date:20060831

[obm-l] Primo e divisor

2006-08-31 Por tôpico Ricardo Khawge

Eu e colega estamos  resolvendo alguns problemas e não conseguimos  fazer um 
deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei se é 
por ser muito fácil.  Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui e 
agradecemos qualquer colaboração.


Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 
5.


Tchau

_
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico its matematico

  É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero.Até +,  Ítalo  fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo?Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é
 equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero.Obrigado!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= 
		 
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Re: [obm-l] Primo e divisor

2006-08-31 Por tôpico João Luís Gomes Guimarães

Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que 
divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, 
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução 
procurada exclui o próprio p^4 - 1.


Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se 
a encontrar, posto depois.


Abraços,

João Luís.


- Original Message - 
From: Ricardo Khawge [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor


Eu e colega estamos  resolvendo alguns problemas e não conseguimos  fazer 
um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei 
se é por ser muito fácil.  Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui 
e agradecemos qualquer colaboração.


Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 
5.


Tchau

_
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Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico its matematico

agora só falta formalizar o paralelismo ;) ...its matematico [EMAIL PROTECTED] escreveu:É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero.Até +,  Ítalo  fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém
 tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo?Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero.Obrigado!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=  Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! __Fale com seus amigos  de graça com o novo Yahoo! Messenger
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Re: [obm-l] Convergencia de serie

2006-08-31 Por tôpico claudio\.buffara

Acho que tambem tinha esse aqui:
Seja (a_n) uma sequencia de termos positivos tal que SOMA(n=1) a_n diverge.
Prove que se s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n, entao SOMA(n=1) a_n/s_n ainda 
diverge.

Por exemplo, se a_n = 1/n, entao s_n = K + log(n), para alguma constante K  0.
Logo, SOMA(n=1) a_n/s_n = SOMA(n=1) 1/(n(K + log(n)) e esta ultima serie 
diverge, pelo teste da integral.

[]s,
Claudio.

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 30 Aug 2006 01:47:23 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Convergencia de serie

 Olá,
 
 nao cheguei a olhar sua demonstracao, vou apenas propor a minha:
 
 se lim a_n != 0, entao: lim a_n / (1 + a_n) = lim 1 / (1 + 1/a_n) != 0
 logo, a serie de a_n/(1+a_n) nao pode convergir
 
 se lim a_n = 0, entao, vms usar o teste da comparacao: 
 
 lim a_n / [ a_n / (1 + a_n) ] = lim 1 + a_n = 1
 
 assim, a_n e a_n / (1 + a_n) sao assintoticamente iguais... isto é,
 suas series converge ou divergem juntas... como Sum(a_n) diverge,
 entao Sum(a_n / (1 + a_n)) diverge.
 
 abracos,
 Salhab
 
 
   - Original Message - 
   From: Bruno França dos Reis 
   To: OBM 
   Sent: Tuesday, August 29, 2006 11:17 PM
   Subject: [obm-l] Convergencia de serie
 
 
   Oi, gente.
 
   Vejam o seguinte probleminha:
 
   Seja a_n uma seqüência de termos positivos tais que sum (n=1..oo) a_n 
 diverge. Prove que sum (n=1..oo) a_n / (1 + a_n) diverge.
 
 
   Eu pensei em demonstrar a contrapositiva, isto é: 
   Seja a_n uma seqüência de termos positivos. Prove que se sum(n=1..oo) a_n / 
 (1 + a_n) converge então sum (n=1..oo) a_n 
converge.
   (todos os limites serão tomados para n -- oo)
   Da hipótese, lim a_n / (1 + a_n) = 0, o que implica que para todo eps  0, 
 existe n0 tal que n  n0 == a_n / (1 + a_n)  eps 
   == a_n  eps + a_n * eps == a_n(1 - eps)  eps == a_n  eps / (1 - 
 eps). Podemos fazer eps / (1 - eps) tão pequeno 
quanto queiramos, bastando para isso tomar um eps suficientemente pequeno. 
Então concluimos que lim a_n = 0. 
   Agora vamos aplicar o critério da comparação no limite para a série sum 
 a_n, comparando com sum a_n / (1 + a_n). Temos:
   lim a_n / ( a_n / (1 + a_n) ) = lim a_n * (1 + a_n) / a_n = lim 1 + a_n = 1 
 (já que lim a_n = 0). Como o limite calculado é igual a 1, 
segue que o comportamento da série sum a_n é o mesmo da série a_n / (1 + a_n). 
Assim, sum a_n converge. 
   Provamos então que sum a_n / (1 + a_n) convergente == sum a_n convergente.
   Tomando a contrapositiva, sum a_n divergente == sum a_n / (1 + a_n) 
 divergente.
 
   Tá certo isso??
   Se sim, tem algum jeito mais simples? 
 
