[obm-l] Computacao Grafica
Pessoal, eu faço Ciencia da computacao e gostaria de orientacao para um mestrado em computacao gráfica. O que preciso me aprofundar? Gosto muito de simulacoes de Modelos físicos e geometria computacional. Eu comparo muito a tecnologia atual de computacao gráfica com os avanços na area de entreterimento digital, principalmente os Games. Hoje, conseguimos imagens praticamente fotorealísticas rodando em tempo real. Obrigado! Marcos Eike Evite o uso abusivo da internet, use o BRmultiaccess 3.8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Alguem pode me ajudar?
Estou querendo resolver o problema do caixeiro viajante, mas nao consigo implementar um algoritmo Genético. Alguem tem alguma ideia? Ats, Marcos Eike -- Evite o uso abusivo da internet, use o BRmultiaccess 3.8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema de LOg
Como calcular sen(log x) = log(sen x) Ats, Marcos Eike = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O problema das infinitas soluções
Morgado, eu moro em BH. Caso ajude a resolver meu problema profissional. Obrigado! Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, September 03, 2002 11:37 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] O problema das infinitas soluções Marcos, mensagens como a sua deveriam sempre vir acompanhadas da cidade do autor. Morgado Marcos Eike Tinen dos Santos wrote: Eu vou prestar vestibular neste ano, porém estou na dúvida em qual curso. Minhas dúvidas são: devo prestar para ciencia da computação ou para matematica computacional? Meus objetivos é fazer uma pós de computação gráfica. Ats, Marcos Eike = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] O problema das infinitas soluções
Eu vou prestar vestibular neste ano, porém estou na dúvida em qual curso. Minhas dúvidas são: devo prestar para ciencia da computação ou para matematica computacional? Meus objetivos é fazer uma pós de computação gráfica. Ats, Marcos Eike = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Dúvida sobre Resíduos
Como não, meu amigo Nicolau, segue a pergunta: Veja: Complete system of Residues a) numbers which are congruent modulo m form an equivalence class modulo m. (aqui tudo bem, lógico) . Any number of an equivalence class is said to be a residue modulo m with respect to all the numbers of the equivalence class. The residue obtained for q = 0 is equal to the remainder r itself, and is called the least non-negative residue. The residue p smallest absolute value is called the absolutely least residue. Pessoal q vem da definição de que : we obtain all the numbes of an equivalence class is we let q in the form mq + r run throught all the integers. Alguem poderia me explicar o que eu descrevi, não entendi corretamente, e posso estar perdendo algumas propriedades. 2) Problema: Let T be the number of lattice points (x,y) of the region x^2 + y^2 = r^2 (r=2) prove que: T = (pi)r^2 + O[r^(2/3) * ln r] Ats, Marcos Eike
Re: Dúvida sobre Resíduos
Muito Obrigado!!!
Minhas dúvidas já estão sanadas.
Um problema que não consegui entender a sua solução é o problema proposta no
Eureka 2, sobre o teorema chinês dos restos:
segue: caso alguém possa explicá-lo de uma forma que eu entenda,
agradeceria, pois agora estou tendo mais oportunidade de começar provar e
não a resolver os problemas mais lorpos propostos pela maioria das escolas.
(Uma vergonha).
Prove que dado n pertencente a conjunto do naturais existe um conjunto de n
elementos A está contido em B tal que para todo B está contido em A, B é
diferente de um conjunto vazio e a Somatória de x, para x pertencente a B é
uma potência não trivial (isto é, um número da forma m^k, onde m, k são
inteiros maiores ou iguais a 2), ou seja, A = {x1, x2,. xn} tal que x1,
x2,.xn, x1 + x2, x1 +x3,., ,
.,x1 + x2 +.xn são todos potências não triviais.
Desculpe, tive que digitar todas as expressões matemáticas devido a
restrições simbólicas.
Ats
Marcos Eike
Re: Dúvida sobre Resíduos
Ninguém Está querendo ajudar? Enviei minha mensagem a algum tempo, e apena o Sr. JP me respondeu, assim mesmo a segunda questão. Ats, Marcos Eike
Re: Dúvida sobre Resíduos
Obrigado!!! Caro José não há como você demostrar aqui na lista a solução? Ah.. E sobre o que me referi acima sobre resíduos, poderia me ajudar? Ats, Marcos Eike
Dúvida sobre Resíduos
Veja: Complete system of Residues a) numbers which are congruent modulo m form an equivalence class modulo m. (aqui tudo bem, lógico) . Any number of an equivalence class is said to be a residue modulo m with respect to all the numbers of the equivalence class. The residue obtained for q = 0 is equal to the remainder r itself, and is called the least non-negative residue. The residue p smallest absolute value is called the absolutely least residue. Pessoal q vem da definição de que : we obtain all the numbes of an equivalence class is we let q in the form mq + r run throught all the integers. Alguem poderia me explicar o que eu descrevi, não entendi corretamente, e posso estar perdendo algumas propriedades. 2) Problema: Let T be the number of lattice points (x,y) of the region x^2 + y^2 = r^2 (r=2) prove que: T = (pi)r^2 + O[r^(2/3) * ln r] Ats, Marcos Eike
Re: probabilidade
a b
Não usarei matemática, pois acredito que esse problema seja
uma interpretação da frase.
Se ambos os casais possuem dois filhos, logo A={x,y} e B =
{x',y'}
Veja que "...o casal A tem um filho homem.." caracteriza um
numeral eou um artigo (suponho, pois não entendo muito bem de
português)
logo temos duas possibilidades r ou s (suponhamos) para
"um".
Se r é numeral temos que o outro filho do casal A é feminino.
logo a probabilidade deles possuírem dois filhos homens é nula. (talvez)
:)
Se s é artigo temos que não conheceremos o outro filho, já que
a probabilidade do Casal B não interferirá no casal A. (acredito)
temos: 1/2 de possibilidade.
Logo a probabilidade de sair homem no casal A é 1/4 e no casal
B é 1/2. = 1/41/2
Prova meio fraca e esquisita!!! Talvez seja uma brincadeira.
:)
Ats,Marcos Eike
Os casais A e B têm dois filhos cada um.
Sabe-se que o casal A tem um filho homem e que o filho mais velho do casal B
também é homem. Se a e b indicam, respectivamente, as probabilidades de que os
dois filhos do casal A sejam homens e que os dois filhos do casal B também
sejam homens, então:
a) a
b
b) a =
b
c) a
b
d) a + b =
1
e) n.r.a
Re: probabilidade
é verdade.. ehehe Sonhei muito Ats,Marcos Eike
Re: Alguém sabe me informar???
ok. Porém, eu não quero um estudo físico da água, mas sim, um estudo matemático, tal que expressões matemáticas, me dê redemuinhos, ondas, entre outros efeitos da água. Ats, Marcos Eike .
Alguém sabe me informar???
Pessoal, como posso obter informações sobre as equações do movimento da água? Só sei que dois cientistas o fizeram, logo gostaria de saber mais sobre o assunto. Ats, Marcos Eike
Re: Problema da olimpíada
também, concordo com você. logo, alguém queira me explicar porque tamanho detalhes sobre a solução desse problema, bela banca examinadora? O que os examinadores queriam que observasse nesta questão, para tamanha solução? Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Eduardo Favarão Botelho [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sábado, 2 de Setembro de 2000 23:32 Assunto: Problema da olimpíada Olá a todos! Ao ver a prova da última olimpíada, 3a fase, vi um problema assim: Em Tumbólia existem n times de futebol. Deve-se organizar um campeonato em que cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. Todos os jogos ocorrem aos domingos, e um time não pode jogar duas vezes no mesmo dia. Determine o menor inteiro positivo "m" para o qual é possível realizar tal campeonato em "m" domingos. Fiquei espantado com o tamanho da resposta(tão enorme era). No entanto, uma solução muito mais compacta pode ser esta: 1a hipótese: n é par cada time joga n-1 vezes total de jogos: n(n-1)/2 -- equação 1 jogos por domingo: n/2 -- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m= n-1 2a hipótese: n é ímpar cada time joga n-1 partidas jogos por domingo: (n-1)/2 , pois um vai ficar de fora; --- equação 1 total de jogos: n(n-1)/2 --- equação 2 Fazendo-se 1/2, tem-se m = n Difícil mesmo é entender por que a banca examinadora pôs uma resposta tão longa e cansativa como gabarito, sendo este um exercício relativamente fácil. Afinal, a matemática preza a concisão e a objetividade. Abraços, Eduardo
Re: Problema da olimpíada
entendi.. Tudo bem!! Bem que eu vi que estava faltando algo, pois me perguntei será que existem tais tabelas? Ats, Marcos Eike
Re: Gravitação
existe uma forma de calcular o raio da Terra de uma maneira aproximada, usando-se do posicionamento do Sol. Caso, a prova necessite deste ítem, esse já seria o mais difícil, do que até mesmo a questão em si. Para pensar: Usa-se nocão de triângulo. Uma boa pergunta que gerará discuções bastante interessantes, Vamos postar métodos de como achar o raio da Terra, através de conhecimentos básicos, como o tempo que a Terra leva para girar em torno de si mesma, a velocidade da luz, do som, etc... Ou seja, vamos usar nossa criatividade. Ats, Marcos Eike Ats, Marcos Eike
Re: Já que permitiram a física....
ok. pode esperar. :) heheh Olha essa questão: talvez possamos discutí-la Qual é a mínima velocidade que uma pessoa deve ter para andar sobre a água. (suponhamos que consiga, já que está relacionado com o formato do pé) Ats, Marcos Eike
Re: Dia da semana
Para isso usa-se congruência. a==b(mod n) Veja que é um modo simplificado de expressar que ao dividir tanto a quanto b por n dará um resto único r. Logo: a==x(mod 7) Acredito que seja isso, pois a diferença são 7 dias. Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Wellington Ribeiro de Assis [EMAIL PROTECTED] Para: discusspio de problemas [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 18 de Agosto de 2000 22:59 Assunto: Dia da semana Prezados amigos Alguem sabe dizer como eh o algoritmo usado para se descobrir que dia da semana cai uma determinada data de um ano qualquer? Bons estudos e abraco a todos, Wellington
Re: sugestão
Acho que seria interessante dividirmos a lista, porém há vários problemas que decorre desta decisão, como Nicolau citou: a lista não tem muitos usuários, para que possa desfrutar em plena desta divisão. O meio mais correto e simples de selecionarmos assuntos, seria colocar um padrão no ítem "assunto", como por exemplo: Ele-, que significaria elementar; AV, que significaria avançado; e por último Pro-,que significaria Problemas. Assim, tenho dito: criar um método de classificação do nível envolvido no assunto é a base mais correta. Ats, Marcos Eike
Re: Second problem
Caro Luis, é bem legal, quanto mais pessoal para nos ajudar melhor. Valeu!!! Ats, Marcos Eike
Alguém poderia me explicar de uma forma detalhada...
