[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-15 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
Na verdade Pedro eu parti do princípio que ao ler minha pergunta vcs iriam
ler a solução que está no link que deixei ´na pergunta, e lá no link está
claro que ele toma valores de x>=4, foi  mal!

Em 15 de outubro de 2015 16:05, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs
> entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao
> responderem minhas dúvidas, vcs são 10!
>
> Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
>> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
>> Procure expressar melhor o que você deseja.
>>
>>
>>
>> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
>> congruência se repete...
>>
>> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m)
>> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0> tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*.
>> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn
>> teremos:
>>  Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i)
>>
>> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81)  ≡
>> 1 (mod 81),
>>
>> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
>> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
>> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)
>>
>> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡
>> 1 (mod m),.
>>
>> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
>> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod
>> m).
>>
>> Portanto temos que: ordma divide Ф(m).
>>
>> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.
>>
>> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.
>>
>> Recomendo você dar uma lida:
>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Saudações.
>>
>> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
>>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
>>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
>>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
>>> Aqui está a solução da equação diofantina:
>>> http://diego.mat.unb.br/click.html
>>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente
>>> a -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
>>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
>>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
>>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
>>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
>>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
>>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
>>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
>>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
>>> para mim, desde já agradeço!
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Equação diofantina

2015-10-15 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero entender
uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir que y é
congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é claro)?Alguém
poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
Aqui está a solução da equação diofantina:
http://diego.mat.unb.br/click.html
No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a
-2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 até
que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
para mim, desde já agradeço!

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-15 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs
entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao
responderem minhas dúvidas, vcs são 10!

Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
> Procure expressar melhor o que você deseja.
>
>
>
> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
> congruência se repete...
>
> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m)
> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*.
> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn
> teremos:
>  Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i)
>
> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81)  ≡
> 1 (mod 81),
>
> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)
>
> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1
> (mod m),.
>
> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod m).
>
> Portanto temos que: ordma divide Ф(m).
>
> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.
>
> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.
>
> Recomendo você dar uma lida:
> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
>
>
>
>
>
> Saudações.
>
> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
>> Aqui está a solução da equação diofantina:
>> http://diego.mat.unb.br/click.html
>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a
>> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
>> para mim, desde já agradeço!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-15 Por tôpico Pedro José 
Boa tarde!

Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
Procure expressar melhor o que você deseja.



Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
congruência se repete...

Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) é
a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)

Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1
(mod m),.

Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod m).

Portanto temos que: ordma divide Ф(m).

E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.

No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.

Recomendo você dar uma lida:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf

Saudações,
PJMS.







Saudações.

Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
> Aqui está a solução da equação diofantina:
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a
> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
> para mim, desde já agradeço!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2015-10-14 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
ah sim é verdade!

Em 14 de outubro de 2015 11:20, Gabriel Tostes 
escreveu:

> (1,0) nao eh solucao tbm?
>
>
>
> Sent from my iPad
> On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
>
> Está aqui no site do professor Diego Marques:
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o
> difícil é provar que a solução é única, veja que raciocínio
> fantástico!
>
> Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2015-10-14 Por tôpico Gabriel Tostes 
(1,0) nao eh solucao tbm?



Sent from my iPad
> On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo 
>  wrote:
> 
> Está aqui no site do professor Diego Marques: 
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o 
> difícil é provar que a solução é única, veja que raciocínio 
> fantástico!
> 
> Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges 
>  escreveu:
>> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] equação diofantina

2015-10-14 Por tôpico marcone augusto araújo borges 
E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-14 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
Obrigado Gabriel Tostes foi de grande ajuda

Em 13 de outubro de 2015 22:39, Gabriel Tostes 
escreveu:

> Usando : pros tres pauzinhos da congruencias.
>
> 3^x=2 + 5^y
> 3^x:2 (mod5)
> X=4K+3
> 3^(4k+3)=2+5^y
> 5^y:7(mod9)
> y=6k+2
> 5^6k+2:25:4(mod7)
> 3^x:2+4(mod7)
>
>
> > On Oct 13, 2015, at 22:00, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
> >
> > Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só
> quero entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso
> concluir que 3^x é congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como
> concluir isso?
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2015-10-14 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
Está aqui no site do professor Diego Marques:
http://diego.mat.unb.br/click.html
Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o difícil é
provar que a solução é única, veja que raciocínio fantástico!

Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-13 Por tôpico Gabriel Tostes 
Usando : pros tres pauzinhos da congruencias.

3^x=2 + 5^y
3^x:2 (mod5)
X=4K+3
3^(4k+3)=2+5^y
5^y:7(mod9)
y=6k+2
5^6k+2:25:4(mod7)
3^x:2+4(mod7)


> On Oct 13, 2015, at 22:00, Israel Meireles Chrisostomo 
>  wrote:
> 
> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero 
> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir 
> que 3^x é congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como concluir 
> isso?
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Equação diofantina

2015-10-13 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero entender
uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir que 3^x é
congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como concluir isso?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José 
Bom dia!

Desculpe-me, não vi a restrição do método.

Sds,
PJMS

Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  --- End of Original Message ---
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro Chaves 
Obrigado, Pedro José!

O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

Um abraço!
Pedro Chaves


 Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 From: petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Bom dia! 
 
 Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente 
 se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. 
 
 Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. 
 
 12 = 7 * 1 + 5 
 7 = 5 * 1 + 2 
 5 = 2 * 2 + 1 
 
 Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 
 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de 
 modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) 
 
 5 = 12 - 7 (i) 
 2 = 7 - 5 (ii) 
 1 = 5 - 2 *2 (iii) 
 
 (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) 
 
 (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 
 
 então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. 
 
 então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 
 
 Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da 
 equação 7 x - 12 y = 11. 
 
 Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) 
 == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) 
 
 pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) 
 
 Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b. 
 
 m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) 
 == y = -33 + 7*t (vi) 
 
 (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t 
 
 Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 
 7*t, t ƐZ } 
 
 Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos 
 entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta 
 dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem 
 soluções se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Tem o artigo do eduardo Tengan: 
 http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há 
 demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas 
 equações. 
 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 
 
 
 
 Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire 
 b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu: 
 Pedro, 
 
 7 é o inverso de 7 módulo 12 
 
 -- 
 Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/) 
 
 
 -- Original Message --- 
 From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 
 Caros Colegas, 
 
 A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por 
 congruência? Não consegui. 
 
 Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 
 
 Abraços. 
 Pedro Chaves 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
 = 
 --- End of Original Message --- 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pacini Bores 
Oi Pedro,

7x=-1(12),

35x =-5(12),

36x-x=-5(12),

-x=-5(12),

x=5(12).

Abs

Pacini


Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire b...@ccet.ufrn.br
escreveu:

  Pedro,

 7 é o inverso de 7 módulo 12

 --
 Open WebMail Project (http://openwebmail.org)


 *-- Original Message ---*
 From: Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?
 Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 *--- End of Original Message ---*

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José 
Bom dia!

Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente se
m.d.c.(a,b) divide c.

Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.

Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.

12 = 7 * 1 + 5
 7  = 5 * 1 + 2
 5 = 2  * 2 + 1

Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 7.
(embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de modo
sistemático, pois as vezez não o é fácil.)

5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5   (ii)
1 = 5 - 2 *2  (iii)

(ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)

(iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5

então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.

então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1

Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da equação 7
x - 12 y = 11.

Agora use a solução encontrada  7 x  - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)  ==
7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)

pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)

Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.

m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z,  7* t = (y+33) == y
= -33 + 7*t (vi)

(vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t

Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 7*t, t ƐZ
}

Caso os coeficientes a e b, da equação  a x+ by = c, não sejam primos entre
si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta dividir todos
os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem soluções se
m.d.c.(a,b) divide c.

Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há demonstrações
e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas equações.

 Saudações,
PJMS





Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire b...@ccet.ufrn.br
escreveu:

  Pedro,

 7 é o inverso de 7 módulo 12

 --
 Open WebMail Project (http://openwebmail.org)


 *-- Original Message ---*
 From: Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?
 Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 *--- End of Original Message ---*

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José 
Boa tarde!

Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.

Desculpem-me,
PJMS

Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Não parei para pensar se dá sempre.

 7 * x  ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 5
 + 12* m : m Ɛ Z

 -12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 (mod12)
 == y =2 + 7*n : n ƐZ


  Substituindo na equação original temos:

 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5
 +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.

 Saudações,
 PJMS






 Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Desculpe-me, não vi a restrição do método.

