[obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös
Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos. Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1. Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2. Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] Número de Erdös Olá pessoal, Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös
Ola Pessoal, Falando em Erdos, aqui esta um problema famoso e antigo resolvido pelo Erdos ( Cmado Teorema das 13 esferas ) - que Newton nao resolveu - de uma forma extremamente trabalhosa, mas que permite uma outra solucao, bem mais simples : PROBLEMA : Seja C uma esfera de raio R, fixa. Tangentes (externamente) a C vamos colocando outras esferas C1, C2, ... todas de raio R. Qual a quantidade maxima de esferas que podemos colocar ? SUGESTAO : Coloque C1 e IMAGINE que voce esta em O, o centro de C. IMAGINE todas as semi-retas que partem de O e que sao tangentes a C1. Isto define um angulo-solido. Qual o valor desta angulo solido ? O valor de um angulo-solido e medido em esfero-radianos e, por definicao, e a divisao entre a area que ele intercepta na superficie esfera e o quadrado do raio. Assim, claramente, numa esfera ha 4pi esfero-radianos. Calcule a ara da calota esferica ( existem formulas prontas ) e divida pelo quadrado do raio que voce encontrara o valor o angulo solido. Claramente que toda nova esfera colocada representa um novo angulo-solido de mesmo valor. IMAGINE agora tres esferas tao proximas quanto possivel. Voce percebera que : 1) Surge uma regiao central que nao esta contida em nenhuma das tres calotas iguais definidas pelo tres angulo solidos. Qual o valor, em esfero radianos, do angulo solido correspondente a esta area ? Os planos que contem O e dois outros centros de duas das tres esferas C1, C2, C3 interceptam a superficie de C segundo um triangulo esferico equilatero. A Area deste triangulo e (A+B+C - pi)*R^2 onde A, B e C sao ao angulos do triangulo esferico ( formados pelas tangente a esfera C nos vertices A, B e C. Tendo a area temos o angulo-solido correspondente. Subtrando esta area dos gomos em C1, C2 e C3 calculamos o valor da regiao central. 2) Toda nova esfera colocada com maxima aproximacao entre duas outras ja existente fara surgir um novo angulo-solido ( que ja calculamos ) e uma nova regiao ( que calculamos em 1). Esses sucessivos acrescimos nao podem ultrapassar 4*pi esfero-radianos ... Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1230,100203 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös Date: Mon, 10 Feb 2003 11:42:15 -0300 Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos. Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1. Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2. Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] Número de Erdös Olá pessoal, Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
Caros Artur e Salvador: Por enquanto, o que eu tenho é isso: Por favor, prestem atenção, em especial, à passagem marcada por (*) na volta da demonstração de (2), pois acho que eu introduzi uma hipótese restritiva. Seja I um intervalo real. 1. Prove que: f é unif. diferenciável em I == f' é unif. contínua em I Suponhamos que f seja uniformemente diferenciável em I: Seja eps0. Então existe d0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 |x-y| d, então: | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | eps/2 e | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) | eps/2 Mas, nesse caso: | f'(x) - f'(y) | = | f'(x) - [f(x)-f(y)]/(x-y) + [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y)| = | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | + | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) | eps/2 + eps/2 = eps. == f' é uniformemente contínua em I Suponhamos, agora, que f' seja uniformemente contínua em I: Seja eps0. Então existe d0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 |x-y| d, então | f'(x) - f'(y) | eps. Pelo teorema do valor médio, para quaisquer x e y em I, existe z entre x e y tal que f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y). Como z está entre x e y, teremos 0 |z - x| |x - y| d, o que implica, pela continuidade uniforme de f', que |f'(z) - f'(x)| eps. Sendo assim: | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | = | f'(z) - f'(x) | eps == f'é uniformememente diferenciável em I. 2. Seja f diferenciável em I. f' é limitada em I == existe uma constante K0 tal que: |f(x) - f(y)| = K|x-y| para todos x e y em I Suponhamos que f' seja limitada em I. Então, para todo t em I, existe K 0, tal que -K f'(t) K. Sejam x e y em I, com x = y. Integrando a desigualdade acima de x até y, teremos: y y y INTEGRAL -Kdt INTEGRAL f'(t)dt INTEGRAL Kdt == x x x -K(y-x) f(y) - f(x) K(y-x) == |f(y) - f(x)| K|y-x|. Se x y, tudo muda de sinal e a mesma desigualdade entre valores absolutos continua valendo == f obedece à condição de Lipschitz em I. Suponhamos, agora, que f' não seja limitada. Então, para todo K 0, existirão x e y em I, com x y, tais que para todo t entre x e y, f'(t) K (*). Integrando de x até y, teremos: y y INTEGRAL f'(t)dt INTEGRAL Kdt == x x f(y) - f(x) K(y-x) == |f(y) - f(x)| K|y-x| == f não obedece à condição de Lipschitz. Funções da forma f(x) = x^n*sen(1/x) ou x^n*sen^2(1/x) para X 0 e f(0) = 0, são muito usadas em livros de análise como exemplos de: 1. funções descontínuas em x =0: f(x) = sen(1/x), se x 0, f(0) = qualquer número real 2. funções contínuas mas não diferenciáveis em x=0: f(x) = x*sen(1/x), se x 0, f(0) = 0 3. funções diferenciáveis mas com derivadas descontínuas em x=0: f(x) = x^2*sen(1/x), se x 0, f(0) = 0. Etc ** (3) acima mostra que podem haver funções diferenciáveis em toda a reta mas com derivada descontínua em algum ponto. No entanto, vale o Teorema do Valor Intermediário para derivadas: Seja f diferenciável em (a,b). Dados x1 e x2, com a x1 x2 b, se f'(x1) f'(x2) então, para todo c com f'(x1) c f'(x2), existe z ( x1 z x2 ) com f'(z) = c. Analogamente para quando f'(x1) f'(x2). ** Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática) Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável Caro Artur: Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos se e somente se) eu me deparei com uma dúvida: Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I. É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ? Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio. Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no ponto z=0 . É fácil verificar que se y0x, então f(x)-f(y)]/(x-y)0 e jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do teorema do valor médio, deveríamos ter z entre x e y. PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus? Abraços Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös
Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma importância ou é somente um fruto de alguém muito vaidoso??? - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos. Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1. Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2. Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] Número de Erdös Olá pessoal, Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003
Re: [obm-l] IMO(ih!!!!)
