[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

Realmente eu me expressei mal ali. Eu quis dizer que o menor N deve ser 1,
2 ou 5.

Em 13 de maio de 2018 21:22, Jeferson Almir 
escreveu:

> Boa noite.
> Eu só não entendi essa passagem
>  “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
> menores ou iguais a 5).“
> Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50
>
> Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi <
> brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não sei se ficou meio confuso:
>> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b)
>> e a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
>> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
>> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) =
>> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
>> menores ou iguais a 5).
>> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b)
>> = c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas
>> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2
>> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y,
>> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2
>> = 40 funções deste tipo.
>> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
>> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de
>> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles
>> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
>> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30
>> = 50.
>>
>> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir 
>> escreveu:
>>
>>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
>>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
>>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
>>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
>>> agradeço qualquer ajuda.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Jeferson Almir]

Boa noite.
Eu só não entendi essa passagem
 “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
menores ou iguais a 5).“
Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50

Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi <
brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:

> Não sei se ficou meio confuso:
> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) e
> a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) =
> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
> menores ou iguais a 5).
> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
> c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas
> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2
> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y,
> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2
> = 40 funções deste tipo.
> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de
> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles
> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30
> = 50.
>
> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
>> agradeço qualquer ajuda.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

Não sei se ficou meio confuso:
De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) e
a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) = a.
Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
menores ou iguais a 5).
Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = c
e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas maneiras de
escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2 maneiras de
escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y, podemos ter f(x)
= x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2 = 40 funções
deste tipo.
Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = c
e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de S,
e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles e
vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30 =
50.

Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir 
escreveu:

> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
> agradeço qualquer ajuda.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Jeferson Almir]

Valeu Raph e os demais. Aprendi muito com vcs!!

Em sáb, 12 de mai de 2018 às 20:25, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005
> (obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a).
>
> Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K
> natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa
> propriedadezinha:
>
> f(a+K.2005)-f(a)=K.2005
> a+2005 - (a+K.2005) = K.2005
> K = 1/2 (absurdo).
>
> Abraco, Ralph.
>
>
>
> 2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com>:
>
>> Oi Ralph,
>>
>> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
>> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
>> > embaixo e ajeite as coisas)
>> >
>> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
>> > a+2005=b+2005 => a=b.
>> >
>> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto,
>> por
>> > indução, para qualquer K natural, tem-se
>> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
>> >
>> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
>> > Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
>> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
>> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
>> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
>>
>> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
>> função que é sua própria inversa mod 2005.  Temos que excluir este
>> caso...
>>
>> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>> >>
>> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
>> ???
>> >>
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Função Composta

[Jeferson Almir]

Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
agradeço qualquer ajuda.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Ralph Teixeira]

Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005
(obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a).

Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K
natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa
propriedadezinha:

f(a+K.2005)-f(a)=K.2005
a+2005 - (a+K.2005) = K.2005
K = 1/2 (absurdo).

Abraco, Ralph.



2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> Oi Ralph,
>
> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
> > embaixo e ajeite as coisas)
> >
> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
> > a+2005=b+2005 => a=b.
> >
> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto,
> por
> > indução, para qualquer K natural, tem-se
> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
> >
> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
> > Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
>
> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
> função que é sua própria inversa mod 2005.  Temos que excluir este
> caso...
>
> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
> >>
> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
> ???
> >>
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Oi Ralph,

2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
> (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
> embaixo e ajeite as coisas)
>
> Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
> a+2005=b+2005 => a=b.
>
> Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto, por
> indução, para qualquer K natural, tem-se
> f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
>
> VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
> Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
> Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
> seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
> absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.

Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
função que é sua própria inversa mod 2005.  Temos que excluir este
caso...

> 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>>

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Pedro Soares]

Só pra constar, nas primeiras linhas da minha resposta o correro é 2005,
não 2015. E meu ultimo argumento é que para existir uma função f(f(n)) = n
+ k esse k tem que ser par.

