Re: [obm-l] Ligas Metalicas
(...) nessa nova liga, a razão entre OURO e PRATA deve ser 5 : 11 (...) Não me parece que o enunciado diga isso. Na verdade, ele pergunta isso: (...) Qual a razao entre as massas de ouro e prata na nova liga? Na verdade, o enunciado diz: *as massas *de X e Y, na razao 5:11 Ou seja, na nova liga a razão entre o total de ouro e prata proveniente de X e o total de ouro e prata proveniente de Y é 5:11. Daí: 1 parte de X contém 2/5x de ouro e 3/5x de prata 1 parte de Y contém 3/10x de ouro e 7/10x de prata (sendo x o peso de uma parte) Na nova liga, há 5 partes de X para 11 partes de Y, portanto: 2x + 33/10x ouro para 3x + 77/10x de prata ou seja, 53/10x de ouro para 107/10x de prata ou seja, a nova razão é 53/107. Hugo. 2009/7/1 Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com Olá Jose Aurimenes Na liga X há 2 partes de ouro e 3 de prata, então se 5x for a massa total da liga X, teremos 2x de ouro e 3x de prata.Usando o mesmo raciocínio para a liga Y teremos 3y de ouro e 7y de prata (a massa total da liga Y é 10y). Fundindo as massas das duas ligas, a nova liga terá: OURO: 2x + 3y ( *i* ) PRATA: 3x + 7y( *ii* ) Mas, nessa nova liga, a razão entre OURO e PRATA deve ser 5 : 11, então podemos escrever: 11(2x + 3y) = 5(3x + 7y), donde: x = 2y/7. Substitua agora este valor de x em ( *i* ) e em ( *ii* ) e você terá (na nova liga) as massas 27y/7 de OURO e 45y/7 de PRATA. Portanto, a razão (na nova liga) entre as massas de OURO e PRATA é: (27y/7) / (45y/7) que é igual a 5/9, a razão pedida. Abraços 2009/7/1 Jose Aurimenes profa...@yahoo.com.br Pessoal, peco ajuda na solucao. Dispomos de 2 ligas de ouro e prata. A liga X contem os metais, respectivamente, na razao de 2:3, e a liga Y os contem, respectivamente, na razao 3:7. Fundindo as massas de X e Y, na razao 5:11, obtemos uma nova liga. Qual a razao entre as massas de ouro e prata na nova liga? Antecipadamente agradeco. Aurimenes -- Palmerim
Re: [obm-l] Ligas Metalicas
Concordo com o Hugo, 5/11 é a razão entre partes de X e partes de Y, que contém frações diferentes de outro e prata. Na solução do Palmerim ele considerou 5/11 como a razão entre as massas de ouro e prata depois de fundir X e Y, mas 5 e 11 seriam quantas partes foram usadas de cada liga. E não seriam 27y/7 e 45y/7, seriam 25y/7 e 55y/7, em que a razão é 5/11 e não 5/9. A lógica da solução não é a correta. 2009/7/2 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com (...) nessa nova liga, a razão entre OURO e PRATA deve ser 5 : 11 (...) Não me parece que o enunciado diga isso. Na verdade, ele pergunta isso: (...) Qual a razao entre as massas de ouro e prata na nova liga? Na verdade, o enunciado diz: *as massas *de X e Y, na razao 5:11 Ou seja, na nova liga a razão entre o total de ouro e prata proveniente de X e o total de ouro e prata proveniente de Y é 5:11. Daí: 1 parte de X contém 2/5x de ouro e 3/5x de prata 1 parte de Y contém 3/10x de ouro e 7/10x de prata (sendo x o peso de uma parte) Na nova liga, há 5 partes de X para 11 partes de Y, portanto: 2x + 33/10x ouro para 3x + 77/10x de prata ou seja, 53/10x de ouro para 107/10x de prata ou seja, a nova razão é 53/107. Hugo. 2009/7/1 Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com Olá Jose Aurimenes Na liga X há 2 partes de ouro e 3 de prata, então se 5x for a massa total da liga X, teremos 2x de ouro e 3x de prata.Usando o mesmo raciocínio para a liga Y teremos 3y de ouro e 7y de prata (a massa total da liga Y é 10y). Fundindo as massas das duas ligas, a nova liga terá: OURO: 2x + 3y ( *i* ) PRATA: 3x + 7y( *ii* ) Mas, nessa nova liga, a razão entre OURO e PRATA deve ser 5 : 11, então podemos escrever: 11(2x + 3y) = 5(3x + 7y), donde: x = 2y/7. Substitua agora este valor de x em ( *i* ) e em ( *ii* ) e você terá (na nova liga) as massas 27y/7 de OURO e 45y/7 de PRATA. Portanto, a razão (na nova liga) entre as massas de OURO e PRATA é: (27y/7) / (45y/7) que é igual a 5/9, a razão pedida. Abraços 2009/7/1 Jose Aurimenes profa...@yahoo.com.br Pessoal, peco ajuda na solucao. Dispomos de 2 ligas de ouro e prata. A liga X contem os metais, respectivamente, na razao de 2:3, e a liga Y os contem, respectivamente, na razao 3:7. Fundindo as massas de X e Y, na razao 5:11, obtemos uma nova liga. Qual a razao entre as massas de ouro e prata na nova liga? Antecipadamente agradeco. Aurimenes -- Palmerim -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Pri mos
No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são infinitos. Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é uma falha do teorema. Acredito que uma prova válida de que existem infinitos primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por Euler e converge para infinito. 2009/6/24 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com Caros colegas, Quero lhes contar que obtive um resultado sobre os números primos e que acho ser muito importante para a teoria dos números. Existe porém um grande problema para mim, pois não consigo ver pessoas que considerem a relevância de tal descoberta. Como sei que muitos de vocês se dedicam à teoria dos números, gostaria de compartilhar os resultados que obtive com alguns dentre vós. Primeiro, algo importante devo dizer: iniciei recentemente meu curso de Matemática na UFAM, mas este trabalho venho desenvolvendo-o muito antes, desde o ano 2005, portanto, desde já estou me considerando como matemático amador na apresentação do mesmo. O que apresento é a demonstração do Teorema da Ordinalidade dos Números Primos, com o que poderemos determinar a posição de um número primo *p*no conjunto dos números primos, para todo e qualquer valor de *p*. As consequências disso, o conjunto dos números *p*-complementares e a fórmula geral para calcular o *n*-ésimo numero primo são apresentadas na parte final do texto. Talvez eu não tenha o domínio da linguagem matemática formal necessária para descrever precisamente os fatos que observei e isso se reflete na construção do texto (mais palavras, menos letras) e no estilo. Então, àqueles que lerem o texto, considerem-no um tipo de rascunho aperfeiçoado. De qualquer maneira, acho que sei bem o que escrevi. (Afinal, as idéias são mais importantes que os símbolos que possam representá-las). Por favor, quem tiver interesse me mande um e-mail e eu lhe enviarei um PDF. (Caro colega Nicolau Saldanha, você que conhece bem o assunto, por favor me mande o e-mail). Minha única necessidade(!) neste momento é mostrar à comunidade que talvez meus resultados sejam (são!) importante para a teoria dos números e dos números primos. Sinceramente, Marco Bivar -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