   Abraço
   Bruno
 
 
   -- 
   Bruno França dos Reis
   email: bfreis - gmail.com
   gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
   icq: 12626000
 
   e^(pi*i)+1=0 
 
 
 --
 
 
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico Rogerio Ponce

Caro Italo, o enunciado nao estabelece que K,L e M sejam os pontos medios dos lados, ou que ML seja paralelo a AB. Sabemos apenas que AK=BL=CM , e que KLM e' equilatero. Esse problema e' menos trivial do que parece...:-) Grande abraco, Rogerio Ponce PS: Fernando, acho que fui eu quem repassou esse problema para a lista, e , na epoca, pensei que ninguem se interessara. Tambem perdi horas de sono com ele, e em breve enviarei uma solucao. Mas antes vamos esperar que o pessoal se divirta um pouquinho com ele, ok? its matematico [EMAIL PROTECTED] escreveu: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK
faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero.Até +, Ítalo fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo?Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é
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Re: [obm-l] Primo e divisor

2006-08-31 Por tôpico its matematico

Acho q tenho uma solução razoável:se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 é par   e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2Alguma objeção à resposta???Espero ter contribuído...  Até +,  ÍtaloJoão Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução procurada exclui o próprio p^4 - 1.Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se a encontrar, posto depois.Abraços,João
 Luís.- Original Message - From: "Ricardo Khawge" <[EMAIL PROTECTED]>To: Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AMSubject: [obm-l] Primo e divisor Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer  um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei  se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui  e agradecemos qualquer colaboração. "Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que  5." Tchau _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis.  Acesse  http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d
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RES: [obm-l] Convergencia de serie

2006-08-31 Por tôpico Artur Costa Steiner

E neste caso tambem eh verdade que a convergencia de SOMA(n=1) a_n implica
a convergencia de SOMA(n=1) a_n/s_n. Acho que isso já foi mostrado aqui.
Sugestao para quem quiser tentar, nao eh dificil: A sequencia das somas
parcias de a_n eh monoticamente crescente. Considere a sequencia das somas
parcias de a_n/s_n e aplique o criterio de Cauchy

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de claudio.buffara
Enviada em: quinta-feira, 31 de agosto de 2006 11:30
Para: obm-l
Assunto: Re: [obm-l] Convergencia de serie


Acho que tambem tinha esse aqui:
Seja (a_n) uma sequencia de termos positivos tal que SOMA(n=1) a_n diverge.
Prove que se s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n, entao SOMA(n=1) a_n/s_n ainda
diverge.

Por exemplo, se a_n = 1/n, entao s_n = K + log(n), para alguma constante K
 0.
Logo, SOMA(n=1) a_n/s_n = SOMA(n=1) 1/(n(K + log(n)) e esta ultima serie
diverge, pelo teste da integral.

[]s,
Claudio.

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 30 Aug 2006 01:47:23 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Convergencia de serie

 Olá,
 
 nao cheguei a olhar sua demonstracao, vou apenas propor a minha:
 
 se lim a_n != 0, entao: lim a_n / (1 + a_n) = lim 1 / (1 + 1/a_n) != 0
 logo, a serie de a_n/(1+a_n) nao pode convergir
 
 se lim a_n = 0, entao, vms usar o teste da comparacao: 
 
 lim a_n / [ a_n / (1 + a_n) ] = lim 1 + a_n = 1
 
 assim, a_n e a_n / (1 + a_n) sao assintoticamente iguais... isto é,
 suas series converge ou divergem juntas... como Sum(a_n) diverge,
 entao Sum(a_n / (1 + a_n)) diverge.
 
 abracos,
 Salhab
 
 
   - Original Message - 
   From: Bruno França dos Reis 
   To: OBM 
   Sent: Tuesday, August 29, 2006 11:17 PM
   Subject: [obm-l] Convergencia de serie
 
 
   Oi, gente.
 
   Vejam o seguinte probleminha:
 
   Seja a_n uma seqüência de termos positivos tais que sum (n=1..oo) a_n
diverge. Prove que sum (n=1..oo) a_n / (1 + a_n) diverge.
 
 
   Eu pensei em demonstrar a contrapositiva, isto é: 
   Seja a_n uma seqüência de termos positivos. Prove que se sum(n=1..oo)
a_n / (1 + a_n) converge então sum (n=1..oo) a_n 
converge.
   (todos os limites serão tomados para n -- oo)
   Da hipótese, lim a_n / (1 + a_n) = 0, o que implica que para todo eps 
0, existe n0 tal que n  n0 == a_n / (1 + a_n)  eps 
   == a_n  eps + a_n * eps == a_n(1 - eps)  eps == a_n  eps / (1 -
eps). Podemos fazer eps / (1 - eps) tão pequeno 
quanto queiramos, bastando para isso tomar um eps suficientemente pequeno.
Então concluimos que lim a_n = 0. 
   Agora vamos aplicar o critério da comparação no limite para a série sum
a_n, comparando com sum a_n / (1 + a_n). Temos:
   lim a_n / ( a_n / (1 + a_n) ) = lim a_n * (1 + a_n) / a_n = lim 1 + a_n
= 1 (já que lim a_n = 0). Como o limite calculado é igual a 1, 
segue que o comportamento da série sum a_n é o mesmo da série a_n / (1 +
a_n). Assim, sum a_n converge. 
   Provamos então que sum a_n / (1 + a_n) convergente == sum a_n
convergente.
   Tomando a contrapositiva, sum a_n divergente == sum a_n / (1 + a_n)
divergente.
 
