Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Daniel Quevedo]

Sim, olhei rápido não percebi b/a^2 que tem que ter um algarismo. Está de
fato correta a solução

Em sex, 18 de mai de 2018 às 19:53, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
> Daniel,
> observe com calma a solução do colega. Ele não considerou a como um
> algarismo. Note que a solução apresentada por ele foi para a = 143.
> Acontecerá novamente para a=142857143 É mais uma infininixade de vezes.
> Mas sempre b/a^2=7 e portanto, único.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Sex, 18 de mai de 2018 19:34, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>>
>> Sim, agora olhei com mais calma e entendi. Está correto
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 19:22, Otávio Araújo <
>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> E eu não usei a como um número natural qualquer?
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo 
>>> escreveu:
>>>
 A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
 algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
 divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
 Mas me parece q essa é a resolução correta.
 Obrigado

 Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
 otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:

> * e é o único valor possível.
>
> Esqueci o "e" kkl
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<=
>> a <10^n.
>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois 
>> estes
>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. 
>> E
>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>> nesse caso é o único valor possível.
>>
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
>> escreveu:
>>
>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = 
>>> aa.
>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 
>>> é:
>>>
>>> A) 0
>>> B) 1
>>> C) 2
>>> D) 3
>>> E) mais de 3
>>>
>>>
>>> R: b
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Fiscal: Daniel Quevedo

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Pedro José]

Boa noite!
Daniel,
observe com calma a solução do colega. Ele não considerou a como um
algarismo. Note que a solução apresentada por ele foi para a = 143.
Acontecerá novamente para a=142857143 É mais uma infininixade de vezes. Mas
sempre b/a^2=7 e portanto, único.
Saudações,
PJMS

Em Sex, 18 de mai de 2018 19:34, Daniel Quevedo 
escreveu:

>
> Sim, agora olhei com mais calma e entendi. Está correto
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 às 19:22, Otávio Araújo <
> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>> E eu não usei a como um número natural qualquer?
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo 
>> escreveu:
>>
>>> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
>>> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
>>> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
>>> Mas me parece q essa é a resolução correta.
>>> Obrigado
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
 * e é o único valor possível.

 Esqueci o "e" kkl

 Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
 otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:

> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<=
> a <10^n.
> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
> nesse caso é o único valor possível.
>
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 
>> é:
>>
>> A) 0
>> B) 1
>> C) 2
>> D) 3
>> E) mais de 3
>>
>>
>> R: b
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

A resposta permanece somente 7, na verdade já tinha noção do que vc falou.
De fato, se a=(10^(6n+3)+1)/7, b será
(10^(6n+3)+1)^2/7 e a^2 será (10^(6n+3)+1)^2/7^2,  e a razão b/a^2
continuará 7

Em sex, 18 de mai de 2018 19:26, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
> Otávio,
> sua solução foi bela. Mas 10^n mod7 é periódica com período mínimo =6, já
> que 10^n=1 mod7.
> Portanto o que aconteceu para n=3, acontecerá também para n = 9, 15, 21,
> 27...
> Creio que haja uma infinidade de respostas.
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em Sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
>> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
>> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
>> Mas me parece q essa é a resolução correta.
>> Obrigado
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> * e é o único valor possível.
>>>
>>> Esqueci o "e" kkl
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
 (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
 então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
 <10^n.
 Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
 critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
 nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
 de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
 caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
 nesse caso é o único valor possível.


 Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
 escreveu:

> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>
> A) 0
> B) 1
> C) 2
> D) 3
> E) mais de 3
>
>
> R: b
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

De boas

Em sex, 18 de mai de 2018 19:33, Pedro José  escreveu:

> Desculpe-me, o problema se relaciona ao fator do múltiplo e não às
> ocorrências de a. Portanto, só há uma solução.
> Correto.
>
> Em Sex, 18 de mai de 2018 19:16, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Otávio,
>> sua solução foi bela. Mas 10^n mod7 é periódica com período mínimo =6, já
>> que 10^n=1 mod7.
>> Portanto o que aconteceu para n=3, acontecerá também para n = 9, 15, 21,
>> 27...
>> Creio que haja uma infinidade de respostas.
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em Sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo 
>> escreveu:
>>
>>> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
>>> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
>>> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
>>> Mas me parece q essa é a resolução correta.
>>> Obrigado
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
 * e é o único valor possível.