Sobre o problema das pulgas, proposta no IMO2000? Ats, Marcos Eike
Re: Olha pessoal.....
valeu!!! Saldanha.. Ats, Marcos EIke - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 18 de Julho de 2000 16:22 Subject: Re: Olha pessoal. On Mon, 17 Jul 2000, Marcos Eike Tinen dos Santos wrote: Let n be a natural number such that the number 2n^2 has 28 distinct divisors and the number 3n^2 has 30 distinct divisors. How many distinct divisors has the number 6n^2 ? se 2n^2 tem 28 divisores, temos que n^2 possua 14 divisores, porém, temos um absurdo, pois, suponhamos n tal que n seja igual a um produto de primos, então n^2 fará com que o número de divisores seja ímpar, pois trata-se de um quadrado perfeito. Então, temos que 15 é o número de dividores correto. Assim: 6n^2 possue 60 dividores. Sua solução não está correta. Não é verdade que se m tem k divisores então 2m tenha 2k divisores. Alguém pode comentar? Achei bastante fácil, caso seja assim, o que mais me intrigou foi 28 divisores para 2n^2 e para 3n^2, 30, isso seria possível? Seja n = 2^a * 3^b * 5^c * 7^d * ... O número de divisores (naturais) de n é (a+1)(b+1)(c+1)... Temos 2n^2 = 2^(2a+1) * 3^(2b) * 5^(2c) * ... 3n^2 = 2^(2a) * 3^(2b+1) * 5^(2c) * ... Donde (2a+2)(2b+1)(2c+1)... = 28 (2a+1)(2b+2)(2c+1)... = 30 e (a+1)(2b+1)(2c+1)... = 14 (2a+1)(b+1)(2c+1)... = 15 Como o mdc entre 14 e 15 é 1 temos (2c+1)(2d+1)... = 1 e n = 2^a * 3^b (a+1)(2b+1) = 2ab + a + 2b + 1 = 14 (2a+1)(b+1) = 2ab + 2a + b + 1 = 15 Subtraindo uma equação da outra temos a - b = 1 ou b = a - 1 Donde (2a+1)a = 15 ou 2a^2 + a - 15 = 0 cujas raízes são -3 e 5/2, nenhuma das quais faz sentido para o problema. Moral: não existe nenhum natural n com as propriedades descritas.
Re: Questao da Moldavia
Eu fiz o seguinte:
x = [x] + {x} é fácil verificar isso, 2,782 = 2+0,782;
Logo:
façamos um y, supondo que essa seja inteira.. então:
f(y)[y] = [y]f(0)
f(y) = f(0)
façamos o mesmo, porém supondo um z na forma p/q sendo p q e inteiros..
encontramos f(z) = f(0).
Logo: voltando na expressão anterior temos:
f(x)[[x] + {x}] = f(0)({x} + [x]) =
f(x) = f(0).
Sabendo que f(0) é uma constante qualquer A, temos
f(x) = A, para todo x E R.
Aí Dobedel achei a mesma solução...
Se for isto está bem simples, mas. vamos esperar.
Ats,
Marcos Eike
- Original Message -
From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Segunda-feira, 17 de Julho de 2000 03:18
Subject: Re: Questao da Moldavia
From: "Alexandre Gomes" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Questao da Moldavia
Date: Sun, 16 Jul 2000 20:14:55 PDT
Achei na internet uma questao bastante interessante. Alguem me
ajudaria
a
resolver?
Encontre todas as funcoes f:R-R que verifiquem a relacao
x*f(x)=[x]*f({x})+{x}*f([x]), para todo x pertencente a R, onde [x]
representa a parte inteira de x e {x} representa a parte fracionaria de
x.
Obrigado!
Alexandre S. Gomes
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Eu achei uma resposta estranha.
Escolha x inteiro, diferente de zero.
x*f(x)=x*f(0)+0*f(x), logo f(x)=f(0)
Escolha x entre 0 e 1.
x*f(x)=0*f(x)+x*f(0), logo f(x)=f(0)
Agora para um x real qualquer, temos
x*f(x)=[x]*f({x})+{x}*f([x])=[x]*f(0)+{x}*f(0)=f(0)*([x]+{x}), ou seja
x*f(x)=f(0)*x, daí f(x)=f(0)
Para um k qualquer f(x)=k satisfaz o enunciado, e essas são todas as
soluções.
Algo deve estar errado.
Eduardo Casagrande Stabel.
obs. claramente x=[x]+{x}
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Olha pessoal.....
Let n be a natural number such that the number 2n^2 has 28 distinct divisors and the number 3n^2 has 30 distinct divisors. How many distinct divisors has the number 6n^2 ? se 2n^2 tem 28 divisores, temos que n^2 possua 14 divisores, porém, temos um absurdo, pois, suponhamos n tal que n seja igual a um produto de primos, então n^2 fará com que o número de divisores seja ímpar, pois trata-se de um quadrado perfeito. Então, temos que 15 é o número de dividores correto. Assim: 6n^2 possue 60 dividores. Alguém pode comentar? Achei bastante fácil, caso seja assim, o que mais me intrigou foi 28 divisores para 2n^2 e para 3n^2, 30, isso seria possível? Ats, Marcos Eike
Re: apreciação
Acho que podemos demonstrar de uma forma mais primitiva. Vejamos: Demostração: a^2 divide ab se e só se a divide b, temos também, b^2 divide ab se e só se b divide a. logo: a^2 = abq1 = a=bq1, ou seja a/b E N; b 2 = abq2 = b=aq2, ou seja b/a E N; Sabendo que podemos ter apenas três opções, ab, ba ou a=b, temos que a única forma de ocorrer as duas divisões é a=b. Assim, somando as duas equações apresentadas: a^2 +b^2 = ab(q1+q2); Sendo q1 e q2 inteiros então q1+q2 é inteiro, suponhamos um inteiro R. Então: a^2 + b^2 = abR = a^2+b^2/ab E N se e só se a=b E N significa pertence ao conjunto dos Naturais. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Filho To: discussão de problemas Sent: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:44 Subject: apreciação 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre que a=b. Comentários: Melhorando idéias a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab Veja: 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir ( a + b ) ^2 . 2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e ( a + b ) ^2 é ímpar absurdo: par não divide ímpar) 3. Se a for ímpar e b for par (análogo) 4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par) Então, só resta a possibilidade (ambos são pares). Veja: Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n. Temos, agora: [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica [m/n + n/m + 2] é inteiro. A última sentença só ocorre quando m = n (evidente). Portanto, podemos concluir a = b . Valeu
Re: A Nossa Lista
ajudaria e muito! Muito mesmo!!! Se vcs tivessem tempo ( professores e alunos) poderíamos criar um chat no Palace... assim, se fosse possível todo final de semana, faríamos palestras. Ou de mês em mês... sobre matemática, iqual ocorre no congresso de matemática mesmo!!! Para quem tem um tempinho dê uma olhada no site www.tresd1.com.br (lá tem as instruções de como entrar no chat que o autor criou, veja que é como na realidade.) Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Alexandre [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 23:11 Subject: RE: A Nossa Lista Oi Gente, Eu, assim como o Paulo Santa Rita se não me engano, estou curtindo umas "férias forçadas" devido a uma ligeira greve que se implantou na UERJ, e infelizmente devido ao trabalho, cansaço e um certo desânimo tenho sido um tanto quanto relapso com os estudos. Mas não sei nem porque estou falando sobre isso, talvez porque os considere como amigos e aí resolvi soltar o verbo (no bom sentido...claro!). Vamos ao que interessa: Pegando uma carona no que falou o nosso sempre sensato e competente colega Paulo Santa Rita, gostaria de fazer uma proposta aos já professores e também aberta aos colegas estudantes. Alguns tópicos de que tratamos aqui na "nossa lista" (como chamou o Paulo Santa Rita) não são de profundo conhecimento dos iniciantes na matemática e, na verdade, da maioria dos estudantes de nível médio ou elementar (as vezes até mesmo os de nível superior), assim sugiro a criação de páginas de conteúdo, algum tipo de apostilas de referência sobre assuntos os mais variados (preferencialmente pertinentes aos programas de nível médio e superior) para servir de fonte para consulta e estudo dos interessados. Cito alguns exemplos: há alunos na faculdade em que curso matemática (a UERJ) que nunca tinham ouvido falar de Teoremas como o de Bolzanno (polinômios) ou os de Ceva e Menelaus (geometria), Congruências módulo n , essas coisas. Isso só falando de conteúdos básicos... Imaginem só, se não estiverem bem calçados, o que ocorrerá quando entrarem na matemática mais abstrata e complexa... Acredito não estar sendo idiota nessa sugestão, acho que isso ajudaria a muitos... Abraços, Alexandre Vellasquez. -- De: Paulo Santa Rita[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 15:22 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: A Nossa Lista Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! Acredtio que esta mensagem, nao obstante nao ser de carater Matematico, deve interessar a todos. A "Lista de Discussao de Problemas Matematicos", que comumente chamamos simplesmente "Nossa Lista", ja e Materia de Referencia e Material bibliografico para estudantes Universitarios de Fisica e Matematica ... Alguns dias atras recebi um e-mail do Rio de Janeiro, de uma estudante que nao conheco, no qual a Universitaria cita parte de um e-mail sobre Geometria Riemaniana e pede orientacao. Respondi falando o que eu sabia sobre o tema, dando referencias bibliograficas mais completas e perguntando como ela tinha tido acesso aquela mensagem. Ela respondeu dizendo que conseguiu o e-mail atraves do SOFTWARE DE PESQUISA "ALTAVISTA". Eu nao sabia que aquilo que todos nos publicamos esta disponivel na rede. Isto significa que aquilo que todos nos estamos produzindo atraves de simples e-mail´s esta sendo visto literalmente pelo mundo todo e servindo como referencia para trabalhos em Universidades Publicas e Privadas. E tambem uma prova incontestavel do sucesso, do prestigio e do valor deste excelente meio de divulgacao e aprimoramento instituido pelo nosso moderador, Prof Nicolau Saldanha. Penso que tudo isso faz aumentar nossa responsabilidade, que sempre existiu mas pode e deve ser aprimorada, no sentido de procurarmos produzir demonstracoes cada vez mais belas, apresentarmos questoes realmente interessantes e aprimoramentos da Matematica Elementar pouco divulgados. A "Nossa Lista" gera um intercambio imenso, coisa que eu particularmente nunca imaginei que pudesse ocorrer. As pessoas querem se encontrar conosco, virtualmente, atraves de Chat´s; surgem projetos de pesquisa e estudos conjuntos ( problema 3N + 1, redes neurais ) e propostas de palestras ( As pessoas nao sabem quando estao falando com um estudante ou com um Professor ) Enfim, penso que todos nos estamos de parabens; o Prof Nicolau esta de "duplo parabens" e que a "Nossa Lista" e um sucesso. Um Abraco Camarada a Todos Paulo Santa Rita 4,1519,05072000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: A Nossa Lista
Eu também, poderia pedir ao autor, que eu conheço, para liberar uma sala só para gente. Tudo em família!!! Seria bastante divertido e didático. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Alexandre [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 23:11 Subject: RE: A Nossa Lista Oi Gente, Eu, assim como o Paulo Santa Rita se não me engano, estou curtindo umas "férias forçadas" devido a uma ligeira greve que se implantou na UERJ, e infelizmente devido ao trabalho, cansaço e um certo desânimo tenho sido um tanto quanto relapso com os estudos. Mas não sei nem porque estou falando sobre isso, talvez porque os considere como amigos e aí resolvi soltar o verbo (no bom sentido...claro!). Vamos ao que interessa: Pegando uma carona no que falou o nosso sempre sensato e competente colega Paulo Santa Rita, gostaria de fazer uma proposta aos já professores e também aberta aos colegas estudantes. Alguns tópicos de que tratamos aqui na "nossa lista" (como chamou o Paulo Santa Rita) não são de profundo conhecimento dos iniciantes na matemática e, na verdade, da maioria dos estudantes de nível médio ou elementar (as vezes até mesmo os de nível superior), assim sugiro a criação de páginas de conteúdo, algum tipo de apostilas de referência sobre assuntos os mais variados (preferencialmente pertinentes aos programas de nível médio e superior) para servir de fonte para consulta e estudo dos interessados. Cito alguns exemplos: há alunos na faculdade em que curso matemática (a UERJ) que nunca tinham ouvido falar de Teoremas como o de Bolzanno (polinômios) ou os de Ceva e Menelaus (geometria), Congruências módulo n , essas coisas. Isso só falando de conteúdos básicos... Imaginem só, se não estiverem bem calçados, o que ocorrerá quando entrarem na matemática mais abstrata e complexa... Acredito não estar sendo idiota nessa sugestão, acho que isso ajudaria a muitos... Abraços, Alexandre Vellasquez. -- De: Paulo Santa Rita[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 15:22 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: A Nossa Lista Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! Acredtio que esta mensagem, nao obstante nao ser de carater Matematico, deve interessar a todos. A "Lista de Discussao de Problemas Matematicos", que comumente chamamos simplesmente "Nossa Lista", ja e Materia de Referencia e Material bibliografico para estudantes Universitarios de Fisica e Matematica ... Alguns dias atras recebi um e-mail do Rio de Janeiro, de uma estudante que nao conheco, no qual a Universitaria cita parte de um e-mail sobre Geometria Riemaniana e pede orientacao. Respondi falando o que eu sabia sobre o tema, dando referencias bibliograficas mais completas e perguntando como ela tinha tido acesso aquela mensagem. Ela respondeu dizendo que conseguiu o e-mail atraves do SOFTWARE DE PESQUISA "ALTAVISTA". Eu nao sabia que aquilo que todos nos publicamos esta disponivel na rede. Isto significa que aquilo que todos nos estamos produzindo atraves de simples e-mail´s esta sendo visto literalmente pelo mundo todo e servindo como referencia para trabalhos em Universidades Publicas e Privadas. E tambem uma prova incontestavel do sucesso, do prestigio e do valor deste excelente meio de divulgacao e aprimoramento instituido pelo nosso moderador, Prof Nicolau Saldanha. Penso que tudo isso faz aumentar nossa responsabilidade, que sempre existiu mas pode e deve ser aprimorada, no sentido de procurarmos produzir demonstracoes cada vez mais belas, apresentarmos questoes realmente interessantes e aprimoramentos da Matematica Elementar pouco divulgados. A "Nossa Lista" gera um intercambio imenso, coisa que eu particularmente nunca imaginei que pudesse ocorrer. As pessoas querem se encontrar conosco, virtualmente, atraves de Chat´s; surgem projetos de pesquisa e estudos conjuntos ( problema 3N + 1, redes neurais ) e propostas de palestras ( As pessoas nao sabem quando estao falando com um estudante ou com um Professor ) Enfim, penso que todos nos estamos de parabens; o Prof Nicolau esta de "duplo parabens" e que a "Nossa Lista" e um sucesso. Um Abraco Camarada a Todos Paulo Santa Rita 4,1519,05072000 Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: IRC
Boa idéia... Seria bacana tirar dúvidas com os prof. do grupo :) E discutir assuntos interessantes. To nessa!!! Apoio fielmente. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Jorge Peixoto de Morais Neto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 17 de Junho de 2000 16:20 Subject: IRC Por que não criamos um canal de IRC como complemento a essa lista? Assim poderíamos discutir em tempo real!