Antes que isso se alastre mais do que ja esta,deixe-me explicar:essas mensagens nao eram para a lista.Eu deveria manda-las para mim mesmo (o Word foi apagado de meu computador pelo tosco do meu irmao) e depois imprimi-las (pois minha impressora esta um lixo),e acabei mandando para a Lista por engano.Desculpe-me pelo Junk Mail,ta? Ass.:JohannTRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös
Importância prática acho que não tem nenhuma. Como Erdos era um matemático de primeira grandeza, acho que vaidade tem um certo peso (mas só se o seu Número de Erdos for igual a 1, ou seja, você é bom o suficiente para co-autorar algum artigo com ele) - Original Message - From: Felipe Villela Dias To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 10, 2003 1:28 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma importância ou é somente um fruto de alguém muito vaidoso??? - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos. Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1. Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2. Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] Número de Erdös Olá pessoal, Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003
Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia
E RIOPLATENSE!!!Uma olimpiada de fim de ano no Cone Sul. O que eu disse e que esses termos (eu dei nomes,ta?) sao tais que|A1-A2| pode se tornar tao grande quanto tu queiras. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Ricardo: Não entendi direito o que você quis dizer. Por acaso seria: suponha que os números da forma 2^x * 3^y são colocados em ordem crescente. Então existem termos consecutivos - digamos A1=2^a * 3^b e A2=2^c * 3^d - tais que um dos números | a - c | ou | b - d | é tão grande quanto se queira? Também o que é OMR (imagino que seja olimpíada de matemática de R)? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: RICARDO CHAVES To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 06, 2003 1:45 PM Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Cara de boa,isto e dificil...Um problema daOMR pedia pra provar que o troço tinha termos cada vez mais longe entre si.E nao tive nenhum lampejo de ideias. From: "Cláudio \(Prática\)" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200 Caro Matteus: Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo está furado. Ele produz uma sequência crescente de números da forma desejada, mas não todos eles - de fato, ele produz a sequência 1, 2, 4, 8, 16,. Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei à conclusão de que é bem mais difícil do que eu imaginava. Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, a sequência será: N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72 a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1 6 3 b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3 0 2 Repare que a sequência de pares (a,b) que produzem todos os N em ordem crescente não parece obedecer nenhuma lei de formação óbvia. Por enquanto, só o que dá pra sugerir é um algoritmo extremamente ineficiente que toma cada número natural, remove os fatores 2, 3 e 5 e, se estes forem os únicos fatores, adiciona este número à sequência. Em seguida toma o número natural seguinte, e assim por diante. Problema interessante. Vou pensar mais um pouco. Um abraço, Claudio - Original Message - From: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Caro Matteus: O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 * 5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A ordenação é a usual (m n == X(m) X(n) ) "Input" N a = 0 b = 0 c = 0 K = 1 (***) X(K) = 1 P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c Flag = 1 Se P 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag = 2 ) Se P 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag = 3 ) Se Flag = 1 então a = a+1 Se Flag = 2 então b = b+1 Se Flag = 3 então c = c+1 K = K+1 Se K = N então Retorna para (***) Fim Espero que isso ajude. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: "matteus barreto" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se encontrar o k-esimo numero da sequencia: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos. Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes. ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. smart spam protection and 2 months FREE* = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_RES:_[obm-l]_RES:_[obm-l]_triângulo
Tinha que ser!!!Uma piada de um dos mais sarcasticos professores dessa lista.Talvez voces ja tenham se deparado com isso varias vezes,como "isto nao se demonstra nem usando nem nao usando." Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] wrote: É uma piada do Morgado! Na lista tem aparecido muitas e muitas questões de vestibulares e concursos com gabarito incorreto... - Original Message - From: Eduardo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 07, 2003 4:35 PM Subject: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] triângulo Caro Morgado, Não entendi... Abraços Edu -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de A. C. MorgadoEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 16:34Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] triânguloSo para comentar que, surpreendentemente, o gabarito esta certo.Eduardo wrote: Olá, Bem, primeiramente você pode aplicar o teorema dos co-senos a fim de descobrir o lado não informado, ou seja, o lado AB, vai cair numa equação do segundo grau de raízes 5 ou 3. Agora use 1/2absenB com os dois valores encontrados anteriormente. Espero ter ajudado. Edu -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune DirichletEnviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 12:17Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] triângulo [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Veja esta questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC=60º. Determine a área do triângulo. resp: 6raiz*(3) ou 10*raiz(3) m^2 Deixa eu ver...ce tem tudo no triangulo!!O raio e com SLS,certo?a=2Rsen A.Com isso ce acha o seno de B pela mesma formula.Ce tem o lado AC e o raio.Para a area ce precisa de um angulo que e 180 menos todos os outros.Cabou!!!"!! Obs: O triângulo citado é um triângulo de base BC. Eu tentei aplicar a lei da área [ S=(a.b.sen alfa)/2], mas não é dado o valor de BA. Sendo assim eu tentei aplicar a lei dos senos para achar BA fazendo 7/sen60º =BA/sen C daí aparece outra incógnita o sen C. A partir disso eu tentei aplicar a lei dos cossenos para achar o cos C, pois é dado no enunciado AC e BC, para depois calcular o sen C pela relaçao fundamental sen^2(x) + cos^2 (x)=1, mas não dá para aplicar a lei dos cossenos, pois não é dado BA. A partir disso entra-se num ciclo vicioso. Será que não está faltando nem um dado? Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Como se leva algo as ultimas consequencias
