[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
Oi, Macone, Para desenvolver a intuição dos alunos ainda jovens, eu sou adepto de mostrações geométricas para várias relações desta natureza. Evito indução, pois muitas vezes mecaniza demais as coisas, sem mostrar a beleza dos inteiros e suas relações maravilhosas. Há uma mostração para a relação que você enviou que é simples e que faz parte de uma família de problemas clássicos que é a disposição de inteiros em um triângulo. Veja: escreva os impares como no triângulo indicado... *Linha Soma na Linha Triângulo * *1 *1 = 1^3 = 1 *1 * *2 *3+5 = 2^3 = 8 *35 * *3 *7+9+11 = 3^3 = 27 *79 11 * *4 *13+15+17+19 = 4^3 = 64 *13 15 17 19 * *5 *21+23+25+27+29 = 5^3 = 125 *21 23 25 27 29 * *...* *n * ... Observe que nesta arrumação, a soma dos inteiros da k-esima linha vale k^3 e a mostração é imediata: a) a soma dos X primeiros impares vale X^2, b) até a linha n há 1+2+...+n impares, ou seja, n(n+1)/2 impares cuja soma vale [n(n+1)/2]^2. c) Até a linha n+1 há 1+2+...+(n+1) impares, cuja soma então vale [(n+1)(n+2)/2]^2. d) É fácil ver que a diferença entre estas duas soma vale n^3... Abraços, Nehab marcone augusto araújo borges escreveu: Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ? Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Vanderlei, eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)] abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br mailto:vanderm...@brturbo.com.br Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem: mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n Obrigado, Vanderlei 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com mailto:msbro...@gmail.com Fala Vanderlei, como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então: n = p1^a1 . p2^a2 pk^(a_k) vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos. entao: p1^a1 n, p2^a2 n, ..., pk^(a_k) n e todos distintos.. logo, todos eles estão em (n-1)! desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um múltiplo de n. falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo.. neste caso, p^(a-1) n, logo, ele está em (n-1)! e também temos p n, logo, ele tbem está em (n-1)! mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2) n = p^2... vamos ver: p n ... então p está em (n-1)! mas veja que 2p p^2 para p2, logo: 2p n, logo 2p também está em (n-1)! logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p2 (por isso temos n4) espero ter ajudado, abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br mailto:vanderm...@brturbo.com.br Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? *Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n.* Obrigado Vanderlei Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Oi, Paulo,
Simplemente delicioso o texto e o conteúdo, mas... implore a sua esposa
para não acordá-lo quando dormir sobre o teclado...
Sonhe mais, por favor...
Abraços,
Nehab
Paulo Santa Rita escreveu:
Ola Benedito e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
From: "benedito" bened...@ufrnet.br
para paulo.santar...@gmail.com
data 2 de maio de 2009 09:16
assunto Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Paulo,
Desculpe-me a intimidade explÃcita na mensagem.
Na verdade, estava passando esta beleza de raciocÃonio para um Amigo, também Professor de Matemática na minha cidade, que também se chama Paulo, para os Ãntimos Paulinho.
Por engano, repassei a mensagem para obm-lista.
Desculpe-me.
Benedito
Tudo bem, nao fiquei chateado.
Voce gostou ? Vou supor que sim. Aperte os cintos porque vamos
decolar. Vamos ver os elementos iniciais de "um sonho de uma noite de
verao".
Eu estava em casa. Eram cerca de duas horas da madrugada. Nao sei
exatamente o dia, mas sei que estava feliz, trabalhando no Maxima (
http://maxima.sourceforge.net/ ) sobre o glorioso Debian/GNU Linux (
http://www.br.debian.org/ ). Havia descoberto um fato interessante
sobre sequencias de inteiros que sao expressas por duas ou mais
sentencas, tais como a famosa sequencia de Lucas ( Aqui conhecido como
Problema 2N+1 ).
Eu fazia algumas simulacoes no Maxima, quando entao devo ter dormido
sobre o teclado.
Sonhei entao que os numeros binomiais Bi(N,P) que constituem o
triangulo de Pascal eram interpretados e representados de outra
forma... Ao inves de interpretar Bi(N,P) como o numero de combinacoes
de P elementos que se pode fazer com N elementos, interpretava-se
Bi(N,P) como o numero de permutacoes de N elementos, N-P de um tipo,
iguais entre si e indistinguiveis; P de outro tipo, iguais entre si e
indistinguiveis.
No sonho, Bi(N,P), com esta nova interpretacao, era representado assim : [N-P,P]
Eu fiquei curioso com esta ligeira modificacao na interpretacao e
queria saber o motivo. Foi entao quando escutei uma voz distante dizer
: "E para que voce, ao ver as faces ocultas do triangulo de Pascal,
continue podendo dar uma unica e uniforme interpretacao combinatoria".
Na hora nao entendi direito, pois, afinal, o que seriam estas "faces
ocultas do traingulo de Pascal ?" Mas deduzi imediatamente que :
[m,n] = (m+n) ! / ( m! * n! ) =Bi(m+n,n)
Foi logo apos esta simples deducao que surgiu na minha frente um
triangulo de Pascal com os numeros binomiais na sua nova
representacao. Ele apareceu assim :
...
[0,4] ...
[0,3], [1,3] ...
[0,2], [1,2], [2,2] ...
[0,1], [1,1], [2,1], [3,1] ...
[0,0], [1,0], [2,0], [3,0], [4,0] ...