Re: Questão mal elaborada!!
Vocês estão corretos Eu peguei o enunciado da questão no grupo de vestibular da uol.. E ela mencionava: A prefeitura de uma cidade troca garrafas vazias por leite. A cada 4 ela dá um litro de leite. Se você levar 43 garrafas, com quantos litros de leite você vai voltar? Ou seja, a pessoa que redigiu a questao no grupo, não teve a capacidade de redigí-la na sua inteira originalidade... O que provocou os erros de compreensão que mencionei. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Marcos Eike Tinen dos Santos [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 14 de Junho de 2000 19:47 Subject: Re: Questão mal elaborada!! Não... não precisa não!! Quando peguei para fazer, resolvi. Porém, não gostei muito da "jogada fora" de leite. é igual a essa questão: Dois volumes de enciclopédia de mesmo tamanho estão ordenados lado a lado em uma estante. A espessura de cada volume é de 4 cm, e as capas têm 0,3 cm. Uma traça começa a atravessar as enciclopédias em linha reta, indo da primeira página do volume 1 até a última do volume 2. Qual a distância percorrida pela traça? Ats, Marcos Eike
Re: Questão mal elaborada!!
Não... não precisa não!! Quando peguei para fazer, resolvi. Porém, não gostei muito da "jogada fora" de leite. é igual a essa questão: Dois volumes de enciclopédia de mesmo tamanho estão ordenados lado a lado em uma estante. A espessura de cada volume é de 4 cm, e as capas têm 0,3 cm. Uma traça começa a atravessar as enciclopédias em linha reta, indo da primeira página do volume 1 até a última do volume 2. Qual a distância percorrida pela traça? Ats, Marcos Eike
Re: Curiosidade
Raph, eheheh Desculpe minha imcapacidade de transcrever tal pensamento, é porque fiz de uma forma rápida e desorganizada, sem pensar como poderia transcrever. O meu pensamento, foi semelhante ao que vc aprensentou no final na mensagem. Por que? "se o terceiro vértice estiver muito próximo do segmento O1-O2 então o triângulo é obtusângulo assim mesmo." Melhor demostrando, considere os pontos O1 e O2 colineares vértices de um triângulo, tal que levantando duas perpendiculares aos seus respectivos vértices, qualquer ponto que considerasse entre as duas perpendiculares, satisfaria o triângulo acutângulo. De fato, existem infinitos triângulos, desde que satisfassa a desigualdade triangular. Em relação a última parte, quero demostrar que qualquer ponto considerado "exterior" às duas paralelas satisfaça ao triângulo obtusângulo. E pontos considerados nas paralelas sejam retângulos. Como demostrou, podemos dividir o problema em probabilidades, penso que podemos usar uma distribuição para tal feito. Ats, Marcos Eike
Re: Curiosidade
Acho que podemos provar que há mais triângulos obtusos, não consegui ainda
imaginar o triplo dos agudos, mas...
Penso que podemos considerar duas circunferências de centros O1 e O2
respectivamente, tal que, se tangenciam num ponto p qualquer.
Suponhamos que os centros das circunferências são dois dos vértices de um
triângulo qualquer.
Na circunferência O1', façamos os eixos cartesianos x e y, tal que elas se
concorrem no centro da circunferência, de modo análogo, temos para a
circunferência O2'.
Então, veja que entre O1 e O2 posso coloca o outro vértice, repare que este
está limitado, suponhamos n triângulos na parte superior e n triângulos na
parte inferior do eixo y.
Para xO1 e yO2 para qualquer x e y pertencente a um domínio d qualquer.
Perceba que podemos ter mais imagens... Pois, verifique que o domínio pode
crescer indefinidamente.
Eu citei apenas uma idéia primitiva. Para provar que é o triplo, seria mais
complicado
Ats,
Marcos Eike
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Domingo, 14 de Maio de 2000 16:26
Subject: Curiosidade
Curiosidades:
1) No plano, existem 3 vezes mais triângulos obtusos do que triângulos
acutângulo!!
O matemático canadense, Richard K. Guy (já falecido, se não me
engano) provou este fato em 1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg.
175).
Alguém conhece uma outra demonstração?
2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante
colocado em 1893 por Lewis Carroll (pseudônimo do pastor inglês Charles
Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de "Alice no País das Maravilhas"):
"Se três pontos são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade
desses pontos serem vértices de um triângulo obtusângulo?"
Alguëm se habilita? Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2
3) Qual a probabilidade de se escolher 4 números dentre os elementos do
conjunto {1,2,3, ...,99} de modo que a soma seja divisível por 3?
Benedito Freire
Re: algorítmo da divisão
é mesmo. Não tinha percebido isso. Vi uma prova no livro. Ok Obrigado! Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Eduardo Grasser [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 12 de Maio de 2000 07:45 Subject: Re: algorítmo da divisão Pergunta: quem disse que 6k + 5 só nos fornece primos??? k=5 = 6k + 5 = 35 o que me leva a perguntar: existe polinômio que só nos forneça primos? Não! não existe... basta fazer a incógnita valer o valor do termo independente e o polinômio será divisível por este... Eduardo Grasser Campinas SP ICQ - 54208637 - Original Message - From: Marcos Eike Tinen dos Santos [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 11, 2000 8:54 PM Subject: Re: algorítmo da divisão O problema acredito que possa ser solucionado, como segue: Se provarmos que 3K + 2, retorna valores tanto composto, como primos, então: não temos a recípocra, pois [6K + 5, retorna apenas valores primos =( a prova é trivial )] Seja 3k + 2, tal que k seja um número qualquer. Digamos que 3k + 2 seja divisível por algum número d. (3k+2)/d pertence a N, para qualquer k. Então, digamos que k = d - 1 O que implica que (3d - 1)/d, Veja 3d == 0(mod d), pois seja (3,d) =1 temos que d==d==0(mod d) Mas, 3d -1 == -1(mod d). o que implica no absurdo! Portanto 3k + 2, não divide qualquer d. fazendo 3k + 2 dividir algum número par, ou seja da forma 2p para p =1 temos: 3k + 2 == 0 (mod 2), se e só se k= 2r. Fazendo 6k + 5 == 0 ( mod 3h+2) para qualque h=0 temos que: 3h + 2 = 1, o que é falso, pois h=0 ou 6k + 5 = 3h + 2 = 3(2k - h) = -3 = 2k - h = -1 = h = 2k + 1, ou seja ímpar. cqd A recíproca verifique que é falso, pois 6k + 5, não assumirá valores pares. A prova da recíproca pode ocorrer, de forma supondo que possa existir a recíproca, o que implicará num absurdo em alguma parte. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quinta-feira, 11 de Maio de 2000 13:46 Subject: algorítmo da divisão Olá pessoal Como faço para provar, utilizando o algorítmo da divisão, que todos os números inteiros da forma 6K+5 são também da forma 3K+2, mas não vale a recíproca? Obrigado Abraços Marcelo Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: algorítmo da divisão
O problema acredito que possa ser solucionado, como segue: Se provarmos que 3K + 2, retorna valores tanto composto, como primos, então: não temos a recípocra, pois [6K + 5, retorna apenas valores primos =( a prova é trivial )] Seja 3k + 2, tal que k seja um número qualquer. Digamos que 3k + 2 seja divisível por algum número d. (3k+2)/d pertence a N, para qualquer k. Então, digamos que k = d - 1 O que implica que (3d - 1)/d, Veja 3d == 0(mod d), pois seja (3,d) =1 temos que d==d==0(mod d) Mas, 3d -1 == -1(mod d). o que implica no absurdo! Portanto 3k + 2, não divide qualquer d. fazendo 3k + 2 dividir algum número par, ou seja da forma 2p para p =1 temos: 3k + 2 == 0 (mod 2), se e só se k= 2r. Fazendo 6k + 5 == 0 ( mod 3h+2) para qualque h=0 temos que: 3h + 2 = 1, o que é falso, pois h=0 ou 6k + 5 = 3h + 2 = 3(2k - h) = -3 = 2k - h = -1 = h = 2k + 1, ou seja ímpar. cqd A recíproca verifique que é falso, pois 6k + 5, não assumirá valores pares. A prova da recíproca pode ocorrer, de forma supondo que possa existir a recíproca, o que implicará num absurdo em alguma parte. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quinta-feira, 11 de Maio de 2000 13:46 Subject: algorítmo da divisão Olá pessoal Como faço para provar, utilizando o algorítmo da divisão, que todos os números inteiros da forma 6K+5 são também da forma 3K+2, mas não vale a recíproca? Obrigado Abraços Marcelo Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Como Prometi Carlos
Olá, Tudo blz? http://www.cut-the-knot.com/geometry.html Site bem interessante.. Tem a prova de muitos teoremas, além é claro do Teorema de Napoleão. Lá também tem prova por números complexos Acho q só com esse site, vc aprende muito, mas muito sobre a geometria. Ats, Marcos Eike
Geometria- dúvida na minha demonstração
olá pessoal, Venho pedir-lhe uma demostração para este problema, eu fiz aqui, só que tenho dúvidas. ABCD um quadrilátero convexo, e O a intersecção de suas diagonais, seja L,M,N os pontos médios de DB,BC e CA, suponha que AL, OM e DN seja concorrentes. Mostre que AD || BC. Ats, Marcos Eike
Re: Pergunta cretina!!!