On Saturday, 12 May 2018, Pedro Soares  wrote:

> 1- f(n) é injetiva
> f(a) = f(b) => f(f(a)) = f(f(b)) => a + 2015 = b + 2015 => a=b
>
> 2- Suponha que existem k números naturais que não pertencem a imagem de f,
> sabemos que k<2005. Chamamos de A o conjunto desses k números.
>
> Agora, como f é injetiva, o complementar em relação a N da imagem de
> f(f(n)) é composta pelos k naturais que não pertencem a imagem de f(n) + os
> k naturais que são as imagens de A. Assim, temos 2k naturais que não
> pertencem a imagem de f(f(n)).
>
> Mas, se f(f(n)) = n + 2005 existem  2005 naturais que não pertencem a
> imagem de f(f(n)), logo f não pode ser uma função de
> N->N
>
> On Friday, 11 May 2018, Bruno Visnadi  wrote:
>
>> Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
>> Lema 1: f é injetora.
>> Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
>> Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
>> Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
>> injetora, f(f(a) - 2005) = a.
>> Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
>> Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
>> elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002
>> elementos t de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é
>> injetora, pelo princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que
>> f(f(t)) ∈ S ⇒ 2015 + t  ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.
>>
>> Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
>> a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
>> de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
>> f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
>> pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
>> elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
>> menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
>> Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
>> f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.
>>
>> Portanto, não existe tal f.
>>
>> Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo 
>> escreveu:
>>
>>> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
>>> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
>>> i é um número ímpar
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo 
>>> wrote:
>>>
 Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m,
 onde g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
 f(f(n)) = g(f(n)) + m

 Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
 g(f(n)) + m = n  + 2005
 g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é
 um polinômio, que é um absurdo.

 On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
 wrote:

> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>
>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
>> geral
>>
>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo <
>> drigo.ang...@gmail.com> escribió:
>>
>>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>>> teríamos
>>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>>
>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
>>> deve ser um número natural.
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
>>> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>>>
 Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
 2005 ???

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Pedro Soares]

1- f(n) é injetiva
f(a) = f(b) => f(f(a)) = f(f(b)) => a + 2015 = b + 2015 => a=b

2- Suponha que existem k números naturais que não pertencem a imagem de f,
sabemos que k<2005. Chamamos de A o conjunto desses k números.

Agora, como f é injetiva, o complementar em relação a N da imagem de
f(f(n)) é composta pelos k naturais que não pertencem a imagem de f(n) + os
k naturais que são as imagens de A. Assim, temos 2k naturais que não
pertencem a imagem de f(f(n)).

Mas, se f(f(n)) = n + 2005 existem  2005 naturais que não pertencem a
imagem de f(f(n)), logo f não pode ser uma função de
N->N

On Friday, 11 May 2018, Bruno Visnadi  wrote:

> Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
> Lema 1: f é injetora.
> Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
> Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
> Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
> injetora, f(f(a) - 2005) = a.
> Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
> Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
> elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002 elementos
> t de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é injetora, pelo
> princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que f(f(t)) ∈ S ⇒
> 2015 + t  ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.
>
> Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
> a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
> de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
> f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
> pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
> elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
> menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
> Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
> f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.
>
> Portanto, não existe tal f.
>
> Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo 
> escreveu:
>
>> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
>> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
>> i é um número ímpar
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo 
>> wrote:
>>
>>> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
>>> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
>>> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>>>
>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
>>> g(f(n)) + m = n  + 2005
>>> g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é
>>> um polinômio, que é um absurdo.
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
>>> wrote:
>>>
 Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
 um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial

 On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
 saldana...@pucp.edu.pe> wrote:

> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
> geral
>
> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
> escribió:
>
>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>> teríamos
>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
>> deve ser um número natural.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
>> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
>>> 2005 ???
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Ralph Teixeira]

(Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
embaixo e ajeite as coisas)

Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
a+2005=b+2005 => a=b.

Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto, por
indução, para qualquer K natural, tem-se
f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.

VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.

VERSÃO LONGA, QUE EH O MESMO RACIOCÍNIO ESCRITO DE OUTRO JEITO:
Em outras palavras, mostramos que se a e b deixam o mesmo resto na divisão
por 2005, f(a) e f(b) também o fazem.

Agora olhe para o conjunto {f(0),f(1),f(2),f(3),...,f(2004)} e pense que
restos estes números deixam na divisão por 2005.
-- Não ha dois restos iguais! Se fosse, digamos, f(25)-f(19)=K.2005,
teríamos f(25)-f(19)=f(19+K(2005))-f(19), e, pela injetividade,
19+K(2005)=25, absurdo.
-- Mas então todos os restos de 0 a 2004 estão presentes ali naquele
conjunto...
-- ...porem, se f(a)=K.2005+b onde b eh o resto de f(a) na divisão por
2005, então f(b)=f(b+K.2005)-K.2005=f(f(a))-K.2005=a+(1-K).2005. Ou seja,
se f(a) deixa resto b, então f(b) deixa resto a.

Assim, f determinaria um PAREAMENTO dos números 0, 1, 2, 3, .., 2004 via
estes restos de divisao: f(a)=b (mod 2005) implica f(b)=a (mod 2005), e
vice-versa.