Aminha ideia era que a lista pensasse sozinha nisso e depois eu entraria no assunto.Mas se voce quiser vtem o fim do e-mail com umas dicas. "Domingos Jr." [EMAIL PROTECTED] wrote: não vai ao menos nos dizer qual é a solução do Tengan? - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 07, 2003 12:40 PM Subject: [obm-l] Como se leva algo as ultimas consequencias Esse e-mail foi uma ideia meio louca que eu tive.Esse problema caiu na IMO de Cuba. Seja f(x)=x²+x+p,em que p e natural.Suponha que f e primo se x vai de zero ate (p/3)^1/3.Mostre que f e primo ate p-2. Uma soluçao foi o Tengan que me mostrou.E bem legal pois mostra como ser destemidos em certos problemas e levar certas ideias ate a ultima consequencia. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra Tente demonstrar que se alguem do intervalo maior e composto entao alguem do intervalo menor tambem sera.Para tal considere o menor cara q com a propriedade.Ai tente limita-lo.Depois eu completo isso.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Diagonais de um Polígono Convexo
Caro Paulo: Segui a sua sugestão para o problema a seguir e cheguei numa resposta bonitinha. A saber: n*(n-3)*(n-4)*(n-5)/12. Espero que seja a correta. PROBLEMA : Num poligono convexo de N lados e tal que duas diagonais quaisquer nao sao paralelas. Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de interseccao de diagonais ? OBS : Considere que nenhum ponto ( interior ou exterior ao poligono ) e ponto de interseccao de mais de duas diagonais. SUGESTAO : Antes de fazer uma sugestao, gostaria de registrar que o nosso colega Alexandre Tessarolo resolveu esta questao aqui nesta lista. A solucao dele nao e essa que vou sugerir. De um vertice partem N-3 diagonais. Se N e par havera uma unica diagonai N-3 diagonais se encontram. Afora este caso, duas diagonais quaisquer se encontraram ou fora ou dentro do poligono. IMAGINE as diagonais que partem de um vertice. Considerando qualquer uma delas em particular, observe que ela cinde o poligono em dois outros sub-poligonos que tem um lado em comum ( que e a diagonal sob analise ). Qualquer par de diagonais, uma de cada um dos sub-poligonos representam um ponto de interseccao no exterior, a excecao daqueles pares que tem um vertice comum. Finalmente, para que nao surjam dificuldades devido a paridade de N, use [N], a funcao maximo inteiro : o maior inteiro que nao supera N. Lembre-se tambem que em somatorios complicados, o uso de numeros binomiais costuma facilitara as coisas. *** SOLUÇÃO: 1. Eu classifiquei as diagonais de um polígono de acordo com a sua ordem: Uma diagonal de um polígono de n lados tem ordem = k ( 1 = k = [n/2] - 1 ) se e somente se: a) esta diagonal dividir o polígono em 2 sub-polígonos, sendo um com k+2 vértices e o outro com n-k vértices; e b) k+2 = n-k == k = [n/2] - 1. Para 1 = k = [n/2] - 2, um polígono de n lados tem n diagonais de ordem k. Se n for par, este polígono terá n/2 diagonais de ordem [n/2] - 1 = (n-2)/2 Se n for ímpar, o polígono terá n diagonais de ordem [n/2] - 1 = (n-3)/2 2. Considere uma dada diagonal (AB, digamos) de ordem k. No sub-polígono de k+2 lados determinado por AB, existem (k-1)(k-2)/2 diagonais que não passam nem por A nem por B. No outro sub-polígono, existem (n-k-3)(n-k-4)/2 diagonais que não passam nem por A nem por B. Todas estas diagonais interceptam AB em algum ponto exterior ao polígono original. Além disso, estas são as únicas diagonais do polígono com essa propriedade. Todas as outras encontram AB em A, B ou em algum ponto interior. Assim, o número total de diagonais que encontram AB fora do polígono é k^2 - (n-2)*k + (n^2-7*n+14)/2. 3. Agora é só somar o número de pontos de interseção externos para cada diagonal, levando em conta a ordem. No final, deve-se dividir por dois, pois a soma computa o ponto onde AB intercepta CD e, depois, o ponto onde CD intercepta AB que, naturalmente, é o mesmo ponto. Depois de muita álgebra braçal eu cheguei a: n*(n-3)*(n-4)*(n-5)/12 *** Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös
Se ha uma coisa que o Erdos nao tinha era exatamente vaidade.O numero de Erdos foi uma brincadeira de algum dos seus amigos (nao me recordo de qual) extremamente impressionado, como todos que o conheceram, com sua inteligencia e criatividade. Um matematico brasileiro que tem um numero de Erdos baixo eh Gugu. Vamos convida-lo a essa conversa. Em Mon, 10 Feb 2003 13:28:34 -0300, Felipe Villela Dias [EMAIL PROTECTED] disse: Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma importância ou é somente um fruto de alguém muito vaidoso??? - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 10, 2003 11:42 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Erdös Número de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos. Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1. Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2. Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] Número de Erdös Olá pessoal, Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] cálculo
Essa da pra usar Cavalieri e deduzir para as de face quadrada. Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal ! Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do volume de uma pirâmide? André T.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Número de Erdös
Imagine um grafo na qual as pessoas sao conectadas se tiveram um trabalho matematico juntos,tipo o Yoshi liga-se com o Erdos,e o Erdos com o Selberg,e ai vai...O Numero de Erdos e o menor caminho que lewva alguem ao Erdos. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria
Caro Amurpe: Seguem as minhas soluções para os primeiros três problemas. Vou ter de pensar um pouco mais sobre o quarto. 1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes: a) Sem retornar à primeira pessoa; b) Sem repetir nenhuma pessoa. Número de casos possíveis: Escolha da primeira pessoa (pelo originador do boato) para ouvir o boato: n Escolha da segunda pessoa (pela primeira a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Escolha da m-ésima pessoa (pela (m-1)-ésima a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Total = n^m a) Número de casos favoráveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (estão fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-1 (estão fora o originador e o segundo ouvinte) ... Escolha do m-ésimo: n-1 Total = n*(n-1)^(m-1) == Probabilidade = ((n-1)/n)^(m-1) b) Número de casos favoráveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (estão fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-2 (estão fora o originador e os dois primeiros ouvintes) ... Escolha do m-ésimo: n-m+1 (estão fora o originador e os m-1 ouvintes anteriores) Total = n! / (n-m)! == Probabilidade = (n!/(n-m)!) / n^m * 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmação e que D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ? Esse tem cara de pegadinha! P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade com 1/3 de probabilidade. Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram ** 3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n pares ? Escolha dos primeiros dois objetos: C(2n,2) Escolha dos dois objetos seguintes: C(2n-2,2) Escolha dos últimos dois objetos: C(2,2) Total = C(2n,2)*C(2n-2,2)*...*C(2,2) = (2n)!/(2^n * n!) Repare que, se após escolher os n pares, nós permutarmos os dois objetos dentro de cada par (2^n) e, em seguida, permutarmos os n pares (n!), obteremos o número total de permutações de 2n objetos = (2n)! Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] probabilidade e combinatoria
