, C e D e raios respectivamente iguais a a, b, c e d, sao tais que : L a + c , a + c = b + d. Prove que se pode inscrever um circulo no quadrilatero formado pelas interseccões entre duas tangentes comuns externas ao circulos A e C e duas tangentes comuns externas aos circulos B e D. Um grande abraço. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Oi, Fábio, Os problemas estão em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr/ http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/psr/ Um abraço. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função
Viviane Silva escreveu: Como se resolve uma função do tipo. Este não é o exercício mas é parecido com este 1) f(3x+1)=x^2+3x+25 g(x+1)=2x+1 Encontre f(g(-1)) Grata MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. Clique aqui. http://g.msn.com/8HMABR/2740??PS=47575 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = g(-1) = g(-2 + 1) = 2*(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 f(-3) = f(3*(-4/3) + 1) = (-4/3)^2 + 3*(-4/3) + 25 = 16/9 - 4 + 25 = (16 + 189)/9 = 205/9 Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida
Oi Luiz! Você trocou o sinal das desigualdades, essa solução está errada.. Segue uma solucao absurdamente feia (mas aparentemente correta) para o problema (desafio qualquer um a achar uma solução mais feia :)) Problema: a=1^2, a+b=1^2+2^2, a+b+c=1^2+2^2+3^2, a+b+c+d=1^2+2^2+3^2+4^2 = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d)=1+2+3+4 Solução: Para a,b,c fixos, ponha x = d e analise f(x) = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(x), 0=x=30-a-b-c. Essa eh uma funcao crescente, e portanto seu máximo ocorre quando x = 30-a-b-c, i.e, a+b+c+d=30. Agora troque c por x. Para a,b fixados, voce tem 0=x=14-a-b, d=30-x-a-b e olhando para g(x) = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(x)+sqrt(30-x-a-b), 2g'(x) = 1/sqrt(x) -1/sqrt(30-x-a-b) Observe que g eh crescente de x=0 ateh x=15-(a+b)/2. Como a+b0, 14-(a+b) 15-(a+b)/2 e portanto o máximo dentro da restrição ocorre quando x=14-(a+b), i.e, a+b+c=14 e portanto d = 16. Agora voce tem um novo problema.. Basta mostrar que a=1^2, a+b=1^2+2^2, a+b+c=1^2+2^2+3^2 = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)=1+2+3 Pronto, é só repetir o raciocínio para concluir que c=9, b=4 e a=1 dão o valor máximo da soma pedida. Obs: Essa demonstração não pode ser adaptada fielmente para uma versão desse problema com 5 letras. Ficam então duas perguntas: Qual o maior valor de n tal que a_1+...+a_k =1^2+...+k^2 para k=1,2,..,n sempre implica sqrt(a1)+...+sqrt(an)=1+2+...+n? - Original Message - From: Luiz Felippe medeiros de almeida [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, April 21, 2005 10:46 PM Subject: Re: [obm-l] Duvida Olá Fernado , acho q consegui fazer o problema que vc pediu. Lá vai: a=1 a+b=5 == b=5-a == b=4 == sqrt(b)=2 a+b+c=14 == c= a+b == c= 14-4-1 ==sqrt(c)=3 a+b+c+d=30 == d=30-a-b-c== d=30-1-4-9 = sqrt(d)=4 Logo somando todas as equações temos : sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c) + sqrt(d) =10 Abraço Luiz Felippe Medeiros On 4/21/05, Fernando [EMAIL PROTECTED] wrote: a = 1 a+b = 5 a+b+c = 14 a+b+c+d = 30 Prove: sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d) = 10 Desde ja agradeço []'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Livros para ITA/IME
aeee galera tô estudando para as provas do ITA/IME, e venho aqui pedir para que me indiquem alguns livros de qiímica física e matemática. Livros tanto para pegar uma base bem sólida como tmb para um belo aprofundamento = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma de termos