Então Raph caso tenhamos uma questão dessa, acho melhor dar as duas respostas, pois no enunciado, nada nos informa de qual a dimensão que se quer que calcule. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 2 de Maio de 2000 20:22 Subject: Re: Pergunta cretina!!! Aqui vai uma explicação que me parece boa... O raciocínio *errado* usado é LINEAR. Ele funcionava assim: 12 horas = 1 Paulo 6 horas = 2 Paulos (até aqui, ok) portanto faça a média aritmética (m.a. = raciocínio LINEAR) 9 horas = 1.5 Paulo (H Talvez?) e usando o mesmo raciocínio linear 18 horas = 0 Paulos (?!?) 0 horas = 3 Paulos (?!?) O que está errado é que o raciocínio usado é linear mas as grandezas NÃO DEPENDEM LINEARMENTE uma da outra; como você mesmo disse, elas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (o que é bem diferente de LINEARMENTE DEPENDENTES E UMA SOBE QUANDO A OUTRA DESCE). O correto: se x é o número de "Paulos" e y é o número de horas, então: xy = Constante (NÃO a reta ax+by=Constante) De fato, é assim que se mede a quantidade de trabalho a ser feita, em pessoas-hora (1 Pessoa-hora = 1 Pessoa vezes 1 Hora = trabalho feito por uma pessoa em uma hora). No nosso caso: Trabalho a fazer = 12 Paulos-hora Agora, não é claro o que significa "Pedro é 50% mais eficiente". Se isto quer dizer que Pedro faz 50% mais em 1 hora, então 1 Pedro = 1.5 Paulo e o seu raciocínio esta correto: Trabalho = 12 Paulos-hora = 12/1.5 Pedros-hora = 8 Pedros-hora Pedro faz o trabalho em 8 horas. Agora, se "Pedro é 50% mais eficiente" quer dizer que ele faz o mesmo trabalho em 50% do tempo, as coisas mudam! 1 Pedro-hora = 2 Paulo-hora e Pedro faz o trabalho em 6 horas. Reconhecidamente, acho que a primeira interpretacao é a correta. Como a sua resposta final, a minha resposta também seria 8 horas.
Matemática, o que é?
Pessoal, gostaria de opiniões, a matemática é uma ciência que necessita mais de criatividade, de matéria, ou os dois? Ats, Marcos Eike
Re: Problemas - Alguém pode me AJUDAR??
Legal Não havia percebido tal relação tão óbvia. OBRIGADO EDMILSO. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Edmilson [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quinta-feira, 27 de Abril de 2000 17:33 Subject: Re: Problemas - Alguém pode me AJUDAR?? -Mensagem Original- De: Marcos Eike Tinen dos Santos [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 23:23 Assunto: Problemas - Alguém pode me AJUDAR?? 1)Pode n dividir !n? !n = [ 1! + 2! + 3!+4! + 5! + ... ] Note que !n é sempre ímpar para todo n inteiro positivo, pois a partir de 2 ! todos são pares somado com 1 ! temos um número ímpar. Assim, n não pode dividir !n se n é par. Pois, supondo por absurdo que n dividi !n e que n é par temos, que n divide algum ímpar (pois !n é ímpar), logo n | 2k +1, para algum k inteiro e 2 | n, logo 2 | 2k +1, o que é absurdo. Logo se existir n que divida !n, este deve ser ímpar. Testei alguns e cheguei a conclusão que : 3 | !3, 9 | !9 , 11 | !11, 33| !33 , 99|!99 , ... E agora, como generalizar 2)Prove se a sequênciade Fibonacci possui infinitos primos ou não. Ats, Marcos Eike
Re: Problemas - Alguém pode me AJUDAR??
A sequência de Fibonacci tem uma relação interessante, onde podemos formar, analogamente ao fi(x) de Euler, pares de números primos entre si. Pois veja que an == an-2 (mod an-1) an == an-3 (mod an-2) Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Marcos Eike Tinen dos Santos [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 23:23 Subject: Problemas - Alguém pode me AJUDAR?? 1)Pode n dividir !n? !n = [ 1! + 2! + 3!+4! + 5! + ... ] 2)Prove se a sequênciade Fibonacci possui infinitos primos ou não. Ats, Marcos Eike
Re: Problema de inteiros
Talvez uma prova interessante, seria mostrar que a soma de dos múltiplos seja infinita, então de fato sempre teremos um Nn. Para completar, vc poderia supor a menor soma de múltiplos positivos possíveis, que neste caso seria primos, e então mostrar que sempre haverá Nn. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 20:55 Subject: Re: Problema de inteiros Caro Marcos Eike Tinen dos Santos, concordo com a sua colocação de que importante é entender que quando mdc(x,y)1 não podemos obter todos os números somando multiplos desses. Agora, tratemos do outro problema onde eu me compliquei todo: queremos que ax + by = n, com mdc(x,y)=1 e a,b 0, para isso temos que descobrir um N onde satisfazemos essas condições com o n N. Na minha solução acho que para N = 2xy sempre conseguimos, mas usei aquele processo que eu achei meio artificial e confuso de somar e diminuir axy... alguma outra idéia? Obrigado! From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema de inteiros Date: Mon, 24 Apr 2000 19:31:30 -0300 sim, amigo José, eu só comentei, pois acredito que este seja um dos pontos cruciais na solução do problema. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: José Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 17:51 Subject: Re: Problema de inteiros Se nao forem primos entre si, eh falso. Como voce vai obter 5, que eh impar, como uma soma de multiplos de 4 e 6? -Mensagem original----- De: Marcos Eike Tinen dos Santos [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 11:06 Assunto: Re: Problema de inteiros Um dos fatos importantes a ser considerado, é: Por que o problema nos impõe a propriedade de que eles devem ser primos entre si. Será que foi por acaso? Eu penso que essa resposta é a metade do caminho para uma solução bem formulada. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 22 de Abril de 2000 17:42 Subject: Problema de inteiros E ai, pessoal? Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última Eureka! e acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai. 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos obter qualquer número somando múltiplos de x e de y. Solução. Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de modo que fx + gy = n ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n ) Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f: f = (n - gy)/x Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num s.c.r. então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas vamos por partes: Suponhamos que n - g1y =/= n - g2y (mod x)'=/= incongruente g1y =/= g2y (mod x) == afirmação similar a x não divide y(g1-g2) Como mdc(x,y)=1 então g1 =/= g2 (mod x) Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod x). Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou seja, que nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente: n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são incongruentes módulo x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x, necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e portanto haverá um g, tal que: f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado. 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N, de modo que para todo o n N, podemos escolher múltiplos positivos de x e de y que somados dão n. Nessas condições teremos que ter Solução. O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de modo que, para n N fx + gy = n (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail) A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para todo o a vale axy - ayx = 0, daí: fx + gy + axy - ayx = n (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f + ay e g - ax sejam ambos positivos. Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy + 2ayx esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay e g-ax sempre positivos. Tanto f+ay q
Re: Problema de inteiros
Um dos fatos importantes a ser considerado, é: Por que o problema nos impõe a propriedade de que eles devem ser primos entre si. Será que foi por acaso? Eu penso que essa resposta é a metade do caminho para uma solução bem formulada. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 22 de Abril de 2000 17:42 Subject: Problema de inteiros E ai, pessoal? Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última Eureka! e acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai. 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos obter qualquer número somando múltiplos de x e de y. Solução. Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de modo que fx + gy = n ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n ) Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f: f = (n - gy)/x Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num s.c.r. então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas vamos por partes: Suponhamos que n - g1y =/= n - g2y (mod x)'=/= incongruente g1y =/= g2y (mod x) == afirmação similar a x não divide y(g1-g2) Como mdc(x,y)=1 então g1 =/= g2 (mod x) Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod x). Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou seja, que nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente: n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são incongruentes módulo x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x, necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e portanto haverá um g, tal que: f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado. 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N, de modo que para todo o n N, podemos escolher múltiplos positivos de x e de y que somados dão n. Nessas condições teremos que ter Solução. O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de modo que, para n N fx + gy = n (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail) A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para todo o a vale axy - ayx = 0, daí: fx + gy + axy - ayx = n (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f + ay e g - ax sejam ambos positivos. Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy + 2ayx esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay e g-ax sempre positivos. Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja basta que n-xy0 e portanto que n xy. Logo para N = xy vale o enunciado. Obrigado para quem leu! E tem algum erro? Valeu... Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Matérias interessantes
Estudando aqui no meu livro, encontrei algumas relações interessantes sobre o fi de Euler. E gostaria de compartilhar tal assunto. Chama-se The Half-Totient Tree O número de maneiras que um inteiro n2 pode ser dividido em duas partes primas entre si é: H(n) = fi(n)/2 Um fato que me chamou a atenção foi que com isto posso construir uma árvore contendo todos os inteiros. Veja como os números primos variam, e observe que n=p^k para todo k variam. é interessante, pois podemos tirar algumas conclusões. Ats, Marcos Eike
Re: critica