Ha um errinho de digitaao intermediario no problemados pares. Onde aparece o produto das combinaoes deveria aparecer o produto dividido por n!. A resposta estah certa Morgado Cludio (Prtica) wrote: Caro Amurpe: Seguem as minhas solues para os primeiros trs problemas. Vou ter de pensar um pouco mais sobre o quarto. 1) Em uma cidade com n+1 habitantes , uma pessoa conta um boato para uma outra pessoa , a qual por sua vez o conta para uma terceira pessoa , etc.. . calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes: a) Sem retornar primeira pessoa; b) Sem repetir nenhuma pessoa. Nmero de casos possveis: Escolha da primeira pessoa (pelo originador do boato) para ouvir o boato: n Escolha da segunda pessoa (pela primeira a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Escolha da m-sima pessoa (pela (m-1)-sima a ouvir o boato) para ouvir o boato: n Total = n^m a) Nmero de casos favorveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (esto fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-1 (esto fora o originador e o segundo ouvinte) ... Escolha do m-simo: n-1 Total = n*(n-1)^(m-1) == Probabilidade = ((n-1)/n)^(m-1) b) Nmero de casos favorveis: Escolha do primeiro ouvinte: n Escolha do segundo: n-1 (esto fora o originador do boato e a primeira pessoa a ouvi-lo) Escolha do terceiro: n-2 (esto fora o originador e os dois primeiros ouvintes) ... Escolha do m-simo: n-m+1 (esto fora o originador e os m-1 ouvintes anteriores) Total = n! / (n-m)! == Probabilidade = (n!/(n-m)!) / n^m * 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmao e que D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ? Esse tem cara de pegadinha! P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade com 1/3 de probabilidade. Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram ** 3) De quantos modos podemos decompor 2n objetos em n pares ? Escolha dos primeiros dois objetos: C(2n,2) Escolha dos dois objetos seguintes: C(2n-2,2) Escolha dos ltimos dois objetos: C(2,2) Total = C(2n,2)*C(2n-2,2)*...*C(2,2) = (2n)!/(2^n * n!) Repare que, se aps escolher os n pares, ns permutarmos os dois objetos dentro de cada par (2^n) e, em seguida, permutarmos os n pares (n!), obteremos o nmero total de permutaes de 2n objetos = (2n)! Um abrao, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho
Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e alguem da lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao participava de lista nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num momento de spleen total,na larica. Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 cartas como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente cinco cartas.Oprimeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la para o cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao colocadas em cima de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz uma entrada triunfal e adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta esta no bolso do cara da plateia. Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo assim? Um espaço pra quem quiser pensar. RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa soluçao e do Andre Danila,de Sampa.Ele me contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine deu Ursinho Pooh de premio. Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma dessas cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual sera ela. Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de um relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao impede o truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na roda das cartas e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa distancia nao passa de seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na roda das cartas(em caso de equidistancia pegue a menor) e de pra plateia.Agora use uma funçao que a cada permutaçao dos numeros 1,2,3 associa uma distancia deum a seis.Assim sendo use esta permutaçao com a funçao para ordenar as cartas no sentido de que 1)A primeira carta detectara o naipe. 2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira carta ate a escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo. E pronto!Temos o pedido. Por favor confiram a conta que ela ficou doidaTRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Número_de_Erdös_
Alias acho que isso.O Erdos e simplesmente o maior matematico do seculo passado,e esta entre os melhores.E era dono de uma genialidade incrivel.E ele fazia trabalhos com varios caras,desde Eurekas da vida ate teses de doutorado.Ele viajava a dar com o pau. O Gugu tem Erdos dois eu acho,e o Yoshiharu Kohayakawa tem Erdos um. Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Se ha uma coisa que o Erdos nao tinha era exatamente vaidade.O numero de Erdos foi uma brincadeira de algum dos seus amigos (nao me recordo de qual) extremamente impressionado, como todos que o conheceram, com sua inteligencia e criatividade.Um matematico brasileiro que tem um numero de Erdos baixo eh Gugu. Vamos convida-lo a essa conversa. Em Mon, 10 Feb 2003 13:28:34 -0300, Felipe Villela Dias <[EMAIL PROTECTED]>disse: Desculpe a pergunta, mas isso tem alguma importância ou é somente um fruto de alguém muito vaidoso??? - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, Februarry 10, 2003 11:42 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de ErdösNúmero de Erdos é a distância de uma dada pessoa até Paul Erdos em termos de co-autoria de artigos matemáticos. Assim, se você escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, você tem Número de Erdos = 1. Se você nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em co-autoria com alguém que tem Número de Erdos = 1, então você tem Número de Erdos = 2. Em geral, se dentre os Números de Erdos de cada pessoa com quem você escreveu artigos, o menor é N, então o seu Número de Erdos é N+1. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM Subject: [obm-l] Número de ErdösOlá pessoal, Alguém poderia me dar uma explicação consistente do que seria o número de Erdös ? --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] ajuda