Oi Cláudio.. Realmente é muito mais legal uma demonstração combinatória: Considere o conjunto dos números 0,1,2,3,...,n. Você quer escolher umsequencia a1 a2 ... a(2m+1) de 2m+1 elementos, o que pode ser feito de "lado direito modos".Por outro lado, para cada k=0...n, voce pode escolher o elemento k como sendo o termo do meio dessa sequencia, e então precisa escolher binomial(k,m) termos menores e binomial(n-k,m) termos maiores que k. Somando em k, vemos que a resposta é o lado esquerdo e está provado. Mas não é tão feio fazer algebricamente..Vamos generalizar e provar que Soma(k=0..n) Binomial(k,a)*Binomial(n-k,b) = Binomial (n+1,a+b+1) Por inducao em n. Para n=0 eh facil. Supondo valido para n fixo e a,b quaisquer, temos: Soma(k=0..n+1) Binomial(k,a)*binomial (n+1-k,b) = Soma(k=0..n) Binomial(k,a)*[Binomial(n-k,b)+Binomial(n-k,b-1)] + Binom(n+1,a)*Binom(0,b) Usando a hipotese indutiva, isso da: Binomial(n+1,a+b+1) + Binomial(n+1, a+b) = Binomial (n+2, a+b+1) Em particular, fazendo a=b=m voce tem a solucao do problema pedido ;) (tá, confesso que tentei fazer a indução direto antes e não consegui :) E demorei bem menos pra dar a solução combinatória do que por indução.. mas não resisti ao "quero ver alguém ..." :) Abraços, Marcio - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Wednesday, April 06, 2005 3:58 PM Subject: Re: [obm-l] soma de termos Por exemplo, é possível dar uma demonstração combinatória da identidade abaixo, que foi uma questão da famosa e difícil prova do IME de 1980/81. SOMA(k=0...n) Binom(k,m)*Binom(n-k,m) = Binom(n+1,2m+1). Agora, quero ver alguémprovar isso algebricamente...
[obm-l] Princípio das gavetas
Olá, pessoal! Antes de mais nada, obrigado ao Cláudio e ao Qwert pela solução do problema. Como estou com um tempinho livre, vou escrever uns pensamentos muito rápido. Vejam se tem algum fundamento. Em 39 números consecutivos, formo 13 conjuntos disjuntos, cada qual com 3 números consecutivos. Obviamente, um deles é múltiplo de 3, o que implica que a soma dos algarismos de um elemento de cada um dos 13 conjuntos é igual a 3k. Tomando esse elemento de cada um dos 13 conjuntos, tenho 13 múltiplos consecutivos de 3, ou seja, 13 números cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 3. Como são 13 números e todos são consecutivos, tô pensando se existe um meio de garantir que uma dessas somas também é múltiplo de 11. O que vocês acham? []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Princípio das gavetas
Marcio M Rocha escreveu: Em 39 números consecutivos, formo 13 conjuntos disjuntos, cada qual com 3 números consecutivos. Obviamente, um deles é múltiplo de 3, o que implica que a soma dos algarismos de um elemento de cada um dos 13 conjuntos é igual a 3k. Tomando esse elemento de cada um dos 13 conjuntos, tenho 13 múltiplos consecutivos de 3, ou seja, 13 números cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 3. Como são 13 números e todos são consecutivos, tô pensando se existe um meio de garantir que uma dessas somas também é múltiplo de 11. O que vocês acham? []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Eu respondo a mim mesmo: o fato dos números serem múltiplos consecutivos de 3 não significa que as somas dos algarismos sejam números consecutivos. Desculpem-me. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema 1 do primeiro nível da X Olimpíada de Maio
Daniel S. Braz escreveu: Pessoal, Uma dúvida no problema 1 do primeiro nível da X Olimpíada de Maio (Eureka! número 20) Xavier multiplica quatro dígitos, não necessariamente distintos, e obtém um número terminado em 7. Determine quanto pode valer a soma dos quatros dígitos multiplicados por Xavier. Dê todas as possibilidades. então devemos ter algo do tipo: a.b.c.d = xxx7 A dúvida é: Qualquer número terminado em 9 multiplicado por 3 dará um número terminado em 7 1.1.1.7 = 7 - 10 1.1.3.9 = 27 - 14 1.1.3.19 = 57 - 24 1.1.3.29 = 87 - 34 1.1.3.39 = 117 - 44 Então...como calcular todas as possibilidades...não entendi... Oi, Daniel Veja que o enunciado diz que ele multiplica quatro dígitos, ou seja, algarismos. Assim, as 3 últimas possibilidades que você mostrou estão descartadas. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Principio das Gavetas