Porem, não pode existir este pareamento (são 2005 restos, numero impar!),
absurdo. Portanto, f não existe.

Abraco, Ralph.

2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :

> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

 Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
Lema 1: f é injetora.
Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
injetora, f(f(a) - 2005) = a.
Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002 elementos t
de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é injetora, pelo
princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que f(f(t)) ∈ S ⇒
2015 + t  ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.

Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.

Portanto, não existe tal f.

Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo 
escreveu:

> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
> i é um número ímpar
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo 
> wrote:
>
>> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
>> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
>> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
>> g(f(n)) + m = n  + 2005
>> g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
>> polinômio, que é um absurdo.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
>> wrote:
>>
>>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
>>> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
>>> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>>>
 com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
 geral

 El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
 escribió:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
> deve ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
>> 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
i é um número ímpar

On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo 
wrote:

> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
> g(f(n)) + m = n  + 2005
> g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
> polinômio, que é um absurdo.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
> wrote:
>
>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um
>> polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
>> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>>
>>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
>>> geral
>>>
>>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
>>> escribió:
>>>
 Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
 teríamos
 f(f(n)) = a(an + m) + m
 f(f(n)) = (a^2)n + am + m

 Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
 deve ser um número natural.

 On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
 jefersonram...@gmail.com> wrote:

> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
> ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Claudio Buffara]

Mas pode ser que f não seja afim.

Enviado do meu iPhone

Em 11 de mai de 2018, à(s) 17:21, Rodrigo Ângelo  
escreveu:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então 
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m)Â + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m 
> 
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve 
> ser um número natural.
> 
>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir  
>> wrote:
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
f(f(n)) = g(f(n)) + m

Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
g(f(n)) + m = n  + 2005
g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
polinômio, que é um absurdo.

On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
wrote:

> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um
> polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>
>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
>> geral
>>
>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
>> escribió:
>>
>>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>>> teríamos
>>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>>
>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
>>> deve ser um número natural.
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
>>> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>>>
 Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
 ???

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>
>> --
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um
polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial

On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
saldana...@pucp.edu.pe> wrote:

> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais geral
>
> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
> escribió:
>
>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>> teríamos
>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
>> ser um número natural.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
>> wrote:
>>
>>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
>>> ???
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Julio César Saldaña Pumarica]

com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais geral

El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
escribió:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
> ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

Acredito que isso só prova que a função não pode ser um polinômio do
primeiro grau, mas não prova que ela não existe.

Em 11 de maio de 2018 17:21, Rodrigo Ângelo 
escreveu:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
> ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Pedro José]

Boa noite!

Porém,  existem funções de|N em |N que não as afins.
Saudações,
PJMS

Em 11 de mai de 2018 17:33, "Rodrigo Ângelo" 
escreveu:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
> ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
teríamos
f(f(n)) = a(an + m) + m
f(f(n)) = (a^2)n + am + m

Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
ser um número natural.

On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
wrote:

> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Função Composta

[Jeferson Almir]

Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Função composta

[Rejane]

Outra ajuda:

Sendo f( x) = ln x e g ( x ) = tg ( x ) .

Determine dom (fog) e dom (gof).

Determine fog (x)



Obrigada.

[obm-l] Função composta, intervalo.

[Albert Lucas]

Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se pudessem
explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais difícil
para mim perceber).
 Obrigado.

 Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3
e
   (fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x=1
e
4x + 3 se x1

   Obtenha a lei que define f.

Re: [obm-l] Função composta, intervalo.

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Albert..

fog(x) = f(g(x)).. assim:
f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x=1 e 4x+3 se x1..

faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2
agora basta substituir pra obter a f(x)..

abracos,
Salhab


On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se pudessem
 explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais difícil
 para mim perceber).
  Obrigado.

  Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e

(fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x=1
 e
 4x + 3 se x1

Obtenha a lei que define f.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Função composta, intervalo.

[Albert Lucas]

Olá Marcelo, obrigado pela ajuda.

Eu consigo achar a resposta  corretamente, que neste caso é:

f(x)=x^2+3x -1 --4x^2-6x-1 se x=1

f(x)=2x+9  -- para 4x+3 se x1

  Só que não entendo como proceder para achar o intervalo para ambos os
casos, na resposta do livro ele diz que f é x^2+3x -1 se x=-1 e 2x+9 se
x-1. Poderia me explicar a forma para achar esses intervalos para f.

Obrigado,
 Albert.