   Tá certo isso??
   Se sim, tem algum jeito mais simples? 
 
   Abraço
   Bruno
 
 
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   Bruno França dos Reis
   email: bfreis - gmail.com
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   e^(pi*i)+1=0 
 
 


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Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico Palmerim Soares

Os ângulos de KLM medem 60°. Note que os triângulos AKM, CLM e BKL são todos congruentes pois têm lados respectivamente congruentes.Assim, comparando os triângulos BKL e AKM, por exemplo, vemos que o ângulo BKL é congruente ao ângulo AMK (opostos a lados congruentes) e o ângulo BLK é congruente ao ângulo AKM.
A soma dos ângulos BKL+AKM +LKM = 180. Como LKM=60° (dado do problema), vem: BKL+AKM = 120. Mas, como deduzimos logo acima,o ângulo AKM é congruente a BLK, portanto podemos escrever:BKL+BLK = 120. Esses dois ângulos, BKL e BLK, são ângulos internos do triângulo BKL, logo, pela Lei Angular de Thales, o terceiro ângulo KBL = 60°.
Mas como o ângulo KBL é congruente ao ângulo KAM e também ao ângulo LCM (ângulos correspondentes), então o triângulo ABC é equiângulo e portanto equilátero
Palmerim
Em 31/08/06, its matematico [EMAIL PROTECTED] escreveu:

agora só falta formalizar o paralelismo ;) ...its matematico [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero.

Até +,
Ítalo
fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo?
Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero.
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Re: [obm-l] Primo e divisor

2006-08-31 Por tôpico Qwert Smith

Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal 
formulada.


Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a 
resposta.


Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra qualquer 
p primo  5 entao acho que a resposta e 10.


p^4-1  = 0 mod 2
p^4-1 =  0 mod 5
ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale  a^(p-1) = 1 
mod p.


Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas certamente 
nao vai ser o maior divisor.




From: its matematico [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT)

Acho q tenho uma solução razoável:

  se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 
é par

  e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2

  Alguma objeção à resposta???

  Espero ter contribuído...
  Até +,
  Ítalo

João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro 
que

divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção,
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a 
solução

procurada exclui o próprio p^4 - 1.

Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se
a encontrar, posto depois.

Abraços,

João Luís.


- Original Message -
From: Ricardo Khawge
To:
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor


 Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer
 um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não 
sei

 se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui
 e agradecemos qualquer colaboração.

 Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior 
que

 5.

 Tchau

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Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico Palmerim Soares

ML//AB NÃO É necessariamente verdadeiro. A solução pode ser feita por congruência de triângulos.
Palmerim
Em 31/08/06, its matematico [EMAIL PROTECTED] escreveu:


É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero.

 
Até +,
Ítalo
fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu:

Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo?
Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero.
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Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab



Oi, Ítalo,
E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? 
Abraços, 
Nehab
At 09:12 31/8/2006, you wrote:
É que não tenho desenhar agora
para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e
externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang
interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando
isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo
ABC é equilátero.

Até +,
Ítalo
fernandobarcel [EMAIL PROTECTED]
escreveu:


Oi,

ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não
consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu?
Como é que se resolve este pesadelo?

Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e
CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.

Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.

Prove que o triângulo ABC é equilátero.

Obrigado!


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Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico Rogerio Ponce

Ola' Palmerim, de onde voce tirou que os triangulos sao congruentes? O problema so' indica a igualdade de 2 lados entre os triangulos. De onde veio que MA=LC=KB? Alias, se fosse dado que MA=LC=KB, e como o enunciado diz que CM=BL=AK, entao voce ja' teria , de cara, que CM+MA = BL+LC = AK+KB , e o problema ja' estaria resolvido, sem precisar falar em todos aqueles angulos... Abracos, Rogerio Ponce Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] escreveu: Os ângulos de KLM medem 60°. Note que os triângulos AKM, CLM e BKL são todos congruentes pois têm lados respectivamente congruentes.Assim, comparando os triângulos BKL e AKM, por exemplo, vemos que o ângulo BKL é congruente ao ângulo AMK (opostos a lados congruentes) e o ângulo BLK é congruente ao ângulo AKM. A soma dos ângulos BKL+AKM +LKM
= 180. Como LKM=60° (dado do problema), vem: BKL+AKM = 120. Mas, como deduzimos logo acima,o ângulo AKM é congruente a BLK, portanto podemos escrever:BKL+BLK = 120. Esses dois ângulos, BKL e BLK, são ângulos internos do triângulo BKL, logo, pela Lei Angular de Thales, o terceiro ângulo KBL = 60°. Mas como o ângulo KBL é congruente ao ângulo KAM e também ao ângulo LCM (ângulos correspondentes), então o triângulo ABC é equiângulo e portanto equilátero Palmerim Em 31/08/06, its matematico [EMAIL PROTECTED] escreveu: agora só falta formalizar o paralelismo ;) ...its matematico [EMAIL PROTECTED] escreveu:É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero.Até +, Ítalo fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi,ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no
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Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab



Oi, gente,
Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por rotação
(complexos)... mas cadê tempo agora? Rede o
triângulo de 60 graus e... 
Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão (mesmo
sem estar com a solução) !!! :-)
Abraços,
Nehab

At 14:58 31/8/2006, you wrote:
Oi, Ítalo,
E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? 
Abraços, 
Nehab
At 09:12 31/8/2006, you wrote:
É que não tenho desenhar agora
para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e
externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang
interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando
isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo
ABC é equilátero.