 Sds,
 PJMS

 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  --- End of Original Message ---
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =





-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José 
Boa tarde!

Não parei para pensar se dá sempre.

7 * x  ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 5 +
12* m : m Ɛ Z

-12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 (mod12)
== y =2 + 7*n : n ƐZ


 Substituindo na equação original temos:

7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5 +12
m e y = 2 + 2m : m ƐZ.

Saudações,
PJMS






Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Desculpe-me, não vi a restrição do método.

 Sds,
 PJMS

 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  --- End of Original Message ---
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro Chaves 
Obrigado a todos! 
Pedro Chaves
__


 Date: Wed, 22 Apr 2015 14:32:35 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina 
 (de novo) 
 From: petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Boa tarde! 
 
 Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m. 
 
 Desculpem-me, 
 PJMS 
 
 Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José 
 petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com escreveu: 
 Boa tarde! 
 
 Não parei para pensar se dá sempre. 
 
 7 * x ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 
 5 + 12* m : m Ɛ Z 
 
 -12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 
 (mod12) == y =2 + 7*n : n ƐZ 
 
 
 Substituindo na equação original temos: 
 
 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5 
 +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ. 
 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 
 
 
 
 
 Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José 
 petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com escreveu: 
 Bom dia! 
 
 Desculpe-me, não vi a restrição do método. 
 
 Sds, 
 PJMS 
 
 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: 
 Obrigado, Pedro José! 
 
 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência. 
 
 Um abraço! 
 Pedro Chaves 
 
  
 Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 From: petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Bom dia! 
 
 Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente 
 se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. 
 
 Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. 
 
 12 = 7 * 1 + 5 
 7 = 5 * 1 + 2 
 5 = 2 * 2 + 1 
 
 Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 
 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de 
 modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) 
 
 5 = 12 - 7 (i) 
 2 = 7 - 5 (ii) 
 1 = 5 - 2 *2 (iii) 
 
 (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) 
 
 (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 
 
 então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. 
 
 então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 
 
 Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da 
 equação 7 x - 12 y = 11. 
 
 Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) 
 == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) 
 
 pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) 
 
 Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b. 
 
 m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) 
 == y = -33 + 7*t (vi) 
 
 (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t 
 
 Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 
 7*t, t ƐZ } 
 
 Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos 
 entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta 
 dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem 
 soluções se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Tem o artigo do eduardo Tengan: 
 http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há 
 demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas 
 equações. 
 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 
 
 
 
 Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire 
 
 b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br
  
 escreveu: 
 Pedro, 
 
 7 é o inverso de 7 módulo 12 
 
 -- 
 Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/) 
 
 
 -- Original Message --- 
 From: Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  
 To: 
 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  
 
 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 
 Caros Colegas, 
 
 A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por 
 congruência? Não consegui. 
 
 Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 
 
 Abraços. 
 Pedro Chaves 
 -- 
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 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 = 
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 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
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 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 
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 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada

Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Benedito Tadeu V. Freire 
Pedro,

7 é o inverso de 7 módulo 12

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: Pedro Chaves brped...@hotmail.com 
To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

 Caros Colegas, 
 
 A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?  Não 
 consegui. 
 
 Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 
 
 Abraços. 
 Pedro Chaves          
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[obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro Chaves 
Caros Colegas,

A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?  Não 
consegui.

Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.

Abraços.
Pedro Chaves  
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[obm-l] Equação diofantina por congruência

2015-04-21 Por tôpico Pedro Chaves 
Caros Colegas,

Estou tentando resolver por congruência a equação diofantina 13x + 7y = 18, mas 
não estou conseguindo.
Só consegui  concluir que 13x é congruente a 4 (mod 7).
Peço-lhes ajuda.
Abraços do Pedro Chaves.  
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina por congruência

2015-04-21 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2015-04-21 18:13 GMT-03:00 Pedro Chaves brped...@hotmail.com:
 Caros Colegas,

 Estou tentando resolver por congruência a equação diofantina 13x + 7y = 18, 
 mas não estou conseguindo.
 Só consegui  concluir que 13x é congruente a 4 (mod 7).
 Peço-lhes ajuda.
Coragem:

você tem que inverter 13 mod 7 para continuar a simplificar a
equação. No caso específico é fácil, já que 13 == -1 (mod 7). Assim:

13x == 4 (mod 7), implica que (-1)x == 4 e portanto x == -4 == 3 mod
7. Daí, x = 7k + 3. Substitua na equação original, e corra pro abraço.

