Primeiro uma correção:
No problema que eu enviei há pouco, sobre a caminhada na face da Terra, eu só consegui achar uma infinidade enumerável de soluções. Me parece que são as únicas.
***
Alguém saberia explicar porque a fração contínua simples de "e" apresenta uma regularidade enquanto que a de
Prezado Sr. Marcelo de Moura Costa:
Mandei o e-mail abaixo pra lista obm-l e nao diretamente a V.Sa. O tal e-mail
foi em resposta a uma mensagem enviada por uma outra
pessoa, a qual sempre envia problemas pra lista (alguns dos quais bem
interessantes, eh verdade!) mas raramente comenta ou
Quão difícil é este problema?
Considere a seguinte sequência de pontos em R^2:
P_0 = (1,0)
P_1 = ponto da curva y = x^2 e vértice do triângulo equilátero P_0P_1P_2 cuja base P_0P_2situa-se sobre o eixo x.
P_2 = terceiro vértice do triângulo equilátero mencionado acima.
Daí em diante, teremos que,
Ops! Tens razão - mancada minha...
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja k o menor inteiro positivo para o qual existem k inteiros maiores do que 1, livres de quadrados e primos entre si dois-a-dois m_1, ..., m_k tais que:
raiz(m_k) pertence a Q(raiz(m_1), ..., raiz(m_(k-1))).
***
Lema 1:
N é
De:
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Para:
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Mon, 7 Aug 2006 18:42:32 -0300
Assunto:
[obm-l] Re: Polinômio nos inteiros
2006/8/7, Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]:
Olá, pessoal da lista.Já pensei sobre este problema mas não tive uma boa idéia
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Mon, 7 Aug 2006 20:56:48 -0300
Assunto:
[obm-l] Velocidades
Olá pessoal,
boa noite.
Tenho um problema de velocidade que só consegui resolver uma parte, se alguém puder me ajudar, ficaria grato.
No início de um
Então você só passa adiante os problemas que te enviam?
Não tenta resolver antes?
De:
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Data:
Fri, 4 Aug 2006 15:40:08 + (GMT)
Assunto:
Re: [obm-l] Alg. LinearDeve ser isso mesmo. eh q me passaram, ai num sei se eh aquilo
Aqui vai uma solução razoavelmente feia...
Suponhamos que a equação tenha solução (x,y).
Como n = 3, temos que x^n - y^n = 2^3 - 1^3 = 7 4 == k = 3.
2 aparece com o mesmo expoentena decomposição de x e y pois, caso contrário, dividindo x e y por 2^m (m = menor expoente), ficaríamos com:
De:
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Data:
Tue, 01 Aug 2006 14:37:56 -0400
Assunto:
[obm-l] Teoria dos numeros?
Liste todos os pares (m,n) para os quais 2^m + 3^n e um quadrado perfeito.
Estou supondo que m e n são inteiros não-negativos.
Por inspeção
Soma dos divisores positivos de um quadrado perfeito =
produto de fatores da forma (1 + p + p^2 + ... + p^(2m)),
onde p eh primo e m eh inteiro positivo.
Logo, cada fator desse produto eh sempre impar.
Isso eh obvio se p = 2.
Se p eh impar, basta observar que o fator correspondente consiste na
Godel nao conquistou Medalha Fields mas qualquer historiador serio havera de
coloca-lo como um dos Grandes Matematicos do seculo XX enquanto que o
Cavalheiro da Rainha, se algum historiador o citar, se muito sera lembrado
como um Matematico mediano e, no entanto, tem Medalha Fields e uma
Como o mestre não respondeu, aqui vai a minha explicação:
Em vez de trocar x por x/3 faça x = y/3.
Daí f(3x-2) = 81f(x) vira f(y-2)=81f(y/3).
Fica mais claro assim?