Até +,
Ítalo
fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu:

Oi,
ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não
consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu?
Como é que se resolve este pesadelo?

Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e
CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.
Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.
Prove que o triângulo ABC é equilátero.

Obrigado!

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Re: [obm-l] Primo e divisor

2006-08-31 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab


Oi,

Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução 
pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois


p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8 e 
além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 
são divisíveis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas também não 
sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...


Abraços,
Nehab

At 12:47 31/8/2006, you wrote:
Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar 
mal formulada.


Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 
e a resposta.


Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra 
qualquer p primo  5 entao acho que a resposta e 10.


p^4-1  = 0 mod 2
p^4-1 =  0 mod 5
ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos 
vale  a^(p-1) = 1 mod p.


Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
certamente nao vai ser o maior divisor.




From: its matematico [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT)

Acho q tenho uma solução razoável:

  se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, 
logo p^4-1 é par

  e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2

  Alguma objeção à resposta???

  Espero ter contribuído...
  Até +,
  Ítalo

João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que
divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção,
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução
procurada exclui o próprio p^4 - 1.

Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se
a encontrar, posto depois.

Abraços,

João Luís.


- Original Message -
From: Ricardo Khawge
To:
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor


 Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer
 um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei
 se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui
 e agradecemos qualquer colaboração.

 Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que
 5.

 Tchau

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Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico Rogerio Ponce

Oi Nehab, muito bom que voce tenha sido "mordido" pelo problema...mas nao faco ideia de como resolve-lo usando complexos! Em vez disso, minha solucao e' bem "mequetrefe", e so' usa material do 4o ginasial...:-) (hummm, na verdade tem uma passagem um pouquinho mais avancada - coisa do 3o cientifico, talvez) Grande abraco, Rogerio Ponce Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, gente, Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por rotação (complexos)... mas cadê tempo agora? Rede o triângulo de 60 graus e... Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão (mesmo sem estar com a solução) !!! :-) Abraços, Nehab At 14:58 31/8/2006, you wrote: Oi, Ítalo, E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? Abraços, Nehab At 09:12 31/8/2006, you wrote: É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero. Até +, Ítalo fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo? Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo
comprimento. Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. Prove que o triângulo ABC é equilátero. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!

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Re: [obm-l] Primo e divisor

2006-08-31 Por tôpico Qwert Smith

Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade por 3 e 
mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p = 1 mod 3 ou p 
= -1 mod 3


Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 2*3*5 = 
30.


Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ):

p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8

Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8.

Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4.

Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16.

Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere?


From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300

Oi,

Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução pode 
ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois


p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8 e além 
disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 são 
divisíveis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas também não sei como 
melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...


Abraços,
Nehab

At 12:47 31/8/2006, you wrote:
Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal 
formulada.


Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a 
resposta.


Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra 
qualquer p primo  5 entao acho que a resposta e 10.


p^4-1  = 0 mod 2
p^4-1 =  0 mod 5
ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale  a^(p-1) = 
1 mod p.


Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
certamente nao vai ser o maior divisor.




From: its matematico [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT)

Acho q tenho uma solução razoável:

  se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo 
p^4-1 é par

  e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2

  Alguma objeção à resposta???

  Espero ter contribuído...
  Até +,
  Ítalo

João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro 
que

divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção,
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a 
solução

procurada exclui o próprio p^4 - 1.

Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, 
se

a encontrar, posto depois.

Abraços,

João Luís.


- Original Message -
From: Ricardo Khawge
To:
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor


 Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos 
fazer
 um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não 
sei
 se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando 
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 Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior 
que

 5.

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Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico Palmerim Soares

OOOPS! Que feio!! Desculpem. Se fosse fácil assim era mole, tenho muito que aprender ainda... Cadê a reta mágica? Cadê os grandes mestresNehab e Buffara?
Palmerim
Em 31/08/06, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu:

agora só falta formalizar o paralelismo ;) ...its matematico [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

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[obm-l] Série

2006-08-31 Por tôpico Josh Rodrigues


Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:

João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma 
mesma seqüência de operações várias  vezes para ver o que acontecia. Uma 
dessas experiências consistia em escolher um número x1  qualquer, somar 5 e 
dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 
a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esse 
processo, ele obteve uma seqüência de números


x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,, xn

Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse 
iniciado a seqüência de operações,
João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que número 
era esse?


É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de 
saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa, 
mostrar que xn se aproxima sempre de 5.


Muito obrigado pela atenção.