 Esqueci o "e" kkl

 Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
 otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:

> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<=
> a <10^n.
> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
> nesse caso é o único valor possível.
>
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 
>> é:
>>
>> A) 0
>> B) 1
>> C) 2
>> D) 3
>> E) mais de 3
>>
>>
>> R: b
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Pedro José]

Boa noite!
Não havia prestado atenção no enunciado e julgará que fosse a quantidade de
soluções a e não do quociente b/a^2. Está correto.
É que para a há uma infinidade de soluções. Porém b/a^2 é constante.
Saudações,
PJMS


Em Sex, 18 de mai de 2018 19:22, Otávio Araújo 
escreveu:

> E eu não usei a como um número natural qualquer?
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
>> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
>> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
>> Mas me parece q essa é a resolução correta.
>> Obrigado
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> * e é o único valor possível.
>>>
>>> Esqueci o "e" kkl
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
 (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
 então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
 <10^n.
 Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
 critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
 nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
 de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
 caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
 nesse caso é o único valor possível.


 Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
 escreveu:

> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>
> A) 0
> B) 1
> C) 2
> D) 3
> E) mais de 3
>
>
> R: b
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Daniel Quevedo]

Sim, agora olhei com mais calma e entendi. Está correto

Em sex, 18 de mai de 2018 às 19:22, Otávio Araújo 
escreveu:

> E eu não usei a como um número natural qualquer?
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
>> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
>> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
>> Mas me parece q essa é a resolução correta.
>> Obrigado
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> * e é o único valor possível.
>>>
>>> Esqueci o "e" kkl
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
 (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
 então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
 <10^n.
 Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
 critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
 nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
 de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
 caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
 nesse caso é o único valor possível.


 Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
 escreveu:

> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>
> A) 0
> B) 1
> C) 2
> D) 3
> E) mais de 3
>
>
> R: b
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Pedro José]

Desculpe-me, o problema se relaciona ao fator do múltiplo e não às
ocorrências de a. Portanto, só há uma solução.
Correto.

Em Sex, 18 de mai de 2018 19:16, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
> Otávio,
> sua solução foi bela. Mas 10^n mod7 é periódica com período mínimo =6, já
> que 10^n=1 mod7.
> Portanto o que aconteceu para n=3, acontecerá também para n = 9, 15, 21,
> 27...
> Creio que haja uma infinidade de respostas.
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em Sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
>> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
>> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
>> Mas me parece q essa é a resolução correta.
>> Obrigado
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> * e é o único valor possível.
>>>
>>> Esqueci o "e" kkl
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
 (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
 então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
 <10^n.
 Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
 critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
 nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
 de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
 caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
 nesse caso é o único valor possível.


 Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
 escreveu:

> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>
> A) 0
> B) 1
> C) 2
> D) 3
> E) mais de 3
>
>
> R: b
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Pedro José]

Boa noite!
Otávio,
sua solução foi bela. Mas 10^n mod7 é periódica com período mínimo =6, já
que 10^n=1 mod7.
Portanto o que aconteceu para n=3, acontecerá também para n = 9, 15, 21,
27...
Creio que haja uma infinidade de respostas.
Saudações,
PJMS


Em Sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo 
escreveu:

> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
> Mas me parece q essa é a resolução correta.
> Obrigado
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>> * e é o único valor possível.
>>
>> Esqueci o "e" kkl
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>>> <10^n.
>>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>>> nesse caso é o único valor possível.
>>>
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
>>> escreveu:
>>>
 Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
 número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
 Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:

 A) 0
 B) 1
 C) 2
 D) 3
 E) mais de 3


 R: b
 --
 Fiscal: Daniel Quevedo

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

De nada

Em sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo 
escreveu:

> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
> Mas me parece q essa é a resolução correta.
> Obrigado
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>> * e é o único valor possível.
>>
>> Esqueci o "e" kkl
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>>> <10^n.
>>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>>> nesse caso é o único valor possível.
>>>
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
>>> escreveu:
>>>
 Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
 número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
 Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:

 A) 0
 B) 1
 C) 2
 D) 3
 E) mais de 3


 R: b
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

E eu não usei a como um número natural qualquer?