Conflitando novamente, mas de uma forma humilde, pois não sou nenhum expert, sou apenas um aluno, que gosta de discutir tais questões. sim, mas vale lembrar que se nós não pensarmos em coisas extremas ou talvez impossíveis, seremos sempre os mesmos, sempre com a mesma idéia. Vejamos um exemplo simples: Quando Albert apresentou sua relatividade geral, "ninguém" deu um apóio sensível, pois a sua teoria era considerada irreal para os padrões físicos da época, mas Albert foi persistente até provar teoricamente que elas tinham significado no Universo. Podemos dizer o mesmo no caso de 1=0,999..., podemos sim, pensar que há um número infinitamente pequeno, e se queremos provar, devemos ser persistentes. OBS: Mas, para a matemática no conjunto dos reais este fato é explicado de uma forma simples e direta. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: José Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 23:18 Subject: Re: critica Para aqueles que estao acompanhando a discussao sobre 0,999... On Fri, 21 Apr 2000, Ralph Costa Teixeira wrote: Oi, Elon, galera. Eu até sinto que as observações do Elon não foram dirigidas a minha mensagem, não sei... O Ralph nao enfiou a carapuca. Pois eu enfiei: senti que as observacoes foram dirigidas a mim. Mas acho que minha mensagem nao foi entendida (esta eh uma das piores sensacoes de um professor: sentir que nao foi entendido, ainda mais porque acredito que o fregues tem sempre razao: a culpa eh minha). Vou reproduzir alguns pedacos do meu texto com explicacoes supostamente melhores: =Voce pode imaginar que este tipo de discussao atarantou os =matematicos durante muitos anos. Aqui eu quis dizer que as pessoas que tem esta duvida nao sao loucas. Os matematicos tiveram muitas duvidas sobre isto, assim como voces. =Para evitar que a Matematica =estagnasse ou que descambasse para discussoes do tipo: "eu =acho que 2+2=5 porque sou budista", os matematicos, desde a =segunda metade do seculo XIX (culminando talvez com Hilbert, =na virada para o seculo XX), desenvolveram uma atitude mais =pragamatica, convencionando um sistema mais modesto de "certezas" =e de metodos aceitos por todos (os matematicos), a partir dos quais =eh possivel deduzir tudo que um matematico precisa para trabalhar =e aplicar a matematica ao mundo fisico. Aqui eh que eu acho que houve o grande mal-entendido. Falaram em "atitude dogmatica", quando eu disse "pragmatica", que eh quase o contrario. Eh justamente uma atitude humilde: "nao cabe a nos resolver os grandes problemas da humanidade (que alias nunca ninguem resolveu), por isto vamos limitar o nosso raio de acao e de certezas". Esta atitude humilde eh que me parece a essencia daquilo que se chama "formalismo" (infelizmente um nome muito mal compreendido e vilipendiado). =Tal sistema consta de conceitos =primitivos, axiomas, e regras aceitas de Logica, e a partir dahi fluem os =teoremas conhecidos. Dentro deste sistema, nao =ha lugar para "numeros infinitesimais" ou para consideracoes esotericas =sobre o infinito. E dentro de tal sistema, como ja disse em outro e-mail, =nao =ha a menor duvida de que 0,999...=1. =Agora, ninguem pode impedir ninguem =de atribuir outros significados a esses termos e fazer suas proprias =consideracoes "filosoficas". Mas isto nao eh considerado propriamente =matematica pelos matematicos. Aqui falo "matematicos" de um ponto de vista historico-sociologico. Eh uma constatacao, e nao um juizo de valor. Nao ha em nenhum lugar sagrado escrito o que eh Matematica. Coisas que para nos, hoje, sao Astronomia, ja foram Matematica. O que quero, enfim, dizer eh que dentro desta Matematica, nao ha duvida de que 1=0,999..., e eh ateh um problema facil. O que o Wagner, o Ralph, eu e o Nicolau fizeram foi usar uma serie de argumentos "ad hominem", para mostrar que se voce nao admitir que 0,999...=1, voce serah obrigado a contradizer varias coisas que voce usa no seu dia a dia matematico. Mas como eu disse, ninguem impede que voce comece hoje a duvidar de coisas que ateh hoje aceitava. Va em frente, lembrando, como disse muito bem o Nicolau, que tudo tem seu preco... JP
Proposta
Pessoal, Num segmento de reta há 1999 pontos, tal que cada ponto ocupa uma certa posição dessa reta. O que se pode fazer para que a distância entre os pontos seja máxima, porém iguais? Me corrijam se estiver errado, acredito de podemos utilizar a média aritmética para tal situacão, pois a distância entre dois pontos deve ser máxima e iguais. Esse é início de um problema, pois eu queria saber como posso fazer para encontrar a mínima distância entre dois pontos tal que seja a máxima possível numa esfera. Ats, Marcos Eike
Re: Intrigante
Eu acredito que pode causar dúvida sim, pois se pensarmos mais fisicamente, nenhuma reta poderia ocupar a mesma posição da outra, porém, isto não preocupa os matemáticos, pois, este fato não é tão interessante, na matemática tradicional. Se pensarmos em outras teorias Não-Euclidianas, de fato a dúvida pode preocupar, pois às vezes é bem diferente. Como por exemplo: Por dois pontos quaisquer passam mais de uma reta. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Marcos Paulo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 22 de Abril de 2000 16:56 Subject: RES: Intrigante Não vejo nada de errado nesse postulado! retas paralelas NÃO têm pontos em comum! e retas coincidentes são na verdade a mesma reta! jah qto ao quinto postulado -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Via Lux Enviada em: sexta-feira, 21 de abril de 2000 01:00 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Intrigante Ola amigos Uma perguntinha intrigante: Conversando com um aluno ele indaga: Professor, nao há uma certa falha nos postulados euclidianos? Por que diz isso, repliquei. Ora, nao ha um axioma da geom plana que diz que por dois pontos distintos (do espaco) passa uma unica reta? Sim, de fato. E como ficam as esquecidas retas paralelas e coincidentes? Respondi que havia uma silepse na afirmacao, ou seja, o postulado diria " passa uma unica reta suporte", comportanto pois as paralelas coincidentes. Que dizem os colegas todos? Como explicariam vcs a mesma pergunta? Um abracao, Luciano M. Filho
Re: O dia que nao acaba
Oi pessoal, Na minha opinião, não postulando que o infinito é algo que não tem fim, sei que existe um número tão diminuto que me fará uma desigualdade, porém não posso vê-lo, mas apenas sei que existe. O problema maior é mostrar que tal número, se é que posso chamá-lo assim, existe. Pois, a matemática tradicional não nos permite tal afirmação. Talvez daqui a algum tempo, teremos uma matemática mais flexivel, de forma a nos provar se a afirmação é falsa ou verdadeira. Porém, a matemática tradicional nos dá uma resposta rápida e imediata, 0,... = 1 Pois, se pensarmos em PG, e limite temos: 0,9 + 0,09 + = 0,9/9/10 = 1 Ats, Marcos Eike
Re: A e B
Vc pode provar da forma mais simples possível que é usando o algorítmo da divisão. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Bruno Guimarães To: Matematica- puc Sent: Quarta-feira, 19 de Abril de 2000 17:25 Subject: A e B Por favor, como eu provo que: (a^3 - b^3) = (a - b) * (a^2 + a*b + b^2)
Re: A e B
use a divisão polinomial, ou seja divida a^3 - b^3 por a-b Então, pela definição da divisão Euclidiana, vc obtém o que queria. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Bruno Guimarães [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 19 de Abril de 2000 22:03 Subject: Re: A e B - Original Message - From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, April 19, 2000 8:13 PM Subject: Re: A e B Bruno Guimarães escreveu: Por favor, como eu provo que: (a^3 - b^3) = (a - b) * (a^2 + a*b + b^2) Multiplique o lado direito que voce encontrara o lado esquerdo. Eu gostaria de saber como eu acho a expressao: (a - b) * (a^2 + a*b + b^2) a partir da (a^3 - b^3).
Re: Problema: alterando levemente as hipóteses
Início da discussão: Observe que o único par que temos que é primo é o 2, sendo pertencente ao conjunto dos inteiros positivos. Então, podemos concluir de fato que todos os 2000 inteiros são ímpares, pois assim, me garantirá um número par, que neste caso será composto. Podemos, supor, então, como não há restrição, que esses 2000 inteiros são os próprios primos, já que mdc(p1,p2,p3,...,p2000) = 1 Ats, Marcos Eike - Original Message - From: benedito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Segunda-feira, 17 de Abril de 2000 20:21 Subject: Problema: alterando levemente as hipóteses Alguns dias atrás enviei um problema que foi prontamente resolvido por um dos membros da lista. O que mostra que o pessoal está altamente ligado. Fazendo uma ligeira, mas sensível, modificação submeto-o aos membros da lista: Problema Encontre 2000 inteiros positivos relativamente primos, tais que todas as possíveis somas de dois ou mais desses números resultam em números compostos. Benedito Freire
Re: Problema
Observei que minha solução está restrita ao teorema anterior, então,
tentarei unificá-la.
Ats,
Marcos Eike
- Original Message -
From: André Amiune [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Segunda-feira, 17 de Abril de 2000 22:32
Subject: Re: Problema
Um quadrilátero convexo não precisa ser necessariamente um retângulo...
André
- Original Message -
From: Marcos Eike Tinen dos Santos [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, April 16, 2000 10:53 PM
Subject: Re: Problema
Correção datilográficas. :)
O problema pode ser demostrado por desigualdade triangular, verifique
que
o
maior lado é oposto ao maior ângulo (demostração bastante simples).
Então,
note que sao formados dois triângulos retângulos que implica que suas
hipotenusas são maiores que os seus respectivos catetos, veja que as
hipotenusas são AM = x e AP = y, tal que x+y = a
Então temos: x l e y d seja d e l os lados do quadrilátero convexo.
Então por tricotomia temos:
x + y l + de x*y ld
Temos que a^2 = x^2 + 2xy + y^2 = xy = [a^2 -(x^2+y^2)]/2
Substituindo na segunda expressão temos:
[a^2 - (x^2 + y^2)]/2 ld = S, sendo S a área do quadrilátero.
Então temos por indução que se [a^2 - (x^2+y^2)]/2 é maior que S. então
:
a^2/ 2 S.
Veja que y^2 + x^2 = 0
Ats,
Marcos Eike
- Original Message -
From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Domingo, 16 de Abril de 2000 18:09
Subject: Problema
Ola pessoal da lista
Alguem poderia enviar a soluçao do problema abaixo
1. Os pontos M e P sao pontos medios de BC e CD, respectivamente. BC e
CD
sao lados de um quadrilatero convexo ABCD. Eh sabido que AM + AP=a.
Prove
que a area de ABCD e menor que {a(2)/2}.
OBS.: a(2)/2 = "a" ao quadrado sobre 2. (a caixa nao aceita acentos,
por
isso nao usei o circunflexo).
Obrigado
Abraços
Marcelo
__
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Re: Problema: alterando levemente as hipóteses
Retirem o que eu disse. :) Acho que estou durmindo ainda. Desculpe-me. Banguncei tudo aqui.. I + I = P + I = I Então, quem me garante que esta soma P + I é um composto? Ats, Marcos Eike - Original Message - From: benedito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Segunda-feira, 17 de Abril de 2000 20:21 Subject: Problema: alterando levemente as hipóteses Alguns dias atrás enviei um problema que foi prontamente resolvido por um dos membros da lista. O que mostra que o pessoal está altamente ligado. Fazendo uma ligeira, mas sensível, modificação submeto-o aos membros da lista: Problema Encontre 2000 inteiros positivos relativamente primos, tais que todas as possíveis somas de dois ou mais desses números resultam em números compostos. Benedito Freire
Re: Problema
O problema pode ser demostrado por desigualdade triangular, verifique que o
maior lado é oposto ao maior ângulo (demostração bastante simples). Então,
note que sao formados dois triângulos equiláteros que implica que suas
hipotenusas são maiores que os seus respectivos catetos, veja que as
hipotenusas são AM = x e AP = y, tal que x+y = a
Então temos: x l e y d seja d e l os lados do quadrilátero convexo.
Então por tricotomia temos:
x + y l + de x*y ld
Temos que a^2 = x^2 + 2xy + y^2 = xy = [a^2 -(x^2+y^2)]/2
Substituindo na segunda expressão temos:
[a^2 - (x^2 + y^2)]/2 ld = S, sendo S a área do quadrilátero.
Então temos por indução que se [a^2 - x^2+y^2] é maior que S. então : a^2/ 2
S.
Veja que y^2 + x^2 = 0
Ats,
Marcos Eike
- Original Message -
From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Domingo, 16 de Abril de 2000 18:09
Subject: Problema
Ola pessoal da lista
Alguem poderia enviar a soluçao do problema abaixo
1. Os pontos M e P sao pontos medios de BC e CD, respectivamente. BC e CD
sao lados de um quadrilatero convexo ABCD. Eh sabido que AM + AP=a. Prove
que a area de ABCD e menor que {a(2)/2}.
OBS.: a(2)/2 = "a" ao quadrado sobre 2. (a caixa nao aceita acentos, por
isso nao usei o circunflexo).
Obrigado
Abraços
Marcelo
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Problemas de Hilbert.