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O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog 
e agora com rede social http://spaces.live.com/


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Re: [obm-l] Primo e divisor

2006-08-31 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab


É,

Acho que você tem toda razão.Este negócio tá ficando engraçado !!!
Alguém se candidata a melhorar esta joça :-)?

Nehab

At 17:45 31/8/2006, you wrote:
Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade 
por 3 e mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p 
= 1 mod 3 ou p = -1 mod 3


Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 
2*3*5 = 30.


Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ):

p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8

Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8.

Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4.

Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16.

Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere?


From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300

Oi,

Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua 
solução pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois


p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1)  que é (obviamente) divisível por 8 
e além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p 
+1 são divisíveis por 4.  Logo... vale a melhoria 120, mas também 
não sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...


Abraços,
Nehab

At 12:47 31/8/2006, you wrote:
Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar 
mal formulada.


Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 
1 e a resposta.


Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 
pra qualquer p primo  5 entao acho que a resposta e 10.


p^4-1  = 0 mod 2
p^4-1 =  0 mod 5
ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos 
vale  a^(p-1) = 1 mod p.


Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p.  Mas 
certamente nao vai ser o maior divisor.




From: its matematico [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e  divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT)

Acho q tenho uma solução razoável:

  se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, 
logo p^4-1 é par

  e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2

  Alguma objeção à resposta???

  Espero ter contribuído...
  Até +,
  Ítalo

João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior 
inteiro que

divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção,
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, 
que a solução

procurada exclui o próprio p^4 - 1.

Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se
a encontrar, posto depois.

Abraços,

João Luís.


- Original Message -
From: Ricardo Khawge
To:
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor


 Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer
 um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo 
problema, não sei

 se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui
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 Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um 
primo maior que

 5.

 Tchau

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Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab



Lá tá o cara maltratando o velho,
Mas deixa estar. Ele vai ver só a solução por rotação e pelo
menos por uma semana (espero) parará de me maltratar... E ainda
tripudia... 4o ginasial ! Rapaz, muita gente por aqui nem
sabe o que é isto! Ora bolas, ginasial ! Se atualiza,
homem de meia idade ! É o que dá aluno ingrato
!!! 
Nehab
At 17:38 31/8/2006, you wrote:
Oi Nehab,
muito bom que voce tenha sido mordido pelo problema...mas nao
faco ideia de como resolve-lo usando complexos!
Em vez disso, minha solucao e' bem mequetrefe, e so' usa
material do 4o ginasial...:-)
(hummm, na verdade tem uma passagem um pouquinho mais avancada - coisa do
3o cientifico, talvez)
Grande abraco,
Rogerio Ponce

Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED]
escreveu:


Oi, gente,

Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por
rotação (complexos)... mas cadê tempo agora? Rede
o triângulo de 60 graus e... 

Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão
(mesmo sem estar com a solução) !!! :-)

Abraços,

Nehab


At 14:58 31/8/2006, you wrote:

Oi, Ítalo,

E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? 

Abraços, 

Nehab

At 09:12 31/8/2006, you wrote:

É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta
sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB
necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK
faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três
angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero.



Até +,

Ítalo

fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu: 

Oi, 
ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não
consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu?
Como é que se resolve este pesadelo?
Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e
CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. 
Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. 
Prove que o triângulo ABC é equilátero.
Obrigado! 

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Re: [obm-l] Série

2006-08-31 Por tôpico Bruno França dos Reis

OláPodemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui).Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas:
|a_n - 5| = |a_n - 5| == |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| == |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| == |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que:
|a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps  0, existe um n_0 tal que n  n_0 == |a_n - 5|  eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k  eps == n_0 * ln(1/2)  eps / k == n_0  eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5.
A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência.
Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a == 1/2 * (a + 5) = a == a = 5.
AbraçoBrunops: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...)))
b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...On 8/31/06, Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma
mesma seqüência de operações váriasvezes para ver o que acontecia. Umadessas experiências consistia em escolher um número x1qualquer, somar 5 edividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5
a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esseprocesso, ele obteve uma seqüência de númerosx1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xnApós repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse
iniciado a seqüência de operações,João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que númeroera esse?É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de
saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa,mostrar que xn se aproxima sempre de 5.Muito obrigado pela atenção._
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[obm-l] Ações de grupo

2006-08-31 Por tôpico Douglas Alexandre

Caros colegas toda ação de grupo é uma translação?Toda ação é aplicada no grupo das permutações?Se alguém conhecer algo sobre o assunto gostaria muito de saber pois estou encontrando dificuldades de encontrar tal assunto nos livros.Abraços 
		 