Caros colegas, peço a ajuda de vocês na interpretação do seguinte exercício: (não estou conseguindo montar a função) No planejamento de uma lanchonete estimou-se que se existem lugares para até 80 pessoas o rendimento semanal será de R$ 700,00 por assento. Entretanto, caso o número de assentos estiver acima de 80, o rendimento semanal de cada assento será reduzido em R$ 5,00 por cada assento que exceder os 80. Quantos assentos a lanchonete deverá comportar para se obter o máximo rendimento semanal ? Qual é o seu rendimento máximo ? E neste outro problema: (minha dificuldade aqui é entender o que o problema entende por ângulo de elevação do avião. Já tentei resolver de várias maneiras mas não consigo chegar aos 69,8 km/h que é a resposta). Um avião a uma altitude de 3.000m voa em velocidade constante segundo uma reta que o levará a passar diretamente acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de 60 graus e está aumentando à razão de 1 grau por segundo, determine a velocidade do avião. Agradeço desde já pela ajuda. []´s Marcos ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] um problema
Em um concurso , 1/10 dos aprovados foi selecionado para entrevista com psicólogos, que deverá ser feita em 2 dias. Sabendo-se que 20 candidatos desistiram, não confrimando sua presença para a entrevista, os psicólogos observaram que, se cada um atendesse 9 por dia, deixariam 34 jovens sem atendimento. Para cumprir a meta em tempo hábil, cada um se dispôs, então, a atender 10 candidatos por dia. Com base nisso, é correto afirmar que o número de aprovados no concurso a) É múltiplo de 600 b) É divisor de 720 c) É igual a 3400 d) Está compreendido entre 1000 e 3000 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Problema 04
Um caixa automática de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou dessa caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a 16 25 24 21 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] RES: [obm-l] cálculo
Gente, não sei se seia o caso considerar a base quadrada Se usasemos integral iterada? Através dela podemos achar a área de um tetraedro, uma pirâimide com base poligonal de n lados pode ser decomposta em n-2 tetraedros...seria um caminho? Abraços a todos Edu Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune DirichletEnviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro de 2003 14:50Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] cálculo Essa da pra usar Cavalieri e deduzir para as de face quadrada. Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal ! Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do volume de uma pirâmide? André T. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] um problema
Seja n o numero de candidatos que serao atendidos e seja t o numero de dias de atendimento. 9t+34 = n n=10t Daih, t=34 e n=340 Os que foram convocados sao 360 e o numero de aprovados eh 3600 A elton francisco ferreira wrote: Em um concurso , 1/10 dos aprovados foi selecionado para entrevista com psicólogos, que deverá ser feita em 2 dias. Sabendo-se que 20 candidatos desistiram, não confrimando sua presença para a entrevista, os psicólogos observaram que, se cada um atendesse 9 por dia, deixariam 34 jovens sem atendimento. Para cumprir a meta em tempo hábil, cada um se dispôs, então, a atender 10 candidatos por dia. Com base nisso, é correto afirmar que o número de aprovados no concurso a) É múltiplo de 600 b) É divisor de 720 c) É igual a 3400 d) Está compreendido entre 1000 e 3000 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problema 04
c, quantidade de notas de cinco; d, quantidade de notas de dez c+d=10 5c+10d = 65 Daih, d=3 e c=7 Resposta: 21 elton francisco ferreira wrote: Um caixa automática de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou dessa caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a 16 25 24 21 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: [obm-l] Problema 04
Elton...faça um sistema abraços edu -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de elton francisco ferreira Enviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro de 2003 16:10 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Problema 04 Um caixa automática de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou dessa caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a 16 25 24 21 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho
Acho que o Gugu já escreveu alguma coisa na lista sobre este problema no fim do ano passado. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] ; [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 10, 2003 3:44 PM Subject: [obm-l] Para quem gosta,essa e do baralho Essa questao caiu no "Tungyr Daragov",ou Tournaments of Towns,e alguem da lista faz muito tempo nao viu resposta para esse(eu nao participava de lista nenhuma nesse tempo),logo e meu dever responder.Eu olhei num momento de spleen total,na larica. Temos dois magicos que devem fazer um truque com um baralho de 52 cartas como o tradicional.Alguem da plateia deve escolher aleatoriamente cinco cartas.Oprimeiro magico deve escolher uma dessas cartas e da-la para o cara da plateia,que a guardara no bolso.As restantes sao colocadas em cima de uma mesa,em uma certa ordem.O segundo magico faz uma entrada triunfal e adivinha,olhando as 4 cartas na mesa,que carta esta no bolso do cara da plateia. Sem usar truques de espelho nem nada desse teor,e possivel algo assim? Um espaço pra quem quiser pensar. RESPOSTA:Sim,e possivel.Essa soluçao e do Andre Danila,de Sampa.Ele me contou que estava no sono REM quando resolveu,e o Carlos 0,Shine deu Ursinho Pooh de premio. Como ha 5 cartas e 4 naipes havera duas cartas de mesmo naipe.Uma dessas cartas sera deixada na mesa e a outra sera escondida.Diremos qual sera ela. Crie uma roda das cartas,colocando os numeros nos mostradores de um relogio:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K (ou noutra ordem assim,isso nao impede o truque).Dadas essas duas cartas de mesmo naipe coloque-as na roda das cartas e veja a menor distancia entre elas e anote.Essa distancia nao passa de seis.Assim sendo pegue a carta mais perto do 1 na roda das cartas(em caso de equidistancia pegue a menor) e de pra plateia.Agora use uma funçao que a cada permutaçao dos numeros 1,2,3 associa uma distancia deum a seis.Assim sendo use esta permutaçao com a funçao para ordenar as cartas no sentido de que 1)A primeira carta detectara o naipe. 2)As outras tres serao os indicadores de distancia da primeira carta ate a escondida.E so associar a ordem crescente por exemplo. E pronto!Temos o pedido. Por favor confiram a conta que ela ficou doida TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Olá- Construção Geométrica
Pequeno adendo:
Este esta à pg. 89 do livro da Olimpiada Brasileira
de Matematica, 1a a 8a.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
.