E o grau foi obtido comparando os termos de maior grau:
f(y-2) = a_n(y-2)^n +... == Termo de maior grau = a_ny^n
81f(y/3)=
Os únicos números perfeitos conhecidos são aqueles da forma:
N = 2^(p-1)*(2^p-1) onde p e 2^p-1 são primos ==
o primo 2^p-1 aparece com expoente 1 na decomposição de N ==
N não pode ser quadrado perfeito.
Para o caso de um número perfeito ímpar (se existir algum...)a conclusão decorredo seguinte
1) Determine todos os polinomios P nao identicamente nulos tais que
P(3x-2)=81P(x) para todo x real.
x = 1 == P(1) = 81P(1) == P(1) = 0 == P(x) = (x - 1)Q(x)
P(x - 2) = 81P(x/3)
Se P(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n, entao, comparando os termos de maior grau:
a_nx^n = 81a_n(x/3)^n == n = 4
Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ...
A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%.
Ao aproximar Pi por excesso
De:
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Data:
Wed, 19 Jul 2006 13:22:09 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] Grupos Cíclicoscleber vieira [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá amigos, gostaria de saber qual a condição necessária para que um determinado elemento de um
Antes de mais nada, parabens a nossa equipe!
A meu ver, 6 medalhas de bronze mostram muito mais consistencia do que, por exemplo, 1 ouro, 1 prata e 4 maos abanando...
Eu tambem tenho a impressao (por favor me corrijam se eu estiver enganado) de que paises como China e Coreia do Sul preparam seus
De:
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Data:
Thu, 13 Jul 2006 01:47:19 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] Matrizes
a)Se A é uma matriz de ordem n tal que A^3=4A. Mostre que A+I é inversivel.
Solucao pelo metodo "eu sou burro mas nao sou cego":
Como A^3 - 4A = 0,
Esse tah me enchendo o saco:
Prove que toda sequencia de2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos) possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n.
***
Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que:
raiz(2) + raiz(3) Pi.
Foienviada alguma solucao?
Tens toda a razao. Bela mancada literaria! Ainda bem que esta é uma lista de matemática. Que me perdoem os barões assinalados...
[]s,
Claudio.
De:
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Data:
Sun, 09 Jul 2006 20:54:05 -0300
Assunto:
[obm-l] Re:[obm-l] FORMULAS
Use funcoes geratrizes (ou será geradoras?).
Supondo as faces equiprováveis, teremos:
Número de Casos Favoráveis:
Coeficiente de t^z na expansão de (t+t^2+...+t^y)^x
Número de Casos Possíveis: y^x
Assim, por exemplo, comx = 2 dados normais (y = 6), a probabilidade de se ter soma z (2 =z =12)
Esse enunciado está esquisito pois (a,b) parece ser o domínio de f, g e h, enquanto que uma funcao é sobrejetora sobre o seu contra-domínio, que no caso parece ser o R^3. Não seria, por acaso, "injetora"?
[]s,
Claudio.
De:
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Alguém conseguiu uma demonstração ou um contra-exemplo pra segunda proposição?
Aliás, isso me lembra um problema proposto há meses pelo Paulo Santa Rita.
Definimos duas funções de Partes(R) em Partes(R):
F(X) = Fecho de X
e
C(X) = R - X = Complementar de X.
Assim, F(Q) = R; F((0,1]) = [0,1];
Considere um disco que contem todos os 100 pontos e as (no maximo) Binom(100,2)
retas determinadas por estes pontos.
Tome um ponto P fora do tal disco e que nao esteja sobre nenhuma das retas
mencionadas.
Qualquer semi-reta com origem em P contem no maximo um dos 100 pontos.
Logo, a cada um dos
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Data: Fri, 7 Jul 2006 22:41:02 + (GMT)
Assunto: [obm-l] FORMULAS DE REDUÇÃO
Um amigo me disse que existe uma regra de memorização pra formulas de redução
(trigonometria) num livro da Mir
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Data: Wed, 28 Jun 2006 19:46:42 -0300
Assunto: [obm-l] Re: Convergência de Série
Também não sei se tá certo... Mas... =/
Ratio Test (Apostol 1 pag 400): (a_n+1 / a_n) - L qdo n- infinito.
