Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
Bernardo, creio que, ao considerar as tangentes, podemos melhorar sim as desigualdades. Tentei incrementar um pouco mais minha solução e demonstrei as seguintes desigualdades: n! = n^n (***) * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = (**) n^n / (e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = (*) n^n / (e^(n-1)), para todo n natural e maior ou igual a 1. Nota 1: a desigualdade (*) é obtida a partir dos retângulos tradicionais. A desigualdade (**) foi obtida a partir dos trapézios anteriormente descritos. Apenas corrigindo um pequeno trecho do meu email anterior: Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar trapézios a partir dos vértices *[(t - 1,0), (t - 1,ln(t)-1/t), (t,0) e (t,ln(t)]* *(t = 2)* (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto *(t,ln(t))* à curva ln(t)). Nota 2: a desigualdade (***) também segue dos trapézios acima mencionados, mas procurando aproximar melhor o somatório de 1/(2t) (1 = t = n).
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
Pequena correção: n! = *(***)* n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = *(**)* n^n / (e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = *(*)* n^n / (e^(n-1)), Os parênteses seguidos de asterisco procurar identificar as desigualdades citadas no email anterior.
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
2012/3/25 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com: Pequena correção: n! = (***) n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = (**) n^n / (e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = (*) n^n / (e^(n-1)), Os parênteses seguidos de asterisco procurar identificar as desigualdades citadas no email anterior. Oi Marcos, Tenho algumas perguntas... A primeira é que eu achei estranha a desigualdade (***) porque n! = n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) é contrária à formula de Stirling que diz que n! ~ n^n raiz(2 pi n) exp(-n), porque afinal teríamos n^n raiz(2 pi n) exp(-n) ~ n^n raiz(n) / exp( (2*n^2-3*n+1)/(4*n) ) = raiz(2 pi) ~ exp(n) * exp(-n/2) * exp(3/4) * exp(-1/4n) - infinito Você tem certeza da fórmula? Talvez seja simplesmente 2n no denominador da exponencial como antes, mas não tive tempo de seguir as suas indicações. A outra observação é que a tangente é, intuitivamente, pior do que os trapézios. Certamente, ela dá uma aproximação por cima que é o que você quer, mas veja que uma secante tem um erro que é no máximo metade do erro da tangente, e o erro é zero, sobe, desce e volta a zero, enquanto que a tangente o erro é zero, e só aumenta. Claro que o erro é bem menor quando você está pertinho do ponto de tangência, mas como você vai longe (distância 1, fixa, portanto) o que acaba contando é o erro total. Com uma ajuda do Maple, eu calculei as diferenças assimptoticas. Seja I a integral certa entre t e t+1, T+ o seu trapézio maior do que a integral, e formado pela tangente em t+1, e T- o trapézio formado pela secante (t, log t) - (t+1, log t+1). Temos: T+ - I ~ 1/6t^2 - 1/4t^3 + 3/10t^4 ... I - T- ~ 1/12t^2 - 1/12t^3 + ... Como é a soma dos T+ que vai dar o n!, para você provar que T+ I + alguma coisa, você precisa calcular até o termo t^-3. No caso das secantes, basta ir até o termo t^-2, porque como o termo seguinte é negativo, dá T- I - 1/12t^2. Claro que quanto mais longe você for na aproximação da tangente, melhor será a aproximação que você vai obter. E última curiosidade: você está estudando? Universidade? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
Fala, Bernardo.
Existe um pequeno erro sim no meu denominador. Mas vou tentar esboçar aqui
as contas:
i) pelos trapézios (considerando n = 2): sum_{k=2}^{n} 1/2 . [(ln(t) -1/t)
+ ln(t)] int_{1}^{n} ln(t) . dt. Após algumas contas, chegamos à seguinte
expressão: ln(n!) n . ln(n) - n + 1 + 1/2 . sum_{k=2}^{n} 1/k (*)
ii) vamos considerar agora a função 1/t (t = 1) (novamente n = 2).
Pensando mais uma vez em trapézios, consideremos os seguintes vértices:
[(t,0), (t,1/t), (t+1,0), (t+1,1/(t+1))]. Podemos escrever: sum_{k=1}^{n-1}
1/2 . [1/k + 1/(k+1)] int_{1}^{n}. Mais algumas contas depois, teremos:
1/2 . sum_{k=2}^{n} 1/k ln(n)/2 - 1/4 + 1/(4n) (**)
Substituindo (**) em (*), teremos: n! = n^n . sqrt(n) / (exp((4n^2 - 3n
-1)/(4n))).
Quanto à segunda pergunta, sou formado em engenharia.
Abs.