Oi Henrique e obm-l, 2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são infinitos. Isso se chama prova por (redução ao) absurdo, e consiste numa das ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as demonstrações são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma das demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem o que você vai dizer. Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é uma falha do teorema. Justamente, isso se chama a hipótese de absurdo. E é justamente por ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa. Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente falsas ou verdadeiras, existindo uma terceira possibilidade, mas isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em matemática (mesmo que talvez devesse sê-lo !) Acredito que uma prova válida de que existem infinitos primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por Euler e converge para infinito. Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se fossem finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série harmônica divergiria, o que não é o caso ! Abraços lógicos, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordin alidade dos Números Primos
2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Oi Henrique e obm-l, 2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são infinitos. Isso se chama prova por (redução ao) absurdo, e consiste numa das ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as demonstrações são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma das demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem o que você vai dizer. No livro Os Problemas do Milênio do autor Keith Devlin (que o Marco Bivar colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a demonstração que Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira. Posso colocar a demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de entender. Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por contradição), mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que o novo primo gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo, o que pelo mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou listagens de primos geradas por computador esse novo número pode ser um composto. Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é uma falha do teorema. Justamente, isso se chama a hipótese de absurdo. E é justamente por ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa. Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente falsas ou verdadeiras, existindo uma terceira possibilidade, mas isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em matemática (mesmo que talvez devesse sê-lo !) Acredito que uma prova válida de que existem infinitos primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por Euler e converge para infinito. Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se fossem finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série harmônica divergiria, o que não é o caso ! Abraços lógicos, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teor ema da Ordinalidade dos Números Primos
Henrique. Poderia colocar aqui a tal demonstração da falsidade do argumento de Euclides, para que possamos discuti-la de forma mais consistente? Abraços. Hugo. 2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com 2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Oi Henrique e obm-l, 2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são infinitos. Isso se chama prova por (redução ao) absurdo, e consiste numa das ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as demonstrações são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma das demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem o que você vai dizer. No livro Os Problemas do Milênio do autor Keith Devlin (que o Marco Bivar colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a demonstração que Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira. Posso colocar a demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de entender. Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por contradição), mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que o novo primo gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo, o que pelo mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou listagens de primos geradas por computador esse novo número pode ser um composto. Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é uma falha do teorema. Justamente, isso se chama a hipótese de absurdo. E é justamente por ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa. Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente falsas ou verdadeiras, existindo uma terceira possibilidade, mas isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em matemática (mesmo que talvez devesse sê-lo !) Acredito que uma prova válida de que existem infinitos primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por Euler e converge para infinito. Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se fossem finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série harmônica divergiria, o que não é o caso ! Abraços lógicos, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] ANÁLISE COMBINATÓRIA!