Bom dia, pessoal! Gostaria de conferir uma solução do seguinte problema: Mostre que existe um múltiplo de 1997 que possui todos os dígitos iguais a 1 Usando o princípio das gavetas é possível mostrar que todo número natural possui um múltiplo que se escreve usando apenas os dígitos 0 e 1, de modo que haja uma seqüência de /p/ 1's seguida de /q/ 0's. Seja N = 111...1000...0 um múltiplo de 1997. Como N = (111...1) * (10^/q/) e 1997 não divide 10^/q, /conclui-se que 1997 divide 111...1. Tá tudo Ok? Aproveitando a oportunidade, gostaria de uma sugestão no problema seguinte: Prove que em qualquer seqüência de 39 números naturais consecutivos existe ao menos um número cuja soma dos algarismos é divisível por 11. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Principio das Gavetas
claudio.buffara escreveu: *De:* [EMAIL PROTECTED] *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Cópia:* *Data:* Tue, 29 Mar 2005 08:44:28 -0300 *Assunto:* [obm-l] Principio das Gavetas Bom dia, pessoal! Gostaria de conferir uma solução do seguinte problema: Mostre que existe um múltiplo de 1997 que possui todos os dígitos iguais a 1 Usando o princípio das gavetas é possível mostrar que todo número natural possui um múltiplo que se escreve usando apenas os dígitos 0 e 1, de modo que haja uma seqüência de /p/ 1's seguida de /q/ 0's. Seja N = 111...1000...0 um múltiplo de 1997. Como N = (111...1) * (10^/q/) e 1997 não divide 10^/q, /conclui-se que 1997 divide 111...1. Tá tudo Ok? Pra mim, está. Uma demonstração alternativa usa o teorema de Euler e leva em conta que mdc(1997,10) = mdc(1997,9) = 1. Nesse caso, pondo k = Phi(1997), teremos 10^k == 1 (mod 1997) == 1997 | 10^k - 1 = 999999 (k algarismos 9) = 9*111...111. Como 1997 é primo com 9, concluímos que 1997 | 111...111. Aproveitando a oportunidade, gostaria de uma sugestão no problema seguinte: Prove que em qualquer seqüência de 39 números naturais consecutivos existe ao menos um número cuja soma dos algarismos é divisível por 11. Esse parece interessante. Acho que vale a pena fazer umas simulações no Excel pra ver se você acha alguma periodicidade ou lei de formação. Se eu achar alguma coisa te falo. []s, Claudio. Cláudio, Obrigado pela solução alternativa e pela dica. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas russos
Bom dia a todos! Encontrei 100 problemas russos traduzidos pelo Paulo Santa Rita e estou tentando resolvê-los. Gostaria de uma idéia para o seguinte: É dado um retangulo ABCD com o comprimento da diagonal AC valendo L. Quatro círculos com centros em A, B, C e D e raios respectivamente iguais a a, b, c e d, sao tais que : L a + c , a + c = b + d. Prove que se pode inscrever um circulo no quadrilatero formado pelas interseccões entre duas tangentes comuns externas ao circulos A e C e duas tangentes comuns externas aos circulos B e D. Um grande abraço. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] questão física
sejam dois trens de comprimentos m, correm em linha paralelas com velocidades v1 e v2, (v2v1), no mesmo sentido, quanto tempo demora para o trem mais rápido ultrapassar o mais lento? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ITA
fgb1 escreveu: Um aluno me pediu p/ fazer essa questão e disse que era do ITA. Não encntrei solução. Queria saber se alguem conhece e pode confirmar se o enunciado está correto. 3^2x + 5^2x - 15^x = 0 A idéia é dividir tudo por 15^x e, por meio de artifício, cair numa eq do 2o grau. Só que, fazendo tudo isso, você vai cair numa eq sem solução real. Deve haver algo de errado no enunciado. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[Fwd: Re: En:[obm-l] Fatorial]
Desculpem a todos, mais uma vez, as duas besteiras que escrevi: a desigualdade absurda e minimilidade. No afã de resolver o problema, fiquei cego a algo tão claro. Bem, então não dá para escrever uma seqüência de desigualdades partindo de b elevado a (b - 2) e chegando a (b - 1) elevado a (b - 1)? []s, Márcio. ---BeginMessage--- claudio.buffara escreveu: Além disso, Cláudio, também posso fazer: b elevado a (b - 2) = (b - 1) elevado a (b - 2) Epa! Tem certeza? CARAMBA! QUE BESTEIRA! Deleta esse negócio daí! ---End Message---