Se L
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Data: Thu, 29 Jun 2006 02:00:42 -0300
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Condição de Existência de quadriláteros
Cada um dos lados deve ser menor do que a soma dos outros três.
Essa condicao eh
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Data: Wed, 28 Jun 2006 23:24:48 -0300
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Convergência de Série
Olá Claudio,
nao analisei sua demonstracao, mas segue a minha:
Sabemos que: (a_n - 1/n)^2 0, assim:
De:
Segue abaixoo problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon, juntamente com a minhasolução errada.
O problema que proponho é: achar o erro na soluçãoe dar uma solução correta.
Seja (a_n) uma sequência de números reais.
Prove que se SOMA(n=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n=1) (a_n)/n
De:
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Data:
Wed, 28 Jun 2006 17:38:31 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] Matrizes
Sejam M e N matrizes do tipo n x n distintas tais que:
(i)M^3=N^3
(ii)MN^2=NM^2
É possível que X = M^2+ N^2 seja inversível?
(M-N)*(M^2+N^2) =
Esse número é a única solução real da equação x = cos(x).
Ele aparece pela seguinte razão:
Dado x(1) qualquer, x(2) = cos(x(1)) pertence ao intervalo [-1,1] e, portanto, x(3) = cos(x(2)) pertence a[cos(1),1].
No intervalo [cos(1),1], a função cos(x) é estritamente decrescente, e sua derivada
Sejam:
S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + + 1/(2n-1)- 1/(2n)
e
H = 1 + 1/2 + 1/3 + + 1/(2n)
Então:
S=H - 2*(1/2 + 1/4 +... + 1/(2n)) =
H - (1 + 1/2 + ... + 1/n) =
1/(n+1)+ 1/(n+2) + ... + 1/(2n)
[]s,
Claudio.
De:
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Data:
Thu,
A série 1 + x + x^2/2 + x^3/3! + ... de fato converge para todo x real, mas não uniformemente.
Pra ver isso, observe que:
e^x - 1 - x - x^2/2 - ... - x^(n-1)/(n-1)! =
x^n/n! + x^(n+1)/(n+1)! + ... x^n/n! 1,
desde que x (n!)^(1/n).
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
Esse é fácil mas não deixa de ser um resultado curioso (e que eu nunca tinha visto antes):
Tome um triângulo qualquer ABC.
Prolongue BC até P (C entre B e P) de modo que CP = BC.
Prolongue CA até Q (A entre C e Q) de modo que AQ = CA.
Prolongue AB até R (B entre A e R) de modo que BR = AB.
Qual a
Ao invés de prolongar um triângulo, conforme descrito abaixo, prolongue um quadrilátero qualquer (convexo), de forma análoga, ou seja, se o quadrilátero é ABCD, prolongue AB até P, BC até Q, CD até R e DA até S, de modo que AB = BP, BC = CQ, CD = DR e DA = AS. Qual a relação entre as áreas de ABCD
Use a definição de convergência uniforme.
Suponhamos que SOMA(n=0) f_n(x) convirja para F(x) para todo x real.
Dizer que a convergência não é uniforme significa dizer que:
existe eps 0 (no caso, eu usei eps = 1) tal que, para todo n inteiro positivo, podemos obter um x real (eu usei x
De:
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"OBM-L" obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Fri, 16 Jun 2006 23:49:35 -0300
Assunto:
[obm-l] Algebra: elementos nilpotentes e aneis de integridade
Pessoal,
Alguém pode, por favor, me dar uma dica de como resolver estes dois
problemas de álgebra?
Não. M = ABA^(-1)B^(-1) == MBA = AB
Eu consegui fazer esse pra matrizes 2x2. Minha idéia foi trabalhar com matrizes elementares da forma:
1 a
0 1
1 0
a1
a 0
0 1/a
0 -a
1/a 0
Eu provei que:
i)cada uma delas é igual a um comutador;
ii) cada matriz de determinante 1 é igual a um produto finito
Um de álgebra linear pra variar...