Quem quiser é só verificar no endereço: http://aleph0.clarku.edu/
Re: Re :Problema de Geometria
Foi o mesma idéia que usei para esse exercício, porém criei mais um segmento d, nas semi-retas que tem como origem os vértices do triângulo, com isso, encontrei a mesma solução. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Edmilson To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 4 de Abril de 2000 10:03 Subject: Re :Problema de Geometria Como resolver? Sejam a,b,c lados de um triangulo. Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] 2 Abraços, Marcio Caros amigos da lista, eu acho que minha solução está correta, mas peço para verificarem se há algum furo. Sejam a, b, c lados de um triângulo. Prove que a /(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2. Podemos supor sem perda de generalidade que a ³ b ³ c (todos positivos) Daí, a + c ³ b +c == 1/(a+c) £ 1/(b+c) == b/(a+c) £ b/(b+c) ( i ) e também, a + b ³ b +c == 1/(a+b) £ 1/(b+c) == c/(a+b) £ c/(b+c) ii ). Substituindo (i) e (ii) no primeiro membro da desigualdade a provar e usando a condição de existência de triângulos (a b+c), temos : a /(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) £ a /(b+c) + b/(b+c) + c/(b+c) = a /(b+c) + (b+c)/(b+c) = a/(b+c) + 1 1 + 1 = 2. Atenciosamente, Edmilson
Re: Problema de Geometria
Uma prova mais geométrica, seria provar por desigualdade triangular. Tenho que ver como faço para descrever tudo que fiz, mas caso veja que ninguém resolveu, eu faço o possível, para descrever as linhas que tracei aqui no papel. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Marcio [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 28 de Março de 2000 01:31 Subject: Problema de Geometria Como resolver? Sejam a,b,c lados de um triangulo. Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] 2 Abraços, Marcio
Re: interessante
Prezado Morgado, Sei que minha prova é totalmente medíocre, mas não poderia provar tal situação por contradição? Supondo que sqrt(x) seja pi - s ; para todo s pertencente ao conjunto dos números inteiros. Depois, por absurdo provaria que, como por definição nunca o comprimento da circunferência didivido pelo seu diâmentro será um número inteiro. Atenciosamente, Marcos Eike - Original Message - From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 21 de Março de 2000 07:36 Subject: Re: interessante José Fabrício Maia escreveu: Colegas gostaria de saber como se mostra que raiz quadrada de 2 elevado a raiz quadrada de 2 é irracional. José Fabrício: Isso tem a ver com o teorema de Gelfond-Schneider. Isso não é coisa simples. Basta dizer que em 1900, no Congresso Internacional dos Matemáticos, David Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas que na sua opinião eram as tarefas mais importantes às quais os matemáticos deveriam se dedicar no século XX. O seu problema é o sétimo problema de Hilbert e um dos dez, dentre os 23, que Hilbert considerava mais importante. Leia Djairo Guedes de Figueiredo, "Números Irracionais e Transcendentes" e Ivan Niven " Numbers: Rational and Irrational". O primeiro foi editado pela SBM e creio que há uma tradução do segundo editada pela SBM. O original do segundo é editado pela MAA na New Mathematical Library. Morgado. [EMAIL PROTECTED]
Dúvida quem pode ajudar!!!
Mostre que existem infinitos inteiros positivos n satisfazendo simultaneamente as seguintes condições: i. n é ímpar; ii. n possui exatamente 1200 divisores positivos; iii. existem exatamente 1997 triângulos retângulos, dois a dois não congruentes, de lados inteiros e n como medida de um dos catetos Vi a solução no Eureka, quem pode me explicar a parte que da solução : 1/2(d(n^2) - 1) ? Será que não pode ter outro meio de provar? Atenciosamente, Marcos Eike
Re: sistema
Caro Raph, acho que há mais possibilidades, pois numa das olimpíadas de matemática da primeira fase Sênior ou Júnior, não me recordo, na última questao apareceu esta questão, e se bem me recordo, possuia 3 soluções. Atenciosamente, Marcos Eike - Original Message - From: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 21 de Março de 2000 22:19 Subject: Re: sistema Oi, Elon. Argh, estou sem tempo para comentar isso, então cuidado: grande possibilidade de eu falar besteira aí embaixo! Vou "xutar" umas coisas, por favor verifiquem. Basicamente, você quer x^y=y^x com yx0, certo? Afinal, depois que você encontrá-los, basta tomar a=y/x e a temos uma solução da sua equação. Parte deste problema já foi discutido aqui, disfarçado... Tinha um thread sobre x^x^x^x^x..., cujo artigo mais informativo é o do Gugu: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00169.html Siga o thread todo se você não lembra. O que o Gugu disse (e que eu não sei se é fácil de provar) é que y=x^x^x^x... (definido de cima para baixo, como no artigo do Gugu) existe quando e^(-e) x e^(1/e); neste caso, x^y = y^x e y x... eu acho. Acredito que para x fora desse intervalo não há solução com y!=x... Acho que há um artigo numa das revistas da AMS que trata disso... e acho que há algo assim na RPM também... Finalmente, acho que dá para mostrar a existência da solução para f(y) = x^y-y^x = 0 para um x fixo naquele intervalo usando um pouco de cálculo... talvez não para o intervalo do Gugu, mas para intervalos menores. Finalmente, a única solução inteira, acredito ser 2^4=4^2, se é isso que você quer. Argh, tantos achismos, mas eu tenho que ir embora para pegar minha carona... :) Abraço, Ralph Elon Santos Corrêa wrote: Olá pessoal da lista, gostaria de ver soluções para o sistema de equações: x^y = y^x e y = ax com a 0 e diferente de 1. Obs.: o símbolo " ^ " significa elevado ao expoente ... Antecipadamente agradeço as respostas, Elon.
Re: Problema da OBM
Marcelo, observe que fiz:
Suponhamos os números das casas sejam consecutivos da primeira a décima
sétima. Então, considerando que n+1 seja o número da primeira casa, então
temos uma sequência:
A = n+1,n+2,n+3,..., n+17.
tendo a média aritmética dos números das casas antes de queimar uma casa,
temos:
(n+1+ n+2 + ... + n+17)/17= (17n + 153)/17
Como queimou uma casa, então perdeu-se um número. Então suponhamos que o
número seja n + j. Para todo j pertencente ao conjunto {1,2, ... , 17}
tendo a média aritmética depois:
(n+1+n+2+...+ n+17 - (n+j))/16
Então:
Pela diferença temos:
17j = 153 + 68
17j = 221
j = 13
Então, concluímos que a casa queimada no incêndio é a de número 13.
talvez possa estar errado, caso esteja poste sua solução.
Marcos Eike
- Original Message -
From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Domingo, 12 de Março de 2000 20:33
Subject: Problema da OBM
Olá pessoal,
Tem um problema da OBM que resolvi só que eu não estou entendendo
bem
o que ele quer. É assim:
Exitem em uma rua 17 casas numeradas, da primeira a última, com numeros
naturais consecutivos. Um incêndio destruiu uma das casas e, com isto, a
diferença entre a antiga média dos números das casas e a nova média e
0,25.
qual foi a casa queimada?
Bom, eu achei como resultado que a quinta casa havia sido incendiada. Mas
eu
tive uma dúvida: eu não sei se o problema está pedindo a posição da casa
ou
o número da casa. Alguém poderia dizer se o meu resultado está certo? E tb
dizer se é o número da casa ou a posição dela que o problema quer?
Obrigado
Abraços
Marcelo
__
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Dúvida sobre um problema da IMO...
Estudando um problema da IMO de 1996 We are given a positive integer r and a rectangular board divided into 20 x 12 unit squares. The following moves are permitted on the board: one can move from one square to another only if the distance between the centers of the two squares is Ör. The task is to find a sequence of moves leading between two adjacent corners of the board which lie on the long side. (a) Show that the task cannot be done if r is divisible by 2 or 3. (b) Prove that the task is possible for r = 73. (c) Can the task be done for r = 97? No ítem 1, observe que fiz: Se r é divisível por 2 e 3 então, por definição r é um múltiplo de 2 e 3. Como no enunciado d = sqrt(r) = d^2 = r Considerando tal fato, supûs um eixo cartesiano de tal forma que pudesse trabalhar com essa distância d, em qualquer parte do tabuleiro. d^2 = a^2 + b^2 = r = a^2 + b^2 Então de r é divisível por 2 e por 3, então: a^2 + b^2 também o é. Podemos considerar que a^2 e b^2 seja divisível por 2 e 3. Veja que todas os quadrados pode ser congruentes a 0 mod 3 ou a 1 mod 3. Então, a e b são múltiplos de 3. de fato : (a^2 + b^2)/3. Considerando que o começo seja na coordenada (0,0), então, temos coordenadas (3m,3n), e a única solução ao sistema é (19,0). cqd.. Acho que provei de forma um pouco coerente, mas depois de revisar minha prova, observei que se eu levasse a peça a coordenada (18,0). Teríamos, como dividir por 3 e por 2 o sistema.. r = a^2 + b^2 . Aí, eu me indaguei será que eu interpreto a distância como a soma das distâncias, ou seja, eu movo a peça para várias posições e somo esse percurso, ou a interpreto como sendo a distância final. Muito Obrigado! Marcos Eike
Dúvida numa questão.