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Re: [obm-l] Série

2006-08-31 Por tôpico J. Renan

Não dispondo das ferramentas matemáticas sofisticadas que muitos possuem aqui, acho que existe uma prova mais elementar da convergência dessa série.Aproveitando a definição do Bruno, a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5)
Desenvolvendo a recorrência da série temos:a_(n+1) = a1*2(^-n) + kSobre esse número que eu chamei de k, vejamos o valor dele para alguns n's:__| n | valor |
--| 1 | 2.5 |
--| 2 | 3.75 |
--| 3 | 4.375 |
--| 4 | 4.6875 |
--A prova de que k é realmente essa série é porque ele se constitui de uma soma infinita de frações.Podemos reescreve-lo como uma soma de uma pg infinita, quando ele está no infinito
S = 2,5 + 1,25 + 0,625 ... quando n- oo, S - 5Vamos voltar pra nossa sériea_(n+1) = a1*2(^-n) + kQuando n tornasse infinitamente grande, o primeiro termo [a1*2^(-k)] tende a zero e k tende a 5.
Espero ter ajudado (e espero também não ter dito as mesmas coisas do e-mail anterior, infelizmente não entendi todas as passagens)2006/8/31, Bruno França dos Reis 
[EMAIL PROTECTED]:OláPodemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui).
Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas:
|a_n - 5| = |a_n - 5| == |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| == |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| == |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que:
|a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps  0, existe um n_0 tal que n  n_0 == |a_n - 5|  eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k  eps == n_0 * ln(1/2)  eps / k == n_0  eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5.
A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência.
Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a == 1/2 * (a + 5) = a == a = 5.
AbraçoBrunops: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...)))
b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...On 8/31/06, Josh Rodrigues 
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma
mesma seqüência de operações váriasvezes para ver o que acontecia. Umadessas experiências consistia em escolher um número x1qualquer, somar 5 edividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5
a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esseprocesso, ele obteve uma seqüência de númerosx1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xnApós repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse
iniciado a seqüência de operações,João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que númeroera esse?É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de

saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa,mostrar que xn se aproxima sempre de 5.Muito obrigado pela atenção._
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-- Um Grande Abraço,Jonas Renan

Re: [obm-l] Série

2006-08-31 Por tôpico Bruno França dos Reis

Oi, Jonas.Quais passagens você não entendeu? Se eu souber, terei prazer em explicar melhor. Pelo que compreendi, vc não disse as mesmas coisas, deu outra idéia!Quanto à sua solução, só para explicitar o seu k, acho que vc pensou isso:
a_(n+1) = a_1 * 2^(-n) + sum(k=1..n) 5 * 2^(-k)Tomando lim para n -- oo, temos:lim a_(n+1) = lim [ a_1 * 2^(-n) + sum(k=1..n) 5 * 2^(-k) ]Como lim a_1 * 2^(-n) = 0, e lim sum(k=1..n) 5 * 2^(-k) = sum(k=1..oo) 5 * 2^(-k) = (5/2) / (1 - 1/2) = 5, temos que
lim a_(n+1) = 0 + 5 = 5Logo, a seqüência a_n converge para 5. Legal.AbraçoBrunoOn 8/31/06, J. Renan 
[EMAIL PROTECTED] wrote:Não dispondo das ferramentas matemáticas sofisticadas que muitos possuem aqui, acho que existe uma prova mais elementar da convergência dessa série.
Aproveitando a definição do Bruno, a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5)
Desenvolvendo a recorrência da série temos:a_(n+1) = a1*2(^-n) + kSobre esse número que eu chamei de k, vejamos o valor dele para alguns n's:__| n | valor |

--| 1 | 2.5 |
--| 2 | 3.75 |
--| 3 | 4.375 |
--| 4 | 4.6875 |
--A prova de que k é realmente essa série é porque ele se constitui de uma soma infinita de frações.Podemos reescreve-lo como uma soma de uma pg infinita, quando ele está no infinito
S = 2,5 + 1,25 + 0,625 ... quando n- oo, S - 5Vamos voltar pra nossa sériea_(n+1) = a1*2(^-n) + kQuando n tornasse infinitamente grande, o primeiro termo [a1*2^(-k)] tende a zero e k tende a 5.
Espero ter ajudado (e espero também não ter dito as mesmas coisas do e-mail anterior, infelizmente não entendi todas as passagens)2006/8/31, Bruno França dos Reis 

[EMAIL PROTECTED]:Olá
Podemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui).
Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas:
|a_n - 5| = |a_n - 5| == |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| == |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| == |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que:
|a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps  0, existe um n_0 tal que n  n_0 == |a_n - 5|  eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k  eps == n_0 * ln(1/2)  eps / k == n_0  eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5.
A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência.
Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a == 1/2 * (a + 5) = a == a = 5.
AbraçoBrunops: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...)))
b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...On 8/31/06, Josh Rodrigues 

[EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma
mesma seqüência de operações váriasvezes para ver o que acontecia. Umadessas experiências consistia em escolher um número x1qualquer, somar 5 edividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5
a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esseprocesso, ele obteve uma seqüência de númerosx1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xnApós repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse
iniciado a seqüência de operações,João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que númeroera esse?É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de

saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa,mostrar que xn se aproxima sempre de 5.Muito obrigado pela atenção._
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Re: [obm-l] Série