Prove que, para cada matriz quadrada M com determinante igual a 1, existem matrizes quadradas invertíveis A e B tais que M = A*B*A^(-1)*B^(-1).
[]s,
Claudio.
Tambémpode ser:
Trinom(2m+2n;m,n,m+n)/Binom(2m+2n,2m),
onde:
Trinom(a+b+c;a,b,c) = (a+b+c)!/(a!*b!*c!)
De:
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Data:
Tue, 06 Jun 2006 11:15:40 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] (2m)!(2n)!/(m!n!(m+n)!)
claudio.buffara wrote:
Alguém
Alguém conhece algum problema de combinatória cuja resposta seja:
(2m)!(2n)!/(m!n!(m+n)!) ?
Eu estou tentando provar que este número é inteiro, quaisquer que sejam m e n naturais mediante um argumento combinatório, mas até agora não consegui.
[]s,
Claudio.
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Data: Wed, 31 May 2006 19:36:57 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] Primos gemeos
Este problema que me foi proposto me pareceu
interessante:
Mostre que, se a e p forem inteiros positivos com p
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 31 May 2006 20:33:58 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] Existencia de limite
A demonstracao do fato a seguir tem, na minha opiniao,
uns detalhes interessantes. Eh uma extensao do
criterio
14 está entre 13 e 15, ou pelo menos estava da última vez que eu chequei...
De:
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Data:
Thu, 1 Jun 2006 06:44:43 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Primos gemeos
Olá Artur,
Posso estar errada, mas para a=2 e p=3 a fórmula falha.
De:
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Data:
Sat, 27 May 2006 03:41:49 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] somatorio
Calcule : sum(k=0-n)k^2*C(n,k)*5^k
gab: 5n(5n+1)6^(n-2).
Usando repetidamente o fato de que k*C(n,k) = n*C(n-1,k-1), temos:
k^2*C(n,k) =
Seja x_n = (2+raiz(3))^n + (2-raiz(3))^n.
x_n obedece a uma relacao de recorrencia linear de 2a. ordem, cujo polinomio caracteristico ehx^2 - 4x + 1.
Logo, x_n = 4*x_(n-1) - x_(n-2) com x_0 = 2 e x_1 = 4.
Isso quer dizer que x_n eh sempre par.
Mas 0 2-raiz(3) 1 == 0 (2-raiz(3))^n 1, para n
Eu costumo olhar pra determinantes e cofatores apenas em último caso...
MasA é claramente diagonal inferior e a diagonal consiste só de 1's.
Logo, det(A) = 1 e, portanto, a inversa de A é diagonal inferior com coeficientes inteiros.
Olhando casos pequenos, eu conjecturo que B = A^(-1) é tal
Alguém conhece alguma forma inteligente de se inverter a matriz nxn A = (a_i,j) tal que a_i,j = Binom(i-1,j-1) ?
Obs: Naturalmente, vale a convenção: r s == Binom(s,r) = 0.
***
Também estou procurando uma demonstração combinatória de:
SOMA(k=0...r) (-1)^k*Binom(n,k) = (-1)^r*Binom(n-1,r)
com 1
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 16 May 2006 21:50:00 + (GMT)
Assunto: [obm-l] Euler
Alguem sabe demonstrar a formula de Euler usando algum argumento combinatorio?
Ops! Voce estah absolutamente certo. Obrigado.
[]s,
Claudio.
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Mon, 15 May 2006 15:37:33 -0300
Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Cálculo
-Mensagem
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Mon, 15 May 2006 18:47:05 +
Assunto:
[obm-l] 3 problemas antigos [quase sol. do primeiro]
Sauda,c~oes,
Aí vai a quase solução do primeiro problema com comentários
do prof. Rousseau.
Your Download-Link:
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Mon, 15 May 2006 10:49:01 -0300
Assunto:
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Cálculo
Para quais valores de k a equação e^(2x)=k.sqrt(x) tem exatamente uma
solução?