On Fri, 7 Feb 2003, Eduardo wrote:
Olá,
Bem, primeiramente muito obrigado.
Eu possuo a coletânea de 1977 a 1997, está neste período? Eu dei uma olhada
e não encontrei, de qualquer forma vou procurar pelo livro, creio que no
Caem deve ter...
Abraços
Edu
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Eduardo Wagner
Enviada em: sábado, 8 de fevereiro de 2003 22:33
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Olá- Construção Geométrica
Caro Edu:
Este eh o problema 89 do livro da Olimpiada Brasileira
de Matematica, 1a a 8a.
Adquira este livro. Voce vai ver a solucao detalhada
desta problema e vai conhecer muitos outros problemas
interessantes. Entre em contato com a secretaria da
OBM pelo e-mail [EMAIL PROTECTED] ou pelo telefone
25295077.
--
From: Eduardo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Olá- Construção Geométrica
Date: Thu, Feb 6, 2003, 9:29 PM
Olá, pessoas
Acabo de ingressar na lista e gostaria de propor um problema:
Dados dois segmentos a e b, construir um segmento de medida (a^4+b^4)^1/4
Se alguém puder me ajudar...
abraços
Edu
---
Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003
___
Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo!
encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
---
Incoming mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003
---
Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003
___
Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] Números complexos
Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que histórica. A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)? Abraços Edu
Re: [obm-l] Números complexos
A primeira. Em A matematica do Ensino Medio, volume 3, voce encontra uma mini-historia dos complexos. Morgado Eduardo wrote: Galera, estou com uma dvida relacionada a nmeros complexos, digamos que histrica. A primeira definio i^2 =-1 ou a definio foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)? Abraos Edu
Re: [obm-l] ajuda
Caro Marcos Reynaldo: Seguem abaixo minhas soluções para os dois problemas. No planejamento de uma lanchonete estimou-se que se existem lugares para até 80 pessoas o rendimento semanal será de R$ 700,00 por assento. Entretanto, caso o número de assentos estiver acima de 80, o rendimento semanal de cada assento será reduzido em R$ 5,00 por cada assento que exceder os 80. Quantos assentos a lanchonete deverá comportar para se obter o máximo rendimento semanal ? Qual é o seu rendimento máximo ? Rendimento Semanal por Assento = R(n) n = 80 == R(n) = 700 n = 81 == R(n) = 700 - 5*(n-80) = 1.100 - 5*n Rendimento Semanal Total = T(n) = n*R(n) n = 80 == T(n) = 700*n n = 81 == T(n) = 1.100*n - 5*n^2 se n= 80, T será máximo para n = 80 (Tmax = 56.000) se n = 81, T será máximo para n = 110 (Tmax = 60.500) Logo, a lanchonete deverá comportar 110 assentos, para um rendimento máximo com lotação total igual a R$ 60.500 / semana. ** E neste outro problema: (minha dificuldade aqui é entender o que o problema entende por ângulo de elevação do avião. Já tentei resolver de várias maneiras mas não consigo chegar aos 69,8 km/h que é a resposta). Um avião a uma altitude de 3.000m voa em velocidade constante segundo uma reta que o levará a passar diretamente acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de 60 graus e está aumentando à razão de 1 grau por segundo, determine a velocidade do avião. Normalmente, ângulo de elevação é o ângulo que a reta que liga o observador ao avião faz com a horizontal. Sejam: H = altura do avião = 3.000 m; X = distância horizontal entre o avião e o ponto diretamente acima do observador (a uma altura H); Theta = ângulo de elevação. Temos que: H/X = tg(Theta) == X = H*ctg(Theta) = 3.000*ctg(Theta) == dX/dt = -3.000/sen^2(Theta) * d(Theta)/dt MUITO IMPORTANTE: Ao calcular derivadas de funções trigonométricas, é fundamental converter as unidades de graus para radianos. Quando Theta = 60 graus = Pi/3 radianos, d(Theta)/dt = 1 grau/seg = 0,017453293 rad/seg== dX/dt = -3.000/sen^2(Pi/3) * 0,017453293 = -3.000/(3/4) * 0,017453293 = -69,81 m/s Logo, V(avião) é 69,81 m/s, aproximando-se do observador (ou seja X está diminuindo, o que explica o sinal negativo). Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Lista paralela e gabaritos errados
A respeito da criaao de uma lista paralele e tambem do problema de gabaritos errados, ja enviei uma mensagem para a lista dando minha opiniao. Naquela mensagem citava o Claudio, pessoa que, nos ultimos tempos, tem sido a que mais tem ajudado a dirimir duvidas de nossos companheiros. Vou transcrever parte de mensagem enviada para mim pelo Claudio, em correspondencia particular. Desnecessario dizer que o fao com sua autorizaao e que concordo com todas as suas palavras. "S pra deixar claro, minhas opinies so as seguintes: 1. A lista deve ser nica - se algum problema no lhe interessar, simplesmente ignore-o. Alm disso, elementar ou avanado uma questo de opinio e de estgio do aprendizado em que a pessoa se encontra. 2. Quem escreveu ou editou os gabaritos do Fael est fazendo um grande mal a quem quer estudar matemtica, principalmente queles que no tem a sorte dele de ter descoberto esta nossa lista. Acho mesmo que o Fael deveria escrever para a editora e inform-los sobre todos os erros. 3. Pra mim, a lista uma oportunidade de aprender, ajudar os outros se for possvel e me divertir. Me chateia muito ver algumas mensagens mal-humoradas e at mesmo mal-educadas ou arrogantes." Abraos a todos. Morgado
[obm-l] Combinatoria e probabilidade
Claudio escreveu: 2) Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmao e que D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ? Esse tem cara de pegadinha! P(A ter falado a verdade) = 1/3, uma vez que cada habitante fala a verdade com 1/3 de probabilidade. Em outras palavras, dane-se o que os outros disseram ** Claudio reconsiderou: Como na cidade as pessoas mentem muito (probabilidade de mentir = 2/3), toda vez que alguem diz que X falou a verdade, isso aumenta a probabilidade de X haver mentido. Vamos reduzir o problema para nos convencermos disso. Em uma cidade , as pessoas falam a verdade com probabilidade 1/3.suponha que A faz uma afirmao e que B diz que A falou a verdade.Qual a probabilidade de A ter falado a verdade ? Vamos fazer uma arvore: Inicialmente dois galhos correspondentes a A e (A), significando A falou a verdade e A mentiu, respectivamente. As probs desses galhos sao 1/3 e 2/3, respectivamente.De cada galho saem mais dois galhos B e (B), significando B disse que A falou a verdade e B disse que A mentiu, respectivamente. O galho que comea em A e leva a B tem prob 1/3; o galho que comea em A e leva a (B) tem prob 2/3; o galho que comea em (A) e leva a B tem prob 2/3; o galho que comea em (A) e leva a (B) tem prob 1/3. Queremos calcular P[A na certeza de B] = P[A interseao B] / P[B]= [1/3*1/3]/[[1/3*1/3+2/3*2/3] = 1/5 ao passo que P[A] = 1/3. Realmente, ao contrario do que pensei inicialmente, a afirmaao de B altera a probabilidade. Para o problema original, construindo a (enorme) arvore, encontra-se a resposta 13/41.