*Um exame consta de 4 provas. Os graus em cada matéria variam de 0 a 10, aproximados até décimos. Qual o número mínimo de candidatos que nos permitirá afirmar a existência de dois que tenham obtido notas idênticas? * É uma aplicação do chamado Princípio da Casa de Pombos. Existem 101 graus possíveis (incluindo o grau 0) em cada prova. Logo, existem 101^4 graus possíveis nas quatro provas combinadas. Assim, o número pedido é 101^4+1. *Quantos milhares sem algarismos repetidos podem ser formados com 2 algarismos pares e 2 ímpares significativos?* Escolher dois algarismos pares significativos distintos: C(4,2) Escolher dois algarismos ímpares significativos distintos: C(5,2) Formas de escolher os quatro algarimos: C(4,2)*C(5,2) Para cada escolha anterior, há 4! formas de montar o milhar (permutações). Então, a resposta será: 4! * C(4,2) * C(5,2). Depois faço os outros. Abraços. Hugo. 2009/6/29 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com Olá, Pessoal! Um exame consta de 4 provas. Os graus em cada matéria variam de 0 a 10, aproximados até décimos. Qual o número mínimo de candidatos que nos permitirá afirmar a existência de dois que tenham obtido notas idênticas? Quantos milhares sem algarismos repetidos podem ser formados com 2 algarismos pares e 2 ímpares significativos? Em quantas permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 os equidistantes dos extremos somam 7? Quantos diferentes colares usando 13 pedras distintas podem ser feitos se virar o colar ao invés de rodar? Qual o número de maneiras que podemos colocar quatro bolas indistingüíveis em seis compartimentos separados? A propósito, quantos números tem todos os seus dígitos de igual paridade? Afinal! Qual o maior número de interseções de 5 circunferências? Abraços! -- Novo Internet Explorer 8: mais rápido e muito mais seguro. Baixe agora, é grátis!http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
Ola Pessoal,
Pelo que sei, Euclides não fala que existe um primo maior, gerado de um primo
menor. Ele fala que o número n não é divisível por nenhum do primos daquele
conjunto finito, tendo assim, que existir ao menos mais um primo que divida
este número
Vamos supor que o conjunto de primos é finito {2,3,5,p1,p2,pk}
Agora, vamos imaginar um número n, tal que
n = 2.3.5.p1.p2. .pk + 1
Nenhum dos p's anteriores divide este número, então, tem que existir um outro
número primo p(k+1) que seja fator de n = p1.p2. .pk + 1.
--- Em qui, 2/7/09, Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com
escreveu:
De: Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da
Ordinalidade dos Números Primos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 2 de Julho de 2009, 16:25
Henrique.
Poderia colocar aqui a tal demonstração da falsidade do argumento de Euclides,
para que possamos discuti-la de forma mais consistente?
Abraços.
Hugo.
2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com
Oi Henrique e obm-l,
2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos
primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que
todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma
inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são
infinitos.
Isso se chama prova por (redução ao) absurdo, e consiste numa das
ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as demonstrações
são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um
dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma das
demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem o que
você vai dizer.
No livro Os Problemas do Milênio do autor Keith Devlin (que o Marco Bivar
colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a demonstração que
Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira. Posso colocar a
demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de entender.
Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por contradição),
mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que o novo primo
gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo, o que pelo
mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou listagens de
primos geradas por computador esse novo número pode ser um composto.
Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é
uma falha do teorema.
Justamente, isso se chama a hipótese de absurdo. E é justamente por
ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do
terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa.
Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente
falsas ou verdadeiras, existindo uma terceira possibilidade, mas
isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em matemática
(mesmo que talvez devesse sê-lo !)
Acredito que uma prova válida de que existem infinitos
primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por
Euler e converge para infinito.
Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se fossem
finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um
raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série
harmônica divergiria, o que não é o caso !
Abraços lógicos,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Henrique
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalid ade dos Números Primos
Olá colegas!
Luiz, tirou as palavras a minha boca.
Só complementando: há duas possibilidades para n = 2.3.5. ... . pk + 1: Ou
ele é primo ou composto.