Em sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo 
escreveu:

> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
> Mas me parece q essa é a resolução correta.
> Obrigado
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>> * e é o único valor possível.
>>
>> Esqueci o "e" kkl
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>>> <10^n.
>>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>>> nesse caso é o único valor possível.
>>>
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
>>> escreveu:
>>>
 Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
 número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
 Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:

 A) 0
 B) 1
 C) 2
 D) 3
 E) mais de 3


 R: b
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Daniel Quevedo]

A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
Mas me parece q essa é a resolução correta.
Obrigado

Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo 
escreveu:

> * e é o único valor possível.
>
> Esqueci o "e" kkl
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>> <10^n.
>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>> nesse caso é o único valor possível.
>>
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
>> escreveu:
>>
>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>>>
>>> A) 0
>>> B) 1
>>> C) 2
>>> D) 3
>>> E) mais de 3
>>>
>>>
>>> R: b
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>>
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Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

* 10^(n-1)<=a<10^n


Esqueci dos parênteses tbm kkk

Em sex, 18 de mai de 2018 18:28, Otávio Araújo 
escreveu:

> * e é o único valor possível.
>
> Esqueci o "e" kkl
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>> <10^n.
>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>> nesse caso é o único valor possível.
>>
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
>> escreveu:
>>
>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>>>
>>> A) 0
>>> B) 1
>>> C) 2
>>> D) 3
>>> E) mais de 3
>>>
>>>
>>> R: b
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Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

* e é o único valor possível.

Esqueci o "e" kkl

Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo 
escreveu:

> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
> <10^n.
> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
> nesse caso é o único valor possível.
>
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>>
>> A) 0
>> B) 1
>> C) 2
>> D) 3
>> E) mais de 3
>>
>>
>> R: b
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>> Fiscal: Daniel Quevedo
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Otávio Araújo]

Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b = (10^n+1)*a.
 ( * denota multiplicação)
então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
<10^n.
Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
nesse caso é o único valor possível.


Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo 
escreveu:

> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>
> A) 0
> B) 1
> C) 2
> D) 3
> E) mais de 3
>
>
> R: b
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Problemas selecionados

[Daniel Quevedo]

Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o número
obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa. Sabendo
que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) mais de 3


R: b
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Problemas selecionados de Matemáti ca

[jose\.l]

Ha pouco tempo, veio um e-mail, dizendo que tinha sido lancado a nova edicao desse notavel livro,mas, tive um problema com meu e-mail e o perdi! Quem puder me mandar um e-mail dizendo como posso adquirir ficarei grato! Um forte abraco aos companheiros da lista!!!

[obm-l] Re: [obm-l] Problemas selecionados de Matemática

[Thor]

Está a venda na livraria cultura.
espero ter ajudado.

Cláudio Thor

  - Original Message - 
  From: 
  jose.l 
  To: obm-l 
  Sent: Thursday, July 06, 2006 8:51 
  AM
  Subject: [obm-l] Problemas selecionados 
  de Matemática
  
  
  Ha pouco tempo, veio um e-mail, dizendo que tinha sido lancado a nova 
  edicao desse notavel livro,mas, tive um problema com meu e-mail e o perdi! 
  Quem puder me mandar um e-mail dizendo como posso adquirir ficarei grato! Um 
  forte abraco aos companheiros da lista!!!