On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá Albert..

 fog(x) = f(g(x)).. assim:
 f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x=1 e 4x+3 se x1..

 faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2
 agora basta substituir pra obter a f(x)..

 abracos,
 Salhab


 On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote:
  Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se
 pudessem
  explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais
 difícil
  para mim perceber).
   Obrigado.
 
   Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e
 
 (fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x=1
  e
  4x + 3 se x1
 
 Obtenha a lei que define f.
 

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Função composta, intervalo.

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Albert,

faca igual vc fez com a funcao.. mas agora substitua x nos intervalos..
vai dar exatamente o que vc disse.. :)

abracos,
Salhab


On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Olá Marcelo, obrigado pela ajuda.

 Eu consigo achar a resposta  corretamente, que neste caso é:

 f(x)=x^2+3x -1 --4x^2-6x-1 se x=1

 f(x)=2x+9  -- para 4x+3 se x1

   Só que não entendo como proceder para achar o intervalo para ambos os
 casos, na resposta do livro ele diz que f é x^2+3x -1 se x=-1 e 2x+9 se
 x-1. Poderia me explicar a forma para achar esses intervalos para f.

 Obrigado,
  Albert.






 On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Olá Albert..
 
  fog(x) = f(g(x)).. assim:
  f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x=1 e 4x+3 se x1..
 
  faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2
  agora basta substituir pra obter a f(x)..
 
  abracos,
  Salhab
 
 
  On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote:
   Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se
 pudessem
   explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais
 difícil
   para mim perceber).
Obrigado.
  
Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e
  
  (fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x=1
   e
   4x + 3 se x1
  
  Obtenha a lei que define f.
  
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 
 =
 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Função composta, intervalo.

[Albert Lucas]

Tudo ok.

Obrigado pela ajuda.

On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá Albert,

 faca igual vc fez com a funcao.. mas agora substitua x nos intervalos..
 vai dar exatamente o que vc disse.. :)

 abracos,
 Salhab


 On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote:
  Olá Marcelo, obrigado pela ajuda.
 
  Eu consigo achar a resposta  corretamente, que neste caso é:
 
  f(x)=x^2+3x -1 --4x^2-6x-1 se x=1
 
  f(x)=2x+9  -- para 4x+3 se x1
 
Só que não entendo como proceder para achar o intervalo para ambos os
  casos, na resposta do livro ele diz que f é x^2+3x -1 se x=-1 e 2x+9 se
  x-1. Poderia me explicar a forma para achar esses intervalos para f.
 
  Obrigado,
   Albert.
 
 
 
 
 
 
  On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
  
   Olá Albert..
  
   fog(x) = f(g(x)).. assim:
   f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x=1 e 4x+3 se x1..
  
   faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2
   agora basta substituir pra obter a f(x)..
  
   abracos,
   Salhab
  
  
   On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se
  pudessem
explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais
  difícil
para mim perceber).
 Obrigado.
   
 Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por
 g(x)=2x-3 e
   
   (fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x=1
e
4x + 3 se x1
   
   Obtenha a lei que define f.
   
  
  
 
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   Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
   http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  
 
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta (obrigada)

[renatinha15a]

Oi Claudio, mais uma vez obrigada pela ajuda, consegui 
entender sim.

[]´s
  Renatinha

 
__
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Função Composta

[Claudio Buffara]

Oi, Renatinha:

Veja meus comentarios no corpo da sua mensagem.


on 04.06.03 22:31, renatinha15a at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 olá pessoal, estou com uma dúvida conceitual sobre
 fuções compostas. É bem boba, mas pesquisei em vários
 livros e não encontrei a resposta. Estarei grata por
 qualquer esclarecimento.
 
 Definição de função composta:
 Dadas as funções f de A em B, e g de B em C, chama-se
 função composta de f e g a função:
 (gof): A - C, tal que (gof)(x) = g(f(x))
 dúvida preliminar
 Gostaria de saber se existe algum critério para o g
 vir primeiro que o f(x), ou seja, por que ele não
 definiu como f(g(x))?

Observe que:
g leva B em C;
f leva A em B.
Para um dado elemento x de B, f(g(x)) soh estaria definido se g(x) (que
pertence a C) tambem pertencesse a A, dominio de f, o que nao eh sempre o
caso.

Repare que gof eh uma funcao de A em C, com uma escala em B, ou seja,
primeiro f leva um elemento x de A no elemento f(x) de B. Em seguida, g leva
esse elemento f(x) (de B) no elemento g(f(x)), o qual pertence a C.