[obm-l] Inscriçao na medalha Fields
Ha muito tempo alguem perguntou o que significava aquele latinorio da medalha Fields que aparece ao final de cada mensagem do Dirichlet. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Bem, supondo que seja POTIRI em vez de POTIRE, atraducao literal eh: "Ultrapassar o prprio peito e dominar o mundo; outorgado pelos matematicos de todo o mundo reunidos, em funcao dos destacados escritos". De uma maneira bem livre: "Superar os limites da inteligencia e conquistar o universo; premio outorgado pela congregacao de todos os matematicos do mundo, em funcao da destacada obra do premiado" A traduao eh do Professor Jose Paulo Carneiro, ex-membro destacado desta lista, que dela se afastou por nao conseguir suportar algumas manifestaoes de mau humor de alguns membros. .
[obm-l] Volume
A área de um cubo de aresta a é a soma das áreas das seis faces: 6a^2. Queremos construir duas caixas cúbicas de madeira. A aresta de uma delas mede 5dm a mais que a aresta da outra, por isso necessitamos de 450 dm^2 a amis de madeira para sua costrução. Qual é ovolume, em litros, de cada caixa? ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Geometria Plana
Na figura abaixo, qual é a posição de P para que o ângulo com um traço seja máximo? Eu descobri que os ângulos com dois traços devem ser congruentes, mas não consegui demonstrar. Alguém pode me ajudar? Obrigado. --Marcus Alexandre Nunes[EMAIL PROTECTED]UIN 114153703 ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 attachment: obm-l.gif
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] cálculo
Oi Pessoal, Essa foi uma solução que encontrei, gostaria de saber se está correta... Considerando o vértice da piramidade como a origem de um eixo (x) q passa exatamente ao longo da altura da piramide, então o volume da piramide seria a integral (S'.dx)de 0 a h, onde S' é a área da base em cada x e a h é a altura da piramide.por semelhança pode se concluir q S'=Sx^2/h^2 onde S é a área da base da piramide. V=integral S x^2 dx/h^2, como h e S são constantes e a integral de x^2 dx seria x^3/3 V=S[x^3]o a h /3h^2=Sh/3 Caso a altura não seja ortogonal a base, pode se mover o vertice até q a altura fique ortogonal à base já que não tem alteração no volume. [EMAIL PROTECTED] From: Eduardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] RES: [obm-l] cálculo Date: Mon, 10 Feb 2003 17:25:48 -0300 Gente, não sei se seia o caso considerar a base quadrada Se usasemos integral iterada? Através dela podemos achar a área de um tetraedro, uma pirâimide com base poligonal de n lados pode ser decomposta em n-2 tetraedros...seria um caminho? Abraços a todos Edu Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro de 2003 14:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] cálculo Essa da pra usar Cavalieri e deduzir para as de face quadrada. Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal ! Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do volume de uma pirâmide? André T. -- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] cálculo
Parabens! Andaram fazendo muitas simplificaçoes desnecessarias no problema. A soluçao geral, a sua, h elegante e simples. Em Tue, 11 Feb 2003 00:16:52 -0200, Marcos Magalhães [EMAIL PROTECTED] disse: Oi Pessoal, Essa foi uma solução que encontrei, gostaria de saber se está correta... Considerando o vértice da piramidade como a origem de um eixo (x) q passa exatamente ao longo da altura da piramide, então o volume da piramide seria a integral (S'.dx)de 0 a h, onde S' é a área da base em cada x e a h é a altura da piramide.por semelhança pode se concluir q S'=Sx^2/h^2 onde S é a área da base da piramide. V=integral S x^2 dx/h^2, como h e S são constantes e a integral de x^2 dx seria x^3/3 V=S[x^3]o a h /3h^2=Sh/3 Caso a altura não seja ortogonal a base, pode se mover o vertice até q a altura fique ortogonal à base já que não tem alteração no volume. [EMAIL PROTECTED] From: Eduardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] RES: [obm-l] cálculo Date: Mon, 10 Feb 2003 17:25:48 -0300 Gente, não sei se seia o caso considerar a base quadrada Se usasemos integral iterada? Através dela podemos achar a área de um tetraedro, uma pirâimide com base poligonal de n lados pode ser decomposta em n-2 tetraedros...seria um caminho? Abraços a todos Edu Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro de 2003 14:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] cálculo Essa da pra usar Cavalieri e deduzir para as de face quadrada. Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal ! Alguém conhece uma demonstração usando cálculo para a fórmula do volume de uma pirâmide? André T. -- Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Volume