 Abraços do Pedro Chaves.


Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Equação Diofantina

2011-01-27 Por tôpico marcone augusto araújo borges 

Como resolver a equação diofantina -2x + 5y = 8,usando vetores?
O professor sugere usar a solução particular (1,2) e o vetor perpendicular 
(-2,1) ...

[obm-l] Re: [obm-l] Equação Diofantina

2011-01-27 Por tôpico Marcelo Salhab Brogliato 
Olá, Marcone,

Seja x = (a, b) e * o produto escalar.
(-2, 5) * x = 8

Conforme sugestão do seu professor, x1 = (1, 2) é solução.
Isto é: (-2, 5)*x1 = (-2, 5)*(1, 2) = 8

Acho que seu professor quis dizer um vetor perpendicular ao vetor (-2, 5).
Seja w = (5, 2), que é perpendicular a (-2, 5).

Veja que x2 = (1, 2) + k(5, 2) sempre é solução.
(-2, 5)*x2 = (-2, 5)*(1,2) + k(-2, 5)*(5, 2) = 8 + 0 = 8

Desta maneira, um subconjunto do espaço de soluções é formado por (1, 2) +
k(5, 2).

Pergunto: Esse subconjunto é igual a todo o espaço de soluções? Demonstre!
:)

Abraços,
Salhab



2011/1/27 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Como resolver a equação diofantina -2x + 5y = 8,usando vetores?
 O professor sugere usar a solução particular (1,2) e o vetor perpendicular
 (-2,1) ...

Re: [obm-l] equação diofantina

2003-10-27 Por tôpico Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
isso ja e meio manjado...Voce pode usar Euclides.Veja um caso particular:

7x+18y=1
7x+14y+4y=1
Se x+2y:=a, temos 
7a+4y=1
3a+4a+4y=1
a+y:=b
3a+4b=1
3a+3b+b=1
a+b:=c
3b+c=1c=1-3b

volte substituindoluiz frança [EMAIL PROTECTED] wrote:
se (a,b)=1 ax +by = k , x, y e k inteirosporvar que sempre existe uma soluma solução x,yque satisfaça a equação para qualquer k escolhido.será mesmo verdade? bom... a principio seax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que valepra k=1 ???__Do you Yahoo!?The New Yahoo! Shopping - with improved product searchhttp://shopping.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o
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[obm-l] equação diofantina

2003-10-24 Por tôpico frança 


 se  (a,b)=1 

 ax +by = k  , x, y e k inteiros
 
 porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.

será mesmo verdade?  bom... a principio se
 
ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale
pra k=1 ???

__
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Re: [obm-l] equação diofantina

2003-10-24 Por tôpico Carlos Maçaranduba 
Olhe a equaçao possui soluçao para x, y e K inteiros
se somente se MDC(a, b) dividir K.Vamos provar:


SE x, y e K inteiros = MDC(a,b) divide K.
Seja d = mdc(a,b) .Pegando ax+by = k e dividindo por d
em ambos os membros = (ax+by)/d = k/d.Observe o
primeiro membro.Como d é mdc de a e b ,ele divide ax
+by porque ele divide a e b ao mesmo tempo.Essa
divisao resulta num numero inteiro e como x e y sao
inteiros entao (ax + by) /d é um numero inteiro.Mas
(ax + by) /d é igual a k/d entao k/d deve ser um
numero inteiro.Entao para que isso ocorra d divide k,
portanto SE x, y e K inteiros = MDC(a,b) divide K. 

Provar a reciproca agora:
Se MDC(a,b) divide K = x, y e K inteiros.

Por bezout, Se MDC(a,b) = d = d = aw + bt, w e t
inteiros.Mas como d divide k = k = d*f , f inteiro.
Pegando d = aw + bt e multiplicando ambos os membros
por f = d*f = a*(w*f) + b*(t*f), mas d*f =k =
k = a*(w*f) + b*(t*f) = ax +by = x=(w*f) e y = (t*f)
e como t, w e f sao inteiros = x e y sao
inteiros.Como k = ax +by e a,b,x,y é inteiro = k é
inteiro.
CQ:D1 

Observando sua equaçao como mdc(a,b) = 1 e x,y e K
inteiros ,mdc(a,b) divide K, pois mdc(a,b) =1.
Portanto, pelo que eu provei acima, como mdc(a,b) =1
= ax +by = k tem soluçao para qualquer k inteiro
escolhido porque sempre 1 divide k. 
CQ:D2


Para saber as soluçoes, ai ja é outra historia.