 Estou questionando isso por causa de um teorema sobre
 composta de funções inversas entre si -não o entendi
 totalmente-. Estou colocando este teorema, de acordo com
 o livro, logo abaixo, e em seguida exponho minha dúvida -
 e que tem relação com a já acima citada-.
 
 Teorema:
 Seja f uma função bijetora de A em B. Se f^-1 é a função
 inversa de f, então:
 f^(-1)of = Ia  e  fof^1 = Ib.
 Demonstração:
 qualquer que seja x E A,
 (f^(-1)of)(x) = f^-1(f(x)) = f^-1(y) = x
 qualquer que seja y E B,
 (fof^1)(y) = f(f^-1(y) = f(x) = y

 dúvida
 Se F: A - B, então f^-1 = B - A
 Primeiramente, decorre da definição da função composta
 que gof (g círculo f) só está definida quando o
 contradomínio da f é igual ao domínio da g.

Isso nao eh estritamente necessario. Basta que a imagem do conjunto A pela
funcao f (normalmente denominada f(A)) esteja contida no dominio de g.

 Portanto, conclui-se que
 f(f^-1(x)) e f^-1(f(x)) estão definidos. Mas a dúvida é:
 Em f(f^-1(x)), temos B - B ou A - A, a mesma pergunta
 serve para f^1(f(x)).
 
Eh soh ver em qual conjunto comeca e em qual termina.
f leva A em B
f^(-1) leva B em A
Assim:
fof^(-1) leva um elemento x de B no elemento (fof^(-1))(x) de A, passando
pelo elemento f^(-1)(x) de B == Logo, fof^(-1): B - B.

Analogamente, voce conclui que f^(-1)of: A - A.

 []´s
 Renatinha
 
Espero que tenha ficado claro.

Um abraco,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Fw: [obm-l] função composta

[Davidson Estanislau]

 f(0+1) = 3f(0) - 2
 f(1) = 3f(0) - 2
 4 = 3f(0) -2
 3f(0) = 6
 f(0) = 2

 Até breve!

 Davidson Estanislau


-Mensagem Original- 
De: [EMAIL PROTECTED] 

Para: [EMAIL PROTECTED] 
Enviada em: Quarta-feira, 15 de Janeiro de 2003 02:25
Assunto: [obm-l] função composta
7) Considere a função f, 
de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1)=3f(x)-2. O valor de f(0) é 
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Obs: a resposta é 
2 . Eu gostaria de um auxilio nesta questão, pois apesar de fácil para 
quem tem prática, eu estou ainda pegando prática com estas questões. 

[obm-l] função composta

[Faelccmm]

7) Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1)=3f(x)-2.
O valor de f(0) é

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Obs: a resposta é 2 . 

Eu gostaria de um auxilio nesta questão, pois apesar de fácil para quem tem prática, eu estou ainda pegando prática com estas questões.

[obm-l] RES: [obm-l] função composta

[Guilherme Pimentel]

f(1)=3f(0)-2
4=3f(0)-2
f(0)=6/3=2

  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de 
  [EMAIL PROTECTED]Enviada em: quarta-feira, 15 de janeiro de 2003 
  01:25Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] função 
  composta7) 
  Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1)=3f(x)-2. 
  O valor de f(0) é (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 
  Obs: a resposta é 2 . Eu gostaria de um auxilio nesta questão, 
  pois apesar de fácil para quem tem prática, eu estou ainda pegando prática com 
  estas questões. 

[obm-l] Função composta

[Faelccmm]

Estava assistindo a um filme que não tem nada a ver com matemática ou ciências exatas em geral. Em um trecho do filme a protagonista dizia ao seu namorado que o relacionamento deles não andava nada bom. Quando ela falou relacionamento lembrei de relação, e de relação lembrei de relação binária e função. Das palavras que apareciam na legenda ditas pelo casal eu estava tentando montar 2 funções onde o domínio seria a quantidade de vogais proferidas a cada legenda e a imagem seria um termo qualquer como n^2 onde n= qtde de vogal em cada diálogo.
Surgiram algumas dúvidas nessa minha construção:

1) Isso pode ser considerado uma função se considerarmos que a qtde de vogais jamais iria se repetir? Digo isso, pois se houvesse repetição o gráfico teria mais de um ponto pertencendo a uma linha imaginária paralela à 0y, como sabemos. 

2) Como uma função composta esta representada no gráfico cartesiano? Somente atráves de dois eixos, ou existiria um 3º, como z, configurando um espaço tridimensional? E se tivessemos n funções compostas teriamos também n espaços vetoriais com com dimensões iguais a n-1?