Me parece que o problema pode ser refraseado
Nesse caso, nem os reais são necessários. Basta alguns racionais.
Por exemplo, os múltiplos inteiros de 0,01 ou 0,0001.
Quanto ao livro, um quesai mais em conta é o Funções de uma Variável Complexa, do Alcides Lins Neto - Projeto Euclides. R$ 25,00 na SBM.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL
E o truque da inducao eh o seguinte:
Suponha spdg que a_1 = a_2 = ... = a_n
Caso 1: se a_1 = a_n, entao, os a_i sao todos iguais a 1 e acabou.
Caso 2: a_1 a_n == a_1 1 a_n ==
(1 - a_1)*(a_n - 1) 0 ==
a_1 + a_n 1 + a_1*a_n ==
(a_2*...*a_(n-1))*(a_1*a_n) = 1 == (pela HI)
a_2 + .. + a_(n-1) +
Ou entao, voce pode usar a formula de Heron, juntamente com MG = MA.
Sejam a, b, c os lados e p o semi-perimetro do triangulo.
a b + c == 2a a + b + c = 2p == a p == p-a 0
Analogamente, p-b 0 e p-c 0.
Como p eh constante, maximizar A eh equivalente a maximizar (A^2/p)^(1/3).
Heron == A^2/p =
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: OBM-l (E-mail) obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 11 May 2006 16:38:26 -0300
Assunto: [obm-l] Polinomios com coeficientes inteiros
Alguem conhece este teorema?
Suponhamos que P seja um polinomio do grau n com
Um amigo chega em t = X e sai em t = X+10, onde 0 = X = 60
O outro chega em t = Y e sai em t = Y+10, onde 0 = Y = 60.
Naturalmente, eles se encontram se e somente se um chega antes do outro sair,
ou seja, se e somente se:
X = Y+10 e Y = X+10 == X-10 = Y = X+10
Fazendo um grafico, vemos que o
Eu acho que este argumento é falho pois ao dividir (2m)!*(2n)! por m!*n! você pode "perder" os fatores primos que fariam com que o quociente fosse divisível por (m+n)!.
Um jeito de resolveré provando que cada primo aparece em (2m)!*(2n)! com um expoente igual ou maior do queo expoentecom que este
O conjunto A consiste de 4 esferas de raio R cujos centros coincidem com os
vertices de um tetraedro regular de aresta 2R.
Qual a aresta do menor tetraedro regular que pode ser circunscrito a A?
[]s,
Claudio.
=
Eu ainda prefiro uma demonstração combinatória.
Problema: Quantos ternos ordenados (x,y,z) existem cujos elementos pertencem a {1, 2, 3, ..., n, n+1} e são tais que x y e x z?
Solução 1:
Para x = k+1 (k em {1, 2, ..., n}), temos k escolhas para y e k escolhas para z. Logo, existem k^2 ternos
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 4 May 2006 18:52:52 -0300
Assunto: [obm-l] Divisão de polinômios
Olá à todos da lista, esse é o primeiro tópico que inicio aqui. Estudando
divisibilidade de polinômios me deparei com
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 5 May 2006 01:20:28 -0300
Assunto: [obm-l] multiplo de 4
V se alguem pode me ajudar com ajuda com essa
Sejam n, a1, a2, a3,...,an, números inteiros tais que
Ache todos as racionais a tais que 1/4= a =3/4 e que (4a-1)/(27a^4) seja
inteiro.
Seja a = m/n, com m e n inteiros positivos primos entre si.
1/4 = m/n = 3/4 e (4m/n - 1)/(27m^4/n^4) = k = inteiro nao-negativo, pois
a = 1/4 ==
n^3(4m - n) = 27km^4
m | 27km^4 == m | n^3(4m - n) == m
De:
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Data:
Fri, 5 May 2006 08:56:14 -0300
Assunto:
[obm-l] reais somando 1/3
Ache todos os numeros reais x e y tais que
(1-x)^2 + (x-y)^2 +y^2 = 1/3
1 - 2x + x^2 + x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 1/3 = 0
x^2 - xy + y^2 - x +
Aqui vai um interessante:
Seja ABC um triângulo cujo circuncentro é O.