Estudando um problema da IMO de 1996 We are given a positive integer r and a rectangular board divided into 20 x 12 unit squares. The following moves are permitted on the board: one can move from one square to another only if the distance between the centers of the two squares is Ör. The task is to find a sequence of moves leading between two adjacent corners of the board which lie on the long side. (a) Show that the task cannot be done if r is divisible by 2 or 3. (b) Prove that the task is possible for r = 73. (c) Can the task be done for r = 97? No ítem 1, observe que fiz: Se r é divisível por 2 e 3 então, por definição r é um múltiplo de 2 e 3. Como no enunciado d = sqrt(r) = d^2 = r Considerando tal fato, supûs um eixo cartesiano de tal forma que pudesse trabalhar com essa distância d, em qualquer parte do tabuleiro. d^2 = a^2 + b^2 = r = a^2 + b^2 Então de r é divisível por 2 e por 3, então: a^2 + b^2 também o é. Podemos considerar que a^2 e b^2 seja divisível por 2 e 3. Veja que todas os quadrados pode ser congruentes a 0 mod 3 ou a 1 mod 3. Então, a e b são múltiplos de 3. de fato : (a^2 + b^2)/3. Considerando que o começo seja na coordenada (0,0), então, temos coordenadas (3m,3n), e a única solução ao sistema é (19,0). cqd.. Acho que provei de forma um pouco coerente, mas depois de revisar minha prova, observei que se eu levasse a peça a coordenada (18,0). Teríamos, como dividir por 3 e por 2 o sistema.. r = a^2 + b^2 . Aí, eu me indaguei será que eu interpreto a distância como a soma das distâncias, ou seja, eu movo a peça para várias posições e somo esse percurso, ou a interpreto como sendo a distância final. Se chegar mais mensagem para vc, me desculpe, é porque estão voltando minha mensagem. Muito Obrigado! Marcos Eike
Re: xadrez e matemática
Não sei se estou correto ao deduzir tal fato, mas segue para vc avaliar. OK? Se a rainha se mexe na horizontal, vertical e diagonal, vc concorda que não devemos ter de maneira nenhuma uma rainha nestas direções? Uma maneira muito simples que podemos perceber que podemos ter infinitas rainhas, veja que estou considerando o tabuleiro infinito, se colocarmos as rainhas posicionadas uma em relação a outra da forma do movimento do cavalo, ou seja duas casas em uma direção e 1 casa em outra direção. Talvez podemos construir uma série para este fato. EX: Podemos supor que a primeira peça seja posta na primeira casa, então temos uma sequência de ímpares. Marcos Eike - Original Message - From: Siddharta Gautama [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Terça-feira, 7 de Março de 2000 22:27 Subject: xadrez e matemática --- existe um problema conhecido entre os enxadrezistas que é colocar 8 rainhas (rainha é uma peça que se move na horizontal, vertical e diagonal, sem limites de casa) no tabuleiro sem que nenhuma ameace a outra (ou seja, não existe movimento possível em um lance pra nenhuma delas em que ela se choque com outra). não é muito difícil e com um pouco de acerto e erro se consegue. o que eu queria saber é como se resolveria isso através da matemática - tanto em como saber os arranjos quanto saber quantos eles são. Tentar fazer algo parecido com os cavalos (que andam 2 casas em uma direção e 1 na outra por lance) também parece interessante. grato, --- Siddharta (aka Steppenwolf)
Re: Teorema de pitágoras
Se eu tiver enganado me corrijam, mas o teorema de pitágoras na verdade era para calcular área não? Marcos Eike - Original Message - From: Luciano Gobitta [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 11 de Março de 2000 00:26 Subject: Teorema de pitágoras Alguns dos colegas da lista conhece a história da origem do teorema de pitágoras? por que foi desenvolvido, quando foi, etc. Obrigado Luciano __ Do You Yahoo!? Talk to your friends online with Yahoo! Messenger. http://im.yahoo.com
Re: matemática no enem
Olá, José Fabrício. Como vai? Li sua mensagem e a achei muito interessante, pois discute o que os alunos pensam, e lógico o que eu penso, pois sou aluno também. Aprendemos uma matemática teorizada, porém, por estarmos no início de nosso curso, ou seja, segundo grau ou primeiro grau, achamos que certas matérias são inúteis, de fato, essa conclusão pode ser aceita de uma forma bastante convidativa, pois não podemos usar toda a teoria aprendida, navida cotidiana. Mas, me pergunto: O que é vida cotidiana? A filosofia matemática tenta explicar muitas partes que a matemática pura e teórica deixa a desejar. Um exemplo interessante a se citar é: "O que são pontos?" Podemos pensarem várias formas para um ponto. Euclides disse que pontos são "coisas"que não possuem partes. Porém, se não possui partes, implica na falta de dimensão. Se não tem dimensão não existe. Por isso, às vezes fico pensando, ao meu ver o postulado proposto por Euclides não tem uma correta interpretação da realidade, pois um ponto é relativo. Prefiro não me referira pontos, mas sim um lugardo espaço. Porém, outra questão é relevante neste assunto, o que seria a realidade? Entende? A matemática ela é uma ferramenta criada pelo homem que atende nossas exigências de realidade, porém não pode ser totalmente aplicável a vida cotidiana. De fato, acho que taisconceitos não vão se perder, pois nós precisamos dele para alguma coisa, e se um grande mestre o descobriu foi porque exergou mais longe que outros, como dizia Newton: "Se vi mais longe foi porque estava sobre ombros de gigantes". Como disse JP, essa questõs sempre serão relevantes. Atenciosamente, Marcos Eike - Original Message - From: José Fabrício Maia To: discussão de problemas Sent: Terça-feira, 7 de Março de 2000 02:26 Subject: matemática no enem Caros amigos da lista, não sei se o assunto é adequado, mas não vejo prejuízo nenhum para a lista. Gostaria de ter a opinião de vocês. Vou tentar ser breve: O exame nacional propõe situações práticas, contextualizadas, exigindo do aluno, raciocínio e não simplesmente memorização de fórmulas. Não vejo problema até aí. No entanto muitas questões exibidas nas provas anteriores, embora bem boladas, não abrange toda a matemática que se ensina em sala de aula. Continuando nesse ritmo, então, existe a possibilidade de se excluir naturalmente determinados conteúdos do vestibular e consequentemente dos currículos dessa nova geração. Será que daqui a alguns anos esse conhecimento elaborado, adquirido através de grandes mestres, textos de livros e revistas não vão se tornar inadequados as novas propostas de ensino por não ser tão "prático"? Tal conhecimento não ficará mais elitizado ou mesmo esquecido? O conhecimento elaborado e o conhecimento cotidiano na minha opinião devem caminhar juntos. Mas, a partir do momento que se exclui uma porcentagem tão alta de conteúdos matemáticos, parece até que apenas uma pequena parte do que se ensina tem utilidade prática. Todo conhecimento tem sua importância em nosso crescimento. Mas do jeito que as coisas ocorrem, parece até que foi um desperdício aprender tanto. [EMAIL PROTECTED] Grato!
Re: Esfera em 15
Pavlos, como fizeste esta configuraçao tentei de vários modos possíveis, ou melhor, nem todos, pois não consegui concluir a resposta. No máximo que consegui pensar foi 8 partes. Pois, poderia cruzar os planos passado-os no centro da esfera te tal modo que formassem arcos congruentes. Por favor, poste a resposta. Marcos Eike - Original Message - From: Pavlos Bahia Konstadinidis [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quarta-feira, 1 de Março de 2000 12:54 Subject: Esfera em 15 Caros problemistas, Alguem poderia me dizer se o problema seguinte tem uma solucao curta e/ou "elementar" ? Dada uma esfera no espaco, e possivel dividi-la em 15 pedacos de mesmo volume usando 4 planos ? OBS: Notem que como 4 planos podem ser arranjados de forma a dividir o espaco em 15 regioes, sempre podemos dividir a esfera em 15 pedacos com 4 planos. Na verdade, nao e dificil mostrar que com 4 planos o numero maximo de pedacos que podemos conseguir e 15. Valeu! Abracos Cordiais, -- Pavlos.
Re: ajuda
Muito bonita sua solução. Ela me esclareceu algumas dúvidas q tinha. Valeu! - Original Message - From: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Quinta-feira, 2 de Março de 2000 19:52 Subject: Re: ajuda Maneira 1 de fazer (fatoracao magica; dificil, mas gera todas as solucoes inteiras se voce quiser): i) Fato: a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) ii) Se voce tentar usar isto abaixo com a=x, b=-y e ajeitando c para que apareca o 3abc, e trabalhando um pouco mais, voce verah que: (3x-3y-1)(9x^2+9y^2+3x-3y+9xy+1)=1646 (se voce duvida, abra este produto e verifique que ele eh equivalente aa equacao abaixo) iii) Note que a equacao original implica que xy (pois x e y sao naturais!). Como 1646 = 2.823 e 823 eh primo, ha apenas 4 hipoteses a considerar: 3x-3y-1 = 1,2,823 ou 1646. De fato, notando que 3x-3y-1 eh da forma 3k-1, somente temos que tentar 2 e 1646. 3x-3y-1=2 = x=y+1 = 3y^2+3y+1 = y^2+y+61 = y^2+y-30=0 = y=5 3x-3y-1=1646 = x-y=549 = 3.549.y^2+3.549^2.y+549^3 = y^2 + 549y + 61 = 1646y^2 + 903654y + 165469088 = 0 = impossivel pois y=0 FINAL: Unica solucao natural eh x=6, y=5 NOTA: Um pouco mais de contas e se acham todas as solucoes inteiras; basta considerar as hipoteses 3x-3y-1 = 2, 1646, -1, -843... Maneira 2 de fazer (magica menor): Escreva x=y+a para mudar a equacao. Ve-se da equacao que solucoes naturais implicam que x-y0, isto eh, a0. Assim, a eh natural positivo. y^3+3ay^2+3a^2y+a^3-y^3=y^2+ay+61 (3a-1) y^2 + a(3a-1) y + (a^3-61) = 0 y^2 + ay + (a^3-61)/(3a-1) = 0 Note que se a=4 entao P=(a^3-61)/(3a-1) 0 e ambas as solucoes da quadratica sao negativas! (soma eh -a, produto eh P). Assim, temos a = 1, 2 ou 3. Podemos ir direto aas opcoes, ou notar que -P=(61-a^3)/(3a-1) = y^2 + ay tem de ser inteiro. Para a=1,2,3 temos -P=30,53/5,34/8; assim, a=1. Finalmente y^2+y-30=0 implica y=5 ou y=-6. A unica solucao inteira serah portanto y=6 e x=5. Abraco, Ralph José Fabrício Maia wrote: Ache as soluções naturais da equação x^3 - y ^3 = xy + 61. Observação: x^3 ( x elevado a 3)
Re: (IMO-2000) (fwd)
ok. Pode deixar. Vou pensar em alguns. Nicolau os problemas tem que ser matematicamente puros? Agradeço a resposta. Com certeza teremos participantes oficiais no IMO 2000. - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 3 de Março de 2000 16:16 Subject: (IMO-2000) (fwd) Esta carta está sendo enviada para obm-l e obm-coor pois destina-se a todos os professores. A IMO2000 pede problemas para o banco: o Brasil precisa para firmar sua posição de participante sério nas IMOs criar uma tradição de enviar problemas para os bancos. Quem tiver sugestão de problemas envie para mim por correio comum (*NÃO* por e-mail). Quem desejar enviar sugestões de problemas por favor leve muito a sério a questão do sigilo. []s, N. CALL FOR CONTEST PROBLEMS 41st INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD July 13 - 25, 2000 This is a call for PROPOSALS FOR PROBLEMS for the 41st IMO in the year 2000. Please send as many problems as you wish to be considered for the competition.Normally, problems will deal with the areas covered in the previous IMO's such as geometry, inequalities, functions, and elementary probability, etc. Questions appeared in the previous IMO papers indicate the appropriate types of problems that might be acceptable. Problems which do not belong to any of the indicated areas are also welcomed if you strongly believe that they are adequate enough for the contest. However, the final decision about the acceptability of any problem will of course rest with the International Jury. As usual, all proposed problems will be reviewed by a Korean committee which will select about thirty problems to form the Short-List for consideration by the International Jury. On the official day of arrival of the International Jury in Korea, the members will be given the short-listed problems to be considered without solutions, and the solutions will be handed out on the following day. Please avoid problems that have been used in any other regional, national or international contests, or that have appeared in any books, problem collections, journals or other publications. Statistics reveals that the number of proposed problems has been considerably decreasing in recent years, which we believe will seriously endanger the future of IMO. We strongly ask every participating country to submit problems for the contest. Surprising presents will be prepared by the 41st IMO Organizing Committee to those countries whose proposals are appeared in the Short-List. Please submit each problem written in one of the following official languages of IMO (English, French, German, Russian - English most preferred), and include a SOLUTION for each problem, and a NOTE indicating its origin. Proposals for problems should be sent to the following address to arrive no later than APRIL 30, 2000. You may also submit the problems via FAX(+82-2-567-7335). Please understand, however, that e-mail submission of the problems is not acceptable because of security reasons. Problem Selection Committee, IMO-2000 KSTC Main Bldg. 907 635-4 Yoksam-Dong, Kangnam-Ku Seoul, 135-080, Republic of Korea I look forward to seeing you in Korea 2000! Yours sincerely, Chairman Problem Selection Committee IMO-2000