--- luiz frança [EMAIL PROTECTED] escreveu:  
 
  se  (a,b)=1 
 
  ax +by = k  , x, y e k inteiros
  
  porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
 que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.
 
 será mesmo verdade?  bom... a principio se
  
 ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
 pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que
 vale
 pra k=1 ???
 
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Re: [obm-l] equação diofantina

2003-10-24 Por tôpico Carlos Maçaranduba 
Olhe a equaçao possui soluçao para x, y e K inteiros
se somente se MDC(a, b) dividir K.Vamos provar:


SE x, y e K inteiros = MDC(a,b) divide K.
Seja d = mdc(a,b) .Pegando ax+by = k e dividindo por d
em ambos os membros = (ax+by)/d = k/d.Observe o
primeiro membro.Como d é mdc de a e b ,ele divide ax
+by porque ele divide a e b ao mesmo tempo.Essa
divisao resulta num numero inteiro e como x e y sao
inteiros entao (ax + by) /d é um numero inteiro.Mas
(ax + by) /d é igual a k/d entao k/d deve ser um
numero inteiro.Entao para que isso ocorra d divide k,
portanto SE x, y e K inteiros = MDC(a,b) divide K. 

Provar a reciproca agora:
Se MDC(a,b) divide K = x, y e K inteiros.

Por bezout, Se MDC(a,b) = d = d = aw + bt, w e t
inteiros.Mas como d divide k = k = d*f , f inteiro.
Pegando d = aw + bt e multiplicando ambos os membros
por f = d*f = a*(w*f) + b*(t*f), mas d*f =k =
k = a*(w*f) + b*(t*f) = ax +by = x=(w*f) e y = (t*f)
e como t, w e f sao inteiros = x e y sao
inteiros.Como k = ax +by e a,b,x,y é inteiro = k é
inteiro.
CQ:D1 

Observando sua equaçao como mdc(a,b) = 1 e x,y e K
inteiros ,mdc(a,b) divide K, pois mdc(a,b) =1.
Portanto, pelo que eu provei acima, como mdc(a,b) =1
= ax +by = k tem soluçao para qualquer k inteiro
escolhido porque sempre 1 divide k. 
CQ:D2


Para saber as soluçoes, ai ja é outra historia.



--- luiz frança [EMAIL PROTECTED] escreveu:  
 
  se  (a,b)=1 
 
  ax +by = k  , x, y e k inteiros
  
  porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
 que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.
 
 será mesmo verdade?  bom... a principio se
  
 ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
 pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que
 vale
 pra k=1 ???
 
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[obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2003-10-24 Por tôpico Giselle 
Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1?

- Original Message - 
From: luiz frança [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM
Subject: [obm-l] equação diofantina




  se  (a,b)=1

  ax +by = k  , x, y e k inteiros

  porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
 que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.

 será mesmo verdade?  bom... a principio se

 ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
 pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale
 pra k=1 ???

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2003-10-24 Por tôpico Augusto Cesar de Oliveira Morgado 
(a,b) eh uma notaçao para o MDC dos numeros a e b.


Em Fri, 24 Oct 2003 19:44:01 -0200, Giselle [EMAIL PROTECTED] disse:

 Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1?
 
 - Original Message - 
 From: luiz frança [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM
 Subject: [obm-l] equação diofantina
 
 
 
 
   se  (a,b)=1
 
   ax +by = k  , x, y e k inteiros
 
   porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
  que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.
 
  será mesmo verdade?  bom... a principio se
 
  ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
  pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale
  pra k=1 ???
 
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2003-10-24 Por tôpico Leandro Lacorte Recôva 
Mdc(a,b)=1 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Giselle
Sent: Friday, October 24, 2003 2:44 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1?

- Original Message - 
From: luiz frança [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM
Subject: [obm-l] equação diofantina




  se  (a,b)=1

  ax +by = k  , x, y e k inteiros

  porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
 que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.

 será mesmo verdade?  bom... a principio se

 ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
 pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale
 pra k=1 ???

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