Qual a resultante (soma) dos vetores OA, OB e OC?
[]s,
Claudio.
Dada a fatoração em primos de um inteiro, é fácil obter a soma dos quadrados dos seus divisores. Também é fato que n e n+1 não tem nenhum fator primo em comum. Mas daí a uma solução analítica acho que vai uma boa distância.
O problema está no capítulo 1 do livro "Funções Aritméticas - Números
Veja o livro Curso de Análise - vol. 2 do Elon Lages Lima, em particular a observação que se segue ao Teorema 1 do cap. III - seção 3.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
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"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Tue, 2 May 2006 08:58:45 -0300
Assunto:
[obm-l] Condição
arcsen(1 - 2b^2/a^2), onde a = hipotenusa e b = cateto menor
De:
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Data:
Tue, 02 May 2006 14:51:41 -0300
Assunto:
[obm-l] PROBLEMA GEO
Srs
Qual é o ângulo formado pela mediana e a altura referentes à
hipotenusa?
Aqui vai um que está dando trabalho:
Ache todos os pares de inteiros positivos consecutivos cujas respectivas somas dos quadrados dos divisores positivos são iguais.
Por inspeção, eu achei 6 e 7 (1^2 +2^2 +3^2 + 6^2 = 1^2 + 7^2) mas não consegui achar outras nem provar que esta é a única
-- Cabeçalho original ---
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Data: Sat, 29 Apr 2006 00:45:23 + (GMT)
Assunto: [obm-l] Desigualdade
Quem puder me ajudar agradeço.
1/2 * 3/4 * 5/6*...*99/1001/12
A = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * ... *
z^4 + 4 =
z^4 + 4z^2 + 4 - 4z^2 =
(z^2 + 2)^2 - (2z)^2 =
(z^2 + 2z + 2)*(z^2 - 2z + 2)
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Fri, 28 Apr 2006 11:03:49 -0300
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[obm-l] Achar as raizes z^4+4
Favor como achar as raizes
Ache as 4 raizes da
Esse problema tem uma generalização interessante:
1. Ache todos osnaturais que podem ser representados como uma diferença de quadrados de naturais;
2. Para quais deles a representação é única?
Por exemplo, se p é um primo ímpar, então:
a^2 - b^2 = p ==
(a + b)(a - b) = p ==
a + b = p e a - b = 1
Se os cubos tiverem que ser não-negativos, então isso é falso.
Tente expressar 23 como soma de cubos.
O mínimo número de cubosnão-negativos necessário pra expressar qualquer inteiro positivo (como uma soma de cubos) é 9 e, se você tiver uma prova por indução desse fato, eu gostaria muito de
Seja p um termo dessa progressão, cuja razão é r.
S.p.d.g. podemos supor que r é um inteiro positivo.
p é obviamente primo, senão acabou.
Mas então, p + p*r = p*(1 + r) é um termo da progressão e é composto.
Logo, uma tal progressão não pode existir.
Seja S = SOMA(k=1...100) x_k.
x_k = S - x_k -
Dados inteiros positivos a, b com mdc(a,b) = 1, o problema é encontrar todos os inteiros positivos que podem ser representados na forma ax + by, onde x e y são inteiros não-negativos.
Nesse caso:
1) ab - a - b não pode ser representado;
2) todo inteiro maior do queab - a - b pode ser
Oi, Denisson:
Os links não tem nenhum conteúdo matemático relevante.
Só valem a pena por causa da indignação demonstrada pelo tal Fabiano Sutter (o suposto quebrador do RSA) com o ceticismo de outros participantes da lista. Até hoje não sei se ele estava falando sério ou não, mas como ele sumiu,
Acho queo argumento do Wagner se aplica desde que L distancia entre os dois pontos, pois o segmento quase horizontal pode ser arbitrariamente curto.
[]s,
Claudio.