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
2012/3/24 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com: Bernardo, olhei para a função ln(t) (1 = t = n) e, tentei uma aproximação retangular a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)), (t+1,0) e (t+1,ln(t+1)] para demonstrar a primeira desigualdade aqui proposta. Realmente funciona. Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar trapézios a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)-1/t), (t+1,0) e (t+1,ln(t+1)] (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto (t+1,ln(t+1)) à curva ln(t)). Acabei desembocando na igualdade citada anteriormente. Ah, ok! Mas veja só: aproximar a integral da segunda forma me parece pior do que a primeira que você fez, porque afinal de contas você está usando um trapézio bem pior do que o primeiro caso, não? Desta forma, você está incluindo um erro que eu acho desnecessário. Aliás, eu acabei de fazer as contas, com os trapézios clássicos, você pode provar que 2.3700 ~ exp(1 - pi^2/72) n! / ( n^n e^(-n) raiz(n) ) exp(1) ~ 2.718281828 e a constante certa é raiz(2 pi) ~ 2.506628274. (O limite superior vem direto, o inferior dá um trabalhinho pra estimar os erros dos trapézios e obter uma série convergente) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Como posso provar que n!(n/3)^n Consegui uma prova pelo limite fundamental (1+ 1/n)^n=e quando n tende ao infinito mas queria algo mais simples (um pif sem limite por exemplo) ,alguem pode me ajudar? Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte: n+1 ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n) Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N. []s Jooao -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
2012/3/23 terence thirteen peterdirich...@gmail.com: Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Como posso provar que n!(n/3)^n Consegui uma prova pelo limite fundamental (1+ 1/n)^n=e quando n tende ao infinito mas queria algo mais simples (um pif sem limite por exemplo) ,alguem pode me ajudar? Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte: n+1 ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n) Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N. A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar certo. (O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa), então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n grande, então você tem que provar a base do PIF para n logo antes de ser grande. Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu conheço...) Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a seguinte: (n!) = (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2012/3/23 terence thirteen peterdirich...@gmail.com: Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Como posso provar que n!(n/3)^n Consegui uma prova pelo limite fundamental (1+ 1/n)^n=e quando n tende ao infinito mas queria algo mais simples (um pif sem limite por exemplo) ,alguem pode me ajudar? Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte: n+1 ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n) Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N. A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar certo. (O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa), então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n grande, então você tem que provar a base do PIF para n logo antes de ser grande. Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu conheço...) Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
2012/3/23 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com: Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a seguinte: (n!) = (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) Bom, eu não vou dizer que é fácil, mas tem uma solução no braço que leva uns 15 minutos pra escrever tudo, sem parar pra pensar. Minto, tem que acertar a mão na hora de calcular log(1 + 1/n) = 1/n - 1/2n^2 + 1/3n^3 - resto, e ter coragem de dizer que o resto é mesmo negativo (porque a série é alternada e decrescente para n = 2). E depois, indução na veia. Acho que o que vale a pena perguntar é: como alguém poderia achar uma desigualdade dessa? Vale qualquer argumento, mas digamos assim: Eu sei (enfim, o Stirling sabia) que n! ~ n^n / e^n * raiz(2 pi n). A sua desigualdade não tem o termo raiz(n), logo com certeza ela é verdadeira assintoticamente. Assim, se eu quisesse ter uma desigualdade com e^(P(n)/Q(n)), eu sei que P(n)/Q(n) ~ (-n) é o único candidato razoável. Como fazer para achar os outros termos do polinômio? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
Basta provar que (1+1/n)^n=3 para todo n (e não será necessário falar em limites). De fato, isto é equivalente a 3n^n=(n+1)^n, que é equivalente a (n+1).(n/3)^n=((n+1)/3)^(n+1), e agora é usar o PIF. A. Citando Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com: Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a seguinte: (n!) = (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2012/3/23 terence thirteen peterdirich...@gmail.com: Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Como posso provar que n!(n/3)^n Consegui uma prova pelo limite fundamental (1+ 1/n)^n=e quando n tende ao infinito mas queria algo mais simples (um pif sem limite por exemplo) ,alguem pode me ajudar? Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte: n+1 ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n) Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N. A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar certo. (O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa), então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n grande, então você tem que provar a base do PIF para n logo antes de ser grande. Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu conheço...) Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
Bernardo, olhei para a função ln(t) (1 = t = n) e, tentei uma aproximação retangular a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)), (t+1,0) e (t+1,ln(t+1)] para demonstrar a primeira desigualdade aqui proposta. Realmente funciona. Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar trapézios a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)-1/t), (t+1,0) e (t+1,ln(t+1)] (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto (t+1,ln(t+1)) à curva ln(t)). Acabei desembocando na igualdade citada anteriormente. Abs. Em 23 de março de 2012 17:53, Arlane Manoel S Silva ar...@usp.br escreveu: Basta provar que (1+1/n)^n=3 para todo n (e não será necessário falar em limites). De fato, isto é equivalente a 3n^n=(n+1)^n, que é equivalente a (n+1).(n/3)^n=((n+1)/3)^(n+1)**, e agora é usar o PIF. A. Citando Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com: Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a seguinte: (n!) = (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))**) Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2012/3/23 terence thirteen peterdirich...@gmail.com: Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Como posso provar que n!(n/3)^n Consegui uma prova pelo limite fundamental (1+ 1/n)^n=e quando n tende ao infinito mas queria algo mais simples (um pif sem limite por exemplo) ,alguem pode me ajudar? Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte: n+1 ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n) Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N. A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar certo. (O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa), então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n grande, então você tem que provar a base do PIF para n logo antes de ser grande. Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu conheço...) Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ==**==** = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ==**==** = -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática e Estatística-USP ==**==** = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ==**==** =
[obm-l] Desigualdade fatorial
Como posso provar que n!(n/3)^n Consegui uma prova pelo limite fundamental (1+ 1/n)^n=e quando n tende ao infinito mas queria algo mais simples (um pif sem limite por exemplo) ,alguem pode me ajudar? []s Jooao