Re: 2 PROBLEMAS
Desculpe minha falta de atenção. Mas, o seu problema é 2^(n - (-1)^n) ou 2^n - (-1)^n ? Não entendi corretamente, desculpe. Pessoal, dúvida talvez boba, mas como resolvo problemas do tipo: dado um número n qualquer temos tal que a soma dos cubos de seus dígitos seja o próprio número. tentei de todas as maneiras possíveis, porém não chegei a nenhuma lógica contrutiva. Muito Obrigado! Marcos Eike Tinen dos Santos - Original Message - From: Benjamin Hinrichs [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Domingo, 27 de Fevereiro de 2000 16:34 Subject: Re: 2 PROBLEMAS Marcelo Souza wrote: 1. Prove que 2^n - 1 é divisível por 3 para todo n natural par. Muito fácil, n=3, 2^3 - 1 = 7, 7 / 3 nE N (onde nE é não pertence). Vc deve estar falando de 2^n - (-1)^n. A minha prova é simples, vou copiar a mensagem do arquivo. == "Benjamin Hinrichs" wrote on 01/01/2000: Faz alguns dias (não saberia dizer quantos) que entrei no icq e vi que estava cheio de gente da lista, abrimos um chat e conversamos um pouco. Surgiu entretanto um problema no meio: prove que 2^n - (-1)^n mod 3 = 0, ou seja, que 2^n - (-1)^n é divisível por 3, dado n E N (é natural), n 0. Sugiro que tentem provar e depois ver a minha prova que segue abaixo. Usei para isto o seguinte teorema (fácil de provar): a^k -1 = (a^(k-1) + a^(k-2) + ... + a^2 + a^1 + a^0)*(a - 1) Se n é par então pode ser denominado 2k (nada de 2000, parem de pensar no bug). Portanto 2^2k -(-1)^2k = 4^k -(1)^k = 4^k - 1 = (4^(k-1) + 4^(k-2) + ... + 4^2 + 4^1 + 4^0)*(4 - 1) = (4^(k-1) + 4^(k-2) + ... + 4^2 + 4^1 + 4^0)*3 (o que é divisível por 3) Se n é ímpar então ele pode ser escrito da forma 2k + 1. Portanto 2^(2k+1) -(-1)^(2k+1) = 2*2^2k -(-1)*(-1)^2k = 2*4^k + 1 = 4^k - 1 + 4^k - 1 + 3 (já que 4^k - 1 já foi provado ser divisível por três, 2(4^k -1) + 3 também é) Deve haver uma prova ridiculamente simples para este problema. Meu pai disse que o enunciado do problema é muito bom, a prova é fácil. Bem, eu ao menos demorei algum tempinho para descobrir que 1 = - 1 - 1 + 3... Grande abraço, Benjamin Hinrichs == 2. Dado um triangulo equilatero ABC, toma-se um ponto P do interior de ABC. TRaça-se AP=3, BP=4, CP=5, calcule o angulo APB. De primeira não consegui resolver mas vou continuar em cima deste. Um grande abraço, Benjamin Hinrichs
Re: 2 PROBLEMAS
No primeiro problema observe que sempre ao tivermos potências pares de 2, sempre esse número será um número quadrado. Um prova simples seria utlizarmos a teoria de congruência de módulo n. 2^n == 1 (mod 3) para todo n par positivo. Com isso temos que mdc(2^n, 3) = 1 = não são divisíveis, pois existem dois inteiros bem definidos x e y; 2^n * x + 3 * y = 1, para 2^n não crescer demais, podemos considerar x uma constante igual a 1 e variamos o y de tal forma ao problema proposto. Então pode regras aritméticas, já que a congruência é definida por essas regras temos: 2^n - 1 == 1 -1 (mod 3) = 2^n -1 == 0 (mod 3) = que 2^n -1 divide 3, para todo e qualquer n natural. Podemos usar também a indução para provarmos o problema., Atenciosamente, Marcos Eike Tinen dos Santos -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 27 de Fevereiro de 2000 09:22 Assunto: 2 PROBLEMAS Olá, pessoal da lista Gostaria que vcs pudessem esclarecer dois problemas. Sao assim 1. Prove que 2^n - 1 é divisível por 3 para todo n natural par. 2. Dado um triangulo equilatero ABC, toma-se um ponto P do interior de ABC. TRaça-se AP=3, BP=4, CP=5, calcule o angulo APB. Agradeço antecipadamente as soluçoes enviadas muyito obrigado aBRAÇOS __ Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com
Dúvida referente a um exercício
Em volta de uma mesa redonda estão sentados representantes de n países ( n =2), satisfazendo a seguinte condição: Se duas pessoas são do mesmo país, então, seus respectivos vizinhos da direita não podem ser de um mesmo país. Determine, para cada n, o número máximo de pessoas que pode haver em volta da mesa. Não entendi corretamente essas duas pessoas, se refere a duas pessoas quaisquer, ou ao número real de pessoas de cada país. Na minha opinião é a primeira opção, porém, caso queiram me ajudar, Valeu!! Marcos Eike
Desigualdades
Pessoal talvez seja ingênuo da minha parte fazer esta pergunta. Mas, caso, alguém tenha conhecimento da prova das olimpíadas de matemática internacional. E se lembre a questão sobre desigualdade, onde a questão pede para encontrar um valor para C que satisfaça xn, para todo n =2 e xi pertencente aos reais. Alguém poderia me explicar melhor a prova do lema, que foi utilizado para determinar tais condições? Muito Obrigado! Marcos Eike Tinen dos Santos
Livro de geometria?
Pessoal estou atrás de um livro de geometria que se adeque às matérias pedidas nas Olimpíadas, e que possua uma grau de dificuldade elevado, lógico e que trate a matemática com grande pureza. ficarei agradecido por opiniões a respeito Muito Obrigado! Marcos Eike Tinen
Correção
Sendo as amplitudes de um triângulo. a', b', c'. Temos que observar que a soma desta PA, no caso do referido problema tem que ser 180 graus ou pi radianos. a'+b'+c' = 180 S3 = 3(a' + c')/2 = 180 3(a'+c') = 360 = a'+c' = 120 Proposta: o termo médio é a média aritmética dos outros dois. b' = 120/2 = b' = 60 Sendo as halturas de um triângulo, ha, hb, hc temos que observar que as alturas são perpendiculares aos seus lados opostos. Pela teoria dos senos temos: hc = a * sen 60 ha = c * sen 60 Sendo PA como o enunciado disse temos: hb = (a * sen 60 + c * sen 60)/2 hb = (sen 60 (a + c))/2 hc - hb = a * sen 60 - sen 60 (a + c)/2 Boa Observação: Eu fiz uma cosita errada.. Valeu!!! Temos na realidade: 2asen 60 -(a+c) sen 60 = sen 60 (a+c) - 2c sen60 = sen 60(a - c) = sen60 ( a - c) a - c = a - c Provamos que de fato os ângulos estão em PA. Mas, supondo a-c = n temos: n = n = que de fato a = c, pois a solução será 0 se e só se a = c Neste caso o triângulo é equilátero.. espero ter ajudado Acho que deve existir uma solução melhor. Marcos Eike Tinen dos Santos Observe que se a = c temos que ha = hb = hc. Então: Usando o simples teorema dos senos temos: c/sen c' = b / sen 60 = sen 60 = sen a' = 60 = a', já que outros valores não o satisfaria. Substituindo em a'+c' = 120 temos: c' = 60
Entendendo à Aplicação dos números complexos na geometria
Oi, Quem poderia me explicar o uso desta teoria? Li o artigo no Eureka, entendi a parte que eles mostram as raízes complexas dispostas na circunferência tendo n lados. Porém, não entendi à aplicação nos exercícios. Os números complexos se não estou enganado pode ser usado como vetores, aguém poderia me explicar? Caso seja possível por favor uma explicação completa. Será que encontro aqui no Brasil totalmente ligado ao assunto? Outro Problema, Alguém conhece a função pi(x)? Quer me explicar? Tem um exercício, porém não entendi direito. O exercício pede para Provar que há infinitos número primos congruentes a 1 mod 4. Muito Obrigado! Marcos Eike Tinen dos Santos
resolução do problema do Siddharta
Veja que o problema tem solução. O fato é óbvio para x = n = y. Porém, supondo x =/ n =/ y temos que: vamos resolver com um caso mais simples, ou seja: x^n = n^x vamos supor que x e n pertença ao conjuntos dos número inteiros positivos, já que aos inteiros não tenho capacidade de resolvê-lo. x^n = n^x Observe um lema: Para todo x n = 3 , ocorre que x^nn^x Prova: Verifique que podemos utilizar o logarítmo neperiano, para provar tal caso: n * ln x x * ln n= n/ln n x/ln x, já que a função f(x) = x/ln x é crescente apartir de e. Observe que usei o mesmo lema na solução do problema 3, se não estou enganado, das olimpíadas internacional de matemática. lema: Para todo x n = 3, ocorre x^n n^x, para todo x 0 e x =/1 Prova: Para o mesmo caso, observe que n/ln n x/ ln x Observe que analisamos x entre os intervalos (3, infinito) e (1, 3) para todo n = 3 Pelo mesmo lema vamos supor 0 = n 3 sendo xn, então: x^n n^x Prova: n/ln n x/ln x Pelo mesmo lema vamos supor 0= n 3 sendo x n, então: x^n n^x, para todo x=/1 Prova: n/ln n x/ln x Vamos analisar agora x sendo e sendo 1. 1^n = n^1= 1 = n ou n =1. para todos e qualquer n, inteiro positivo Prova: De fato o caso é real já que 1 é o menos número dentre os inteiros positivos. Conclusão: Vemos através de provas por logarítmo que é impossível a igualdade desta equação, exceto quando assumem valores indênticos. Observe que provei para os inteiros positivos. Mas, esta equação tem solução quando x e n são racionais.
Por favor opinem sobre a minha solução
Seja Fn o conjunto de todas as bijeções f de {1,...,n} em {1,...,n}
satisfazendo
(i) f(k) = k+1 para k = 1, 2, 3, ... n e (ii) f(k) =/ k para k = 2, 3,
...,n.
Determine a probabilidade de que f(1)/= 1 para um f arbitrário em Fn
Solução:
Veja que não há apenas f(1) = 1, pois temos f(2), f(3), ..., f(n) que pode
satisfazer como imagem 1.
Por definição de função: Um domínio possui apenas uma imagem.
Prova:
f(1) = (1,2)
f(2) = (1,3)
...
f(n) = (1,2,3, ... n-1)
Uma possibilidade visível é termos 1 ou mais domínio com a mesma imagem. ex:
f(1) = 1, f(2) = 1, ... , f(i) = 1.
Vemos pela bijeção que o fato é extremamente falso. Já que temos que
sustentar a injeção da função.
Por probabilidade temos 1/n, ou seja, uma função dentre n funções que
assumirá a imagem 1.
Conclusão: se temos 1/n de probabilidade de assumirmos 1 como imagem. A
probabilidade de f(1) não assumir 1 como imagem será de n-1/n, ou seja,
dentre n funções temos n-1 funções que não poderão assumir, já que uma
qualquer função já assumiu a imagem 1.
Problemas Legais
O problema está em inglês, espero que não ligue. Mas, prefiro digitá-lo em inglês, já que pode ter interpretações diferentes em relação ao idioma. 1) Suppose that on Planet Zorg a year has n days, and that the lifeforms there are equally likely to have hatched on any day of the year. We would like to estimative d, which is the minimum number of lifeforms needed so that the probability of at least two sharing a birthday exceeds 1/2. 2) Na progressão aritmética Sp = q ; Sq = p ( Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão). Ache Sp+q. *obs: n é o índice. 3) Prove que: 2^2m * cos^2m (x) = S 2 [ 2m!/k! * (2m - k)!)] * cos 2 ( m - k ) + [2m!/m! * (m)!] Observação: S é somatória de k = 0 até k = m-1 Muito Obrigado!!! Marcos Eike Tinen dos Santos
Viciados em Math. LOOK:
http://front.math.ucdavis.edu/
site com algumas teorias. Super legal.
Dúvida sobre uma função:
Sejam Q e Z, conjunto dos racionais estritamente positivos e o conjunto dos
inteiros. Determine todas as funções f: Q -- Z satisfazendo as seguintes
condições:
1) f(1999) =1
f(ab) = f(a) + f(b), para quaisquer a, b pertencente Q
f(a + b) = min {f(a), f(b)}, para quaisquer a,b pertencente a Q