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Tue, 7 Feb 2006 21:39:15 -0300
Assunto:
Re:
Caros colegas da lista:
Antes de mais nada, espero que, para todos nos,2006 seja muito melhor que 2005 e muito pior que 2007.
No mais, eu lembro de ter lido no livro Curso de Analise - vol. 1 do Elon uma opiniao (se nao me enganoatribuida aSpivak) sobre o conceito de numero, que eh a seguinte:
on 14.12.05 15:08, Leonardo de Almeida Matos Moraes at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Pessoal,
uma deficiencia que sempre tive foi em Teoria dos numeros. Como acho que
nunca e' tarde para aprender, sera' que voces poderiam me indicar uma boa
bibliografia neste tema?
Abracos desde ja',
De todos estes problemas futebolísticos que apareceram recentemente na lista, ainda acho o mais interessante este aqui:
Num campeonato com n times, cada par de times joga uma única vez, cada vitória vale 2 pontos, cada empate 1 e cada derrota 0. É fácil ver que o número total de pontos disputados
x = 2 == 2f(2) - f(1/2) = 4
x = 1/2 == -f(2) + 2f(1/2) = 1/4
Resolvendo esse sisteminha pra f(2) e f(1/2) obtemos:
f(1/2) = 3/2 e f(2) = 11/4 ==
2f(2) + f(1/2) = 11/2 + 3/2 =7.
[]s,
Claudio.
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Tue, 22 Nov 2005
Aqui vai um bonitinho...
Dado o polinomio complexo p(z) = a_0 + a_1*z + ... + a_n*z^n,
prove que se, para algum k em [0,n], vale |a_k| SOMA(i k) |a_i|,
entao p(z) tem exatamente k raizes (contadas com multiplicidade) no interior
do disco unitario (|z| 1).
[]s,
Claudio.
Um problema interessante relacionado a esse eh o seguinte:
Dada uma sequencia nao-crescente de 8 inteiros nao-negativos cuja soma eh
56, determinar se esta sequencia pode ou nao representar as pontuacoes dos 8
times ao final do campeonato.
Por exemplo, se o primeiro termo de uma sequencia valida
Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma questão de fatorial
Seja f: R - R dada por:
f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)...(x + 2006) - 1.
Entao:
f(x)/2006! = x(1 + x)(1 + x/2)(1 + x/3)...(1 + x/2006) - 1/2006!
Se x 0, entao f(x)/2006! x - 1/2006!
Eh claro que f(0) = -1.
Alem disso, 1/2006! 0 ==
Ou então,
P = (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)
Q = (2/3)*(4/5)*(6/7)*...*(100/101)
Claramente, P Q ==
P^2 PQ = 1/101 ==
P 1/raiz(101) 1/raiz(100) = 1/10
Por outro lado,
R = (1/2)*(2/3)*(4/5)*...* (98/99), de modo que:
P R ==
P^2 PR = (1/2)*(1/100) = 1/200 ==
P 1/raiz(200) 1/raiz(225) =
on 02.11.05 14:30, Guilherme Augusto at [EMAIL PROTECTED] wrote:
2) como eu resolvo Soma(1, infinito)(1/i^2) sem
recorrer a cálculo? Onde eu peguei dizia que era
possível usando apenas propriedades de somatório. (na
verdade, pedia para provar que a soma é (pi^2)/6 )
De uma olhada no
Title: Re: RES: [obm-l] Economia na lista obm-l
OK. Entao aqui vai, jah com desculpas pelo meio-off-topic.
Consideremos o caso de uma opcao de compra com 1 ano de prazo, preco de exercicio = K, sobre um ativo que hoje vale S e, daqui a um ano, vai valer:
H, com probabilidade p ou L, com
] Em nome de Claudio Buffara
Enviada em: sábado, 5 de novembro de 2005 10:32
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Economia na lista obm-l
OK. Entao aqui vai, jah com desculpas pelo meio-off-topic.
Consideremos o caso de uma opcao de compra com 1 ano de prazo, preco de exercicio
isto prova o que você queria.