6(a+5)^2 -6a^2 =450 (a+5)^2 - a^2 =75 10a + 25 =75 a=5 Uma tem aresta 5dm e a outra, 10dm Os volumes sao 125dm^3 = 125 L e 1000 dm^3 = 1000L Em Mon, 10 Feb 2003 20:41:51 -0300 (ART), elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] disse: A área de um cubo de aresta a é a soma das áreas das seis faces: 6a^2. Queremos construir duas caixas cúbicas de madeira. A aresta de uma delas mede 5dm a mais que a aresta da outra, por isso necessitamos de 450 dm^2 a amis de madeira para sua costrução. Qual é ovolume, em litros, de cada caixa? ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos
Pelo que sei, a razão histórica para o a aprecimento dos complexos foi, de fato, a tentativa de resover a equação x^2 = -1, isto é, achar raiz(-1). A existência de tal número, se não estou enganado, tornou-se patente por volta do Século XvII (não estou certo), quando um matemático italiano, Cardano, desenvolveu uma fórmula algebricamente perfeita para calcular as raizes de um caso especial (que não me lembro) de equação polinomial do 3º grau. A fórmula chocou os matemáticos da época, poiis envolvia radicais do segundo grau e, mesmo nos casos em que as raizes eram todas reais, os radicandos frequentemente tornavam-se negativos. A fórmula de Cardano apresenta pouco interesse prático, pois aplica-se a um caso muito particular que quase nunca ocorre na prática. Mas serviu para alertar os matemáticos de que havia algo além do conjunto dos reais , que , na época,provavelmente não tinha tal denominação. Criou-se então a famosa unidade imaginária i, denominação bastante infeliz mas que resistiu através dos séculos, em todas a línguas, creio eu. Na realidade , os números reais são tão imaginários quanto os imaginários. Ou, caso se prefira, podemos dizer que os imaginários são tão reais quanto os reais. Talvez por causa do nome ïmaginário para os complexos tenha-se chegado ao nome , também um tanto infeliz, de conjunto dos reais. Anos depois, Gauss, que estudou muito os complexos, deu aos mesmos a denominação de complexos, que muitos julgam ser infeliz mas que também resistiu ao tempo e é hoje o termo consagrado. Pela época de Gauss, creio eu, passou-se a ver os complexos de forma mais profunda, isto é , como uma estrutura algébrica , como um corpo bi-dimensional que apresenta as mesmas leias algébricas que os reais (não pode, porém , ser ordenado como os reais). Hoje, quase todos os livros apresentam os complexos como um corpo do tipo (a, b) a e b em R. Entretanto, a forma a+ bi ainda é usada, talvez para enfatizar o caráter de número que os complexos apresentam. Através de um isomofismo, podemos identificar o conjunto de pares (a, b) com o conjunto dos números a+bi. Isomorfismo é uma bijeção entre dois conjuntos que preserva características fundamentais, por exemplo f(a+b) = f(a) + f(b) e f(ab) = f(a) f(b), Um detalhe interesante. Existem espaços vetoriias n-dimensionais e até de dimensões infinitas. Seria de se esperar que houvesse corpos algébricos de dimensão superior a 2, mas não é o caso. Entretanto, uma vez li no newsgroup internacional sci.math que há corpos de dimensões infinitas. Espero ter ajudado Um abraço Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Eduardo Sent: Monday, February 10, 2003 1:02 PM To: Obm-L Subject: [obm-l] Números complexos Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que histórica. A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)? Abraços Edu
Re: [obm-l] Geometria Plana
Em 10/2/2003, 22:22, Marcus ([EMAIL PROTECTED]) disse:
Na figura abaixo, qual é a posição de P para que o ângulo com um
traço seja máximo? Eu descobri que os ângulos com dois traços devem ser
congruentes, mas não consegui demonstrar. Alguém pode me
ajudar?
O exercício eh análogo à um que jah veio pra lista, confere aê...
--inicio---
Em 11/11/2002, 15:16, sniper01 ([EMAIL PROTECTED]) disse:
Eis um dos problemas da EN2002 q venho tentando resolver, se puderem me
orientar quanto a resolução dele, obrigado.
1) De um ponto P do cais, João observa um barco AB ancorado.
Para um sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos A e B têm
coordenadas respectivamente iguais a (0,20) e (0,40), enquanto P encontra
se
no semi-eixo positivo das abscissas.
Se o ângulo APB de observação é máximo, então a abscissa de P é igual a ?
** Devemos achar alpha (a) em função da abscissa (x):
tg(a+b) = 40/x
(tga + tgb)/(1-tgatgb) = 40/x
[tga + 20/x] / [1 - tga*(20/x)] = 40/x
[(xtga + 20)/x] / [(x - 20tga)/x] = 40/x {x!= 0, não haveria a situação}
(xtga + 20) / (x - 20tga) = 40/x
x^2*tga + 20x = 40x - 800tga
tga(x^2 + 800) = 20x
tga = (20x) / (x^2 + 800)
** Maximizando a função encontrada e igualando a zero para achar o
ponto de máximo:
d/dx :
(20)*(x^2 + 800) - (20x)(2x) = 0
20x^2 + 16000 - 40x^2 = 0
20x^2 = 16000
x^2 = 800
x = 20sqrt(2) u.c. (Resposta)
Ok?
Fui!
### Igor GomeZZ
UIN: 29249895
Vitória, Espírito Santo, Brasil
Criação: 12/11/2002 (10:13)
Pare para pensar:
A religião eh o ópio do povo.
(Karl Marx)
---final-
Obrigado.
Flws!
Fui!
### Igor GomeZZ
UIN: 29249895
Vitória, Espírito Santo, Brasil
Criação: 11/2/2003 (01:51)
Pare para pensar:
Nem tudo o que dá certo é certo.
(David Capistrano)
attachment: en.JPG