Re: [obm-l] Problemas Selecionados de Matematica

[Marcos Martinelli]

   Não é difícil provar que existe m inteiro tal que a=m^4 e n inteiro
tal que c=n^2. Basta decompor b e d em produto de fatores primos. Logo
c-a=n^2-m^4=(n+m^2)*(n-m^2)=19=19*1=1*19 e então analisar os únicos
casos válidos que se chega á resposta.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Problemas Selecionados de Matemática - Vol.I

[aguinaldo goncalves jr]

Pessoal,Alguém tem esse livro abixo descrito para venda, ou sabe como posso adquirir?Problemas Selecionados de Matemática - Vol.IFundamentos de Álgebra e AnáliseAntonio Luiz Santos / Raul F. W. Agostino.Grato,  Aguinaldo
		 
Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!

Re: [obm-l] Problemas Selecionados de Matematica

[Eduardo Wilner]

   Na realidade , seu m seria b/a e seu n seria d/c, racionais; mas porque inteiros?Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] escreveu: Não é difícil provar que existe m inteiro tal que a=m^4 e n inteirotal que c=n^2. Basta decompor b e d em produto de fatores primos. Logoc-a=n^2-m^4=(n+m^2)*(n-m^2)=19=19*1=1*19 e então analisar os únicoscasos válidos que se chega á resposta.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		 
Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!

Re: [obm-l] Problemas Selecionados de Matematica

[Marcos Martinelli]

   Como eu disse, suponha b=produtório(1=i=k)(p_i^a_i), onde p_i são
os primos em ordem crescente e a_i são números naturais. E agora temos
o seguinte: b^4=produtório(1=i=k)[p_i^(4*a_i)] =
a^5=produtório(1=i=k)[p_i^(4*a_i)] =
a=produtório(1=i=k)[p_i^(4*a_i/5)] = a_i=5*k_i com k_i natural já
que a deve ser um número natural = a=produtório(1=i=k)[p_i^(4*k_i)]
= Tomando m=produtório(1=i=k)[p_i^k_i] temos a=m^4. (m natural!)
   Para provar que c=n^2 o argumento seria análogo. Este argumento
pode ser estendido para um caso geral do tipo a^p=b^q (a,b,p,q todos
naturais) desde que que q não divida p.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Problemas Selecionados de Matemática

[Thor]

Meu nome é Cláudio Thor , moro em recife , alguém que mora em recife tem esse 
livro Problemas Selecionados de Matemática, de Antônio Luiz Santos e Raul F. 
W. Agostinho, para mim tirar uma copia(Já que eu não conseguir encontrar nos 
sebos daqui de recife).

Fico agradecido.

[EMAIL PROTECTED]


Cláudio Thor 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Problemas Selecionados de Matematica

[profmarcio]

Boa noite, pessoal. 

Gostaria da ajuda de vocês no problema seguinte, do livro Problemas 
Selecionados 
de Matemática, de Antônio Luiz Santos e Raul F. W. Agostinho. 

Sejam a, b, c, d inteiros positivos tais que a ^ 5 = b ^ 4, c ^ 3 = d ^ 2 e c 
- a 
= 19. O valor de d - b é: 

a) 757 b) 758 c) 759 d) 760 e) 761 

Eu fiz o seguinte: 

1. De a ^ 5 = b ^ 4 vem que a = (b/a) ^ 4. Como a é inteiro, b/a é inteiro. 
2. De c ^ 3 = d ^ 2 vem que c = (d/c) ^ 2. Como d é inteiro, d/c é inteiro. 
3. Fazendo b/a = p e d/c = q, de c - a = 19 vem que (q ^ 2 - p ^ 4) = 19, ou 
seja, 
(q - p ^ 2)(q + p ^ 2) = 19. Daí, q = 10 e p = 3, ou seja, b = 3a e d = 10c. 
4. Assim, de b = 3a e d = 10c, vem que d - b = 10c - (10a - 7a) = 10(c - a) + 
7a. 
Fazendo as contas, conclui-se que d - b deixa resto 1 ao ser dividido por 7.. 
Dentre 
as opções, a única que satisfaz é 757. 

Minha pergunta é: como encontrar o valor de d - b sem utilizar as opções? 

[]s, 

Márcio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=