Abraços,
Aldo
Claudio Buffara wrote:
Po, amigo! A demonstracao estah essencialmente completa. Basta notar que10^6 == 1 (mod 7) e, portanto, a coisa toda se repete com periodo 6 noexpoente de 10. Aquele E por ai vai... soh precisa ser substituido por umainducao
Title: Re: [obm-l] matrizes (olimpiada)
Voce soh pode fazer isso se souber de antemao que A e B sao invertiveis.
Por exemplo, A = B = matriz nula == AB = A e BA = B, mas A^2 + B^2 2I.
Sem maiores informacoes, acho que o maximo que dah pra concluir eh que A^2 + B^2 = A + B.
[]s,
Claudio.
on
?
Abraços,
Aldo
Claudio Buffara wrote:
Re: [obm-l] matrizes (olimpiada) Voce soh pode fazer isso se souber de antemao que A e B sao invertiveis.
Por exemplo, A = B = matriz nula == AB = A e BA = B, mas A^2 + B^2 2I.
Sem maiores informacoes, acho que o maximo que dah pra concluir eh que A^2 + B^2
Pelo que eu entendi, voce tem uma expressao do tipo:
y = (ax + b)/(cx + d), com a, b, c, d inteiros conhecidos e quer saber se
existe algum inteiro positivo x tal que y seja inteiro positivo.
Se esse for o caso, faca o seguinte:
Caso 1: c = 0.
Nesse caso, d tem que dividir ax + b, ou seja, ax ==
Uma correcao:
No Caso 1, se mdc(a,d) dividir b, entao a solucao serah unica no intervalo
[1,d/mdc(a,d)].
on 03.11.05 07:08, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pelo que eu entendi, voce tem uma expressao do tipo:
y = (ax + b)/(cx + d), com a, b, c, d inteiros conhecidos e quer saber
on 03.11.05 11:27, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis at
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Turma! Gostaria de dedicar esse singelo artigo ao amigo postal Chicão
Valadares, por três motivos pessoais: primeiro, por ter sido o único que
encaminhou minhas mensagens à lista na ocasião do meu afastamento;
)*P(n-1, t-1) + (1/2)*P(n-2, t-1).
Se você introduzir uma função geradora (ou geratriz) g, pode obter uma recorrência (em t) para g, resolvê-la, e descobrir que P(n,t) é zero, se nt ou n2t, e que, para t = n = 2t, vale
P(n,t) = [(1/2)^t] . C(t, n-t).
[]'s, Leo.
On 11/3/05, Claudio Buffara [EMAIL
Title: Re: [obm-l] para Claudio( n° complexos)
Eh isso mesmo. Voce poderia tentar usar esse metodo geometrico (e compara-lo com o algebrico) pra resolver os quatro problemas abaixo.
Achar os complexos z tais que:
1) |(z-i)/(z-1)| = a, para a 0 e a 1.
2) |z-i| + |z-1| = b (para que valores de
Title: Re: [obm-l] equacao3
De onde voce estah tirando estes problemas?
Qualquer bom livro de teoria dos numeros ou teoria dos numeros algebricos descreve pelo menos os metodos de solucao dessas equacoes.
[]s,
Claudio.
on 02.11.05 10:26, Klaus Ferraz at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Mostre que a
on 02.11.05 14:37, Guilherme Augusto at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Tenho algumas duvidas e gostaria que voces da lista me ajudassem.
1) quando eu tenho em uma equação característica de
uma recorrência, do tipo a_(n)*t^n +
a_(n-1)*t^(n-1)+...+ a_0=0 e encontro dois (ou
mais)resultados iguais
no excelente 100 Great Problems of Elementary Mathematics de Heinrich Dorrie - cap. 20 - para a equacao de Pell.
[]s,
Claudio.
on 02.11.05 14:24, Adroaldo Munhoz at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Como resolve?
Claudio Buffara wrote:
Re: [obm-l] equacao3 De onde voce estah tirando estes problemas
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