2006-08-31 Por tôpico J. Renan

Olá Bruno.Não entendi muito bem o teorema que você citou na sua 2ª prova.
A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função
contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente,
então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função
é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive
já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e
complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração
bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar
o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência.
Abraços2006/9/1, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]:
Oi, Jonas.Quais passagens você não entendeu? Se eu souber, terei prazer em explicar melhor. Pelo que compreendi, vc não disse as mesmas coisas, deu outra idéia!Quanto à sua solução, só para explicitar o seu k, acho que vc pensou isso:
a_(n+1) = a_1 * 2^(-n) + sum(k=1..n) 5 * 2^(-k)Tomando lim para n -- oo, temos:lim a_(n+1) = lim [ a_1 * 2^(-n) + sum(k=1..n) 5 * 2^(-k) ]Como lim a_1 * 2^(-n) = 0, e lim sum(k=1..n) 5 * 2^(-k) = sum(k=1..oo) 5 * 2^(-k) = (5/2) / (1 - 1/2) = 5, temos que
lim a_(n+1) = 0 + 5 = 5Logo, a seqüência a_n converge para 5. Legal.AbraçoBruno
On 8/31/06, J. Renan 
[EMAIL PROTECTED] wrote:Não dispondo das ferramentas matemáticas sofisticadas que muitos possuem aqui, acho que existe uma prova mais elementar da convergência dessa série.
Aproveitando a definição do Bruno, a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5)
Desenvolvendo a recorrência da série temos:a_(n+1) = a1*2(^-n) + kSobre esse número que eu chamei de k, vejamos o valor dele para alguns n's:__| n | valor |


--| 1 | 2.5 |
--| 2 | 3.75 |
--| 3 | 4.375 |
--| 4 | 4.6875 |
--A prova de que k é realmente essa série é porque ele se constitui de uma soma infinita de frações.Podemos reescreve-lo como uma soma de uma pg infinita, quando ele está no infinito
S = 2,5 + 1,25 + 0,625 ... quando n- oo, S - 5Vamos voltar pra nossa sériea_(n+1) = a1*2(^-n) + kQuando n tornasse infinitamente grande, o primeiro termo [a1*2^(-k)] tende a zero e k tende a 5.
Espero ter ajudado (e espero também não ter dito as mesmas coisas do e-mail anterior, infelizmente não entendi todas as passagens)2006/8/31, Bruno França dos Reis 


[EMAIL PROTECTED]:Olá
Podemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui).
Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas:
|a_n - 5| = |a_n - 5| == |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| == |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| == |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que:
|a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps  0, existe um n_0 tal que n  n_0 == |a_n - 5|  eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k  eps == n_0 * ln(1/2)  eps / k == n_0  eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5.
A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência.
Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a == 1/2 * (a + 5) = a == a = 5.
AbraçoBrunops: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...)))
b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...On 8/31/06, Josh Rodrigues 


[EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma
mesma seqüência de operações váriasvezes para ver o que acontecia. Umadessas experiências consistia em escolher um número x1qualquer, somar 5 edividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5
a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esseprocesso, ele obteve uma seqüência de númerosx1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xnApós repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse
iniciado a seqüência de operações,João reparou que o valor xn se aproximava sempre

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

2006-08-31 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab



Oi, gente (e especialmente o Ponce),
Você vai gostar da solução que eu encontrei pois nem precisei dos números
complexos, só da rotação e um tiquinho de geometria.
Mas você vai ter que completar os blanks...
gostou? Amanhã ou depois eu posto a solução completa à noite
(viu só o que dá cutucar coroas com vara curta :-) ?). 
Ai vai (sugiro usar lápis de cor, com pelo menos três cores :-) - em
homenagem ao ginásio). 
Considere o tal do triângulo ABC, o triângulo equilátero K, L e M e seu
centro O (do equilátero). Gire a figura no sentido trigonométrico,
por exemplo, de 60 graus em torno de O e chamemos as imagens da rotação
de A', B', C', K', L', e M', respectivamente. Naturalmente que K' é
L; L' é M e M' é K. Note que AK = A'K' (além disso as retas
suporte destes segmentos naturalmente fazem 60 graus). Então K'B =
K'A'. Logo, A'K'= BK' (porque?).
Chega. Não vou dar mais colher de chá procê
não. Você é muito esperto.
Agora uma digressão. 
Dois dos meus professores nas priscas eras do vestiba foi o Virgílio de
Athaide Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida, com quem aprendi
satsfatoriamente e decentemente (mas há 43 anos) Geometria Plana,
Desenho Geométrico e Geometria Descritiva (alem de Perspectiva).
Sem nenhuma compulsão saudosista, lamento que a modernidade burra tenha
literalmente eliminado estas disciplinas da grade escolar usual.
Isto talvez explique porque a maioria dos problemas com elegantes
soluções geométricas sejam em geral abordados por Geometria Analítica,
Trigonometria, etc, pela maioria de nós. Não
desenvolvemos mais a forma natural de pensar geométrica (e eu, caramba,
já a tenho bem enferrujada). Mas tenho saudades do tempo em que a
gente matava problemas com homotetias, reflexões, rotações, simetrias,
inversões, etc e quando as tais das linhas mágicas que adoramos não eram
tão mágicas assim (antes que algum ofendido se manifeste, não estou
falando de exceções). Hoje, a garotada rala para encontar
espaços onde possa desenvolver tais conceitos e habilidades. 
Por isto eu tento despertar este modo de pensar em meus
alunos, quando posso. Finalizando: para a gente perceber que
estas habilidades estão em outro registo do cérebro.
Dois de meus filhos fizeram engenharia (fora euzinho) e um,
medicina. Pois curiosamene, o médico possui mais visão
espacial que nós três juntos. Jamais conseguimos ganhá-lo num
maldito joguinho do tipo Tetrix Tridimensional. O
miserável era (e é) imbatível. Vivendo e
aprendendo...
Abração e boa diversão 
Nehab
At 17:38 31/8/2006, you wrote:
Oi Nehab,
muito bom que voce tenha sido mordido pelo problema...mas nao
faco ideia de como resolve-lo usando complexos!
Em vez disso, minha solucao e' bem mequetrefe, e so' usa
material do 4o ginasial...:-)
(hummm, na verdade tem uma passagem um pouquinho mais avancada - coisa do
3o cientifico, talvez)
Grande abraco,
Rogerio Ponce

Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED]
escreveu:


Oi, gente,

Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por
rotação (complexos)... mas cadê tempo agora? Rede
o triângulo de 60 graus e... 

Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão
(mesmo sem estar com a solução) !!! :-)

Abraços,

Nehab


At 14:58 31/8/2006, you wrote:

Oi, Ítalo,

E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB? 

Abraços, 

Nehab

At 09:12 31/8/2006, you wrote:

É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta
sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB
necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK
faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três
angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero.



Até +,

Ítalo

fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu: 

Oi, 
ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não
consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu?
Como é que se resolve este pesadelo?
Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e
CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento. 
Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero. 
Prove que o triângulo ABC é equilátero.
Obrigado! 

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[obm-l] Re: [obm-l] Série

2006-08-31 Por tôpico Ojesed Mirror

Use transformada Z para resolver a equação diferença, depois faça n ir ao 
infinito.

- Original Message - 
From: Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, August 31, 2006 7:04 PM
Subject: [obm-l] Série

Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:

João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma 
mesma seqüência de operações várias  vezes para ver o que acontecia. Uma 
dessas experiências consistia em escolher um número x1  qualquer, somar 5 
e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele 
somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . 
Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,., xn

Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor 
tivesse iniciado a seqüência de operações,
João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que 
número era esse?

É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria 
de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa, 
mostrar que xn se aproxima sempre de 5.

Muito obrigado pela atenção.

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[obm-l] Re: [obm-l] Série

2006-08-31 Por tôpico Marcelo Salhab Brogliato


Olá,

bom, vc esta fazendo o seguinte:
criando um sequencia, tal que:

x_(n+1) = [ x_n + 5 ] / 2, onde x1 é o numero inicial

vamos primeiramente supor que converge.. entao:
lim x_n = a

logo: lim x_(n+1) = lim [ x_n + 5 ] / 2 = [ lim x_n + 5 ] / 2 ... logo: a = 
(a + 5) / 2 ... a = 5!


legal.. agora só precisamos mostrar que a série converge...

se escolhermos um x1 = 5, está obvido que x_n é constante e igual a 5...

agora, se x1  5, temos que: 5  x2 = (x1 + 5) / 2  x1  5  x3 = (x2 + 
5) / 2  x2 ...

assim, x_n é uma sequencia decrescente... logo, monótona...
mas... 0  x_n = x1  logo, limitada... portanto: converge!

agora, se x1  5, temos que x1  x2 = (x1 + 5) / 2  5  x2  x3 = (x2 + 
5) / 2  5 

assim, x_n é uma sequencia crescente ... logo, monótona...
mas... x1 = x_n  5 . logo, limitada... portanto: converge!

bom, nao fui nada formal.. mas acho que isso é uma coisa tranquila de se 
mostrar...

basta saber que a media aritmetica de 2 numeros esta entre estes

um abraço,
Salhab





- Original Message - 
From: Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, August 31, 2006 7:04 PM
Subject: [obm-l] Série



Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:

João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma 
mesma seqüência de operações várias  vezes para ver o que acontecia. Uma 
dessas experiências consistia em escolher um número x1  qualquer, somar 5 
e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele 
somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . 
Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números


x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,., xn

Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor 
tivesse iniciado a seqüência de operações,
João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que 
número era esse?


É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria 
de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa, 
mostrar que xn se aproxima sempre de 5.


Muito obrigado pela atenção.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Primo e divisor

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

Re: [obm-l] Primo e divisor

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

Re: [obm-l] Convergencia de serie

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

Re: [obm-l] Primo e divisor

RES: [obm-l] Convergencia de serie

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

Re: [obm-l] Primo e divisor

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

Re: [obm-l] Primo e divisor

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

Re: [obm-l] Primo e divisor

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

[obm-l] Série

Re: [obm-l] Primo e divisor

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

Re: [obm-l] Série

[obm-l] Ações de grupo

Re: [obm-l] Série

Re: [obm-l] Série

Re: [obm-l] Série

Re: [obm-l] Outra de Triangulo

[obm-l] Re: [obm-l] Série

[obm-l] Re: [obm-l] Série

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