Bem, se for primo não há o que fazer.
Se for composto, nenhum dos primos 2, 3, 5, ..., pk divide n, já que o
resto da divisão de n por cada primo é 1. Portanto, TEM que existir outro primo
fora dessa lista fechada. Absurdo. O conjunto dos primos não é finito.
E quanto às demonstrações de Euclides, algumas não satisfazem os níveis
atuais de rigor. Há certos teoremas de geometria dos Elementos que não são
conclusão lógica dos cinco famosos axiomas. Daí vários grandes matemáticos
lançarem as suas versões axiomáticas da Geometria Euclidiana.
Mas a demonstração da infinitude dos números primos de Euclides é
irretocável. E pensar que séculos antes de Cristo já era um resultado
conhecido...
José CORINO
- Original Message -
From: luiz silva
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, July 02, 2009 6:09 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]
Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
Ola Pessoal,
Pelo que sei, Euclides não fala que existe um primo maior, gerado de um
primo menor. Ele fala que o número n não é divisível por nenhum do primos
daquele conjunto finito, tendo assim, que existir ao menos mais um primo que
divida este número
Vamos supor que o conjunto de primos é finito
{2,3,5,p1,p2,pk}
Agora, vamos imaginar um número n, tal que
n = 2.3.5.p1.p2. .pk + 1
Nenhum dos p's anteriores divide este número, então, tem que existir um
outro número primo p(k+1) que seja fator de n = p1.p2. .pk + 1.
--- Em qui, 2/7/09, Hugo Fernando Marques Fernandes
hfernande...@gmail.com escreveu:
De: Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]
Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 2 de Julho de 2009, 16:25
Henrique.
Poderia colocar aqui a tal demonstração da falsidade do argumento de
Euclides, para que possamos discuti-la de forma mais consistente?
Abraços.
Hugo.
2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com
Oi Henrique e obm-l,
2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides
existem infinitos
primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um
primo maior que
todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior,
gerando uma
inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou
seja, são
infinitos.
Isso se chama prova por (redução ao) absurdo, e consiste numa
das
ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as
demonstrações
são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua
sendo) um
dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma
das
demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem
o que
você vai dizer.
No livro Os Problemas do Milênio do autor Keith Devlin (que o
Marco Bivar colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a
demonstração que Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira.
Posso colocar a demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de
entender.
Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por
contradição), mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que o
novo primo gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo, o que
pelo mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou listagens
de primos geradas por computador esse novo número pode ser um composto.
Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é
uma falha do teorema.
Justamente, isso se chama a hipótese de absurdo. E é justamente
por
ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do
terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa.
Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente
falsas ou verdadeiras, existindo uma terceira possibilidade, mas
isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em
matemática
(mesmo que talvez devesse sê-lo !)
Acredito que uma prova válida de que existem infinitos
primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi
demonstrado por
Euler e converge para infinito.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Nú meros Primos VER PARA CRER...
Oi, gente, No resisto tentao. Vejam em http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf na pgina 271. Quem preferir ler em grego, tambm t l... Nehab :-) :-) PS: Uma das raras vantagens em no ser mais garoto, alm de ter netos, levar as coisas na esportiva...e ler grego nas horas vagas...(sic) :-D Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: Oi Henrique e obm-l, 2009/7/2 Henrique Renn henrique.re...@gmail.com: No comeo do texto voc cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos primos, mas o teorema no vlido, pois supe que exista um primo maior que todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma inconsistncia e assim concluindo que no h um maior primo, ou seja, so infinitos. Isso se chama "prova por (reduo ao) absurdo", e consiste numa das ferramentas mais uteis em matemtica (pois nem todas as demonstraes so construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um dos grandes fundadores da logica, portanto, se voc acha que uma das demonstraes dele est errada, pense bem forte, e verifique bem o que voc vai dizer. Mas quando se faz a suposio de que existe um maior primo, j uma falha do teorema. Justamente, isso se chama a "hiptese de absurdo". E justamente por ela ser falsa que se chega a uma contradio, e o principio do terceiro excludo garante que na verdade ela realmente falsa. Existem sistemas lgicos onde proposies no so necessariamente falsas ou verdadeiras, existindo uma "terceira possibilidade", mas isso bastante discutido em filosofia, no tanto assim em matemtica (mesmo que talvez devesse s-lo !) Acredito que uma prova vlida de que existem infinitos primos atravs do somatrio 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por Euler e converge para infinito. Ah, se voc olhar bem, esta tambm uma prova por absurdo : se fossem finitos nmeros primos, a tal seqncia convergiria, e por um raciocnio muito esperto, se chega concluso de que a srie harmnica divergiria, o que no o caso ! Abraos lgicos, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