Quando olhei esse triangulo, ficou claro para mim que a notacao "entre
colchetes", [m,n], era para diferenciar as coordenadas (m,n) de um
ponto do valor [m,n]=(m+n)! / (m! * n!) ATRIBUIDO ao ponto (m,n).
Assim, entendi logo que [m,n] era o valor ( ou "imagem") de uma funcao
no ponto (m,n). Assim, com a notacao [m,n] voce representava tanto o
valor como o "lugar" no plano cartesiano XoY onde o valor deveria ser
colocado.
O triangulo de Pascal era portanto apenas uma particular funcao de N x
N em N ( aqui, devemos supor N={0,1,2,3, ...}, isto e, com o zero ).
Mas o que me causou surpresa, mesmo, foi ver como eram representados
os coeficientes numericos ( coeficientes trinomiais ) da expansao de
(a+b+c)^N. Naquele estranho lugar que eu estava, eles simplesmente
representavam o triangulo de Pascal na forma como descrevi acima nos
tres pares de eixos coordenados, acrescentando simplesmente um zero de
forma conveniente. Assim :
Triangulo no plano XoY ( acrescente um zero no fim )
...
[0,4,0] ...
[0,3,0], [1,3,0] ...
[0,2,0], [1,2,0], [2,2,0] ...
[0,1,0], [1,1,0], [2,1,0], [3,1,0] ...
[0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ...
Triangulo no plano XoZ ( acrescente um zero no meio )
...
[0,0,4] ...
[0,0,3], [1,0,3] ...
[0,0,2], [1,0,2], [2,0,2] ...
[0,0,1], [1,0,1], [2,0,1], [3,0,1] ...
[0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ...
Triangulo no plano YoZ ( acrescente um zero no inicio )
...
[0,0,4] ...
[0,0,3], [0,1,3] ...
[0,0,2], [0,1,2], [0,2,2] ...
[0,0,1], [0,1,1], [0,2,1], [0,3,1] ...
[0,0,0], [0,1,0], [0,2,0], [0,3,0], [0,4,0] ...
Eu logo entendi porque se procedia assim, pois, dado a uniformidade de
interpretacao e de calculo, um trio [m,n,p] so podia ser interpretado
como o numero de permutacoes de m+n+p objetos dos quais "m" sao de um
tipo, indistinguiveis entre si; "n" sao de outro tipo, indistinguiveis
entre si e, finalmente, "p", sao de um terceiro tipo, tambem
indistinguiveis entre si. Portanto :
[m,n,p]=(m+n+p) ! / (m! * n! * p! )
como, obviamente, [m,n,p]=[m,p,n]=[n,m,p]=[n,p,m]=[p,n,m]=[p,m,n],
acrescentar um zero em qualquer posicao de [m,n] e equivalente ao
numero [0,m,p] e teremos :
[0,m,n]= (0+m+n)! / (0! m! p!) = (m+n)! /(m! * p!) = [m,n]
E aqui eu finalmente entendi porque usar a interpretacao com base
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstr ação
Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se posssivel.Um abraço Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Marcone, utilize indução finita. Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução: http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial) abraços, Salhab 2009/5/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ? Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Vanderlei, eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)] abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem: mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n Obrigado, Vanderlei 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Fala Vanderlei, como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então: n = p1^a1 . p2^a2 pk^(a_k) vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos. entao: p1^a1 n, p2^a2 n, ..., pk^(a_k) n e todos distintos.. logo, todos eles estão em (n-1)! desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um múltiplo de n. falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo.. neste caso, p^(a-1) n, logo, ele está em (n-1)! e também temos p n, logo, ele tbem está em (n-1)! mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2) n = p^2... vamos ver: p n ... então p está em (n-1)! mas veja que 2p p^2 para p2, logo: 2p n, logo 2p também está em (n-1)! logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p2 (por isso temos n4) espero ter ajudado, abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n. Obrigado Vanderlei Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Fatoração Básica
Bem, vc pode considerar que a^2 - b^2 é um polinômio do segundo grau em que a é a variável e -b^2 é constante dada e fatorá-lo. Para fatorá-lo você pode aplicar a fórmula de resoluç]ão da equação do segundo grau e obter b ou -b como raizes, logo fatoramos a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) No caso de a^3 - b^3 use o mesmo artifício, observe que obviamente a=b é uma solução da equação. Logo a^3 - b^3 é divisivel por (a-b) efetuando essa divisão obtemos a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) Isso vale pra a^3 + b^3 e a^2 + b^2. Na verdade dá pra fazer isso pra qualquer caso, mas a resolução vai se tornando mais dificil. Mas é como o colega falou, à medida que a matemática vai virando uma ferramenta constante na sua vida essas relações viram naturais :P 2009/5/2 Jayro Bedoff barz...@dglnet.com.br Caro Hugleo é claro que podemos deduzir essas fórmulas com pequenos truques de álgebra básica ( aliás é um bom exercício ), todavia essas expressões são utilizadas tantas vezes na matemática ( elementar ou não ) que sabe-las de cor é uma necessidade! No caso 1 experimente somar e subtrair ab da diferença de quadrados. Um abraço. Jayro Bedoff -- *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *HugLeo *Enviada em:* sábado, 2 de maio de 2009 01:32 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Fatoração Básica Algumas vezes temos necessidade de fatorar uma expressão para resolver um problema maior. Seja por exemplo as seguintes: 1) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) 2) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) Usando a propriedade distributiva você pode facilmente expandir a expressão do lado direito e chegar à do lado esquerdo. Mas quando necessitamos sair da experessão do lado esquerdo para chegar na expressão fatorado do lado direito fica mais complicado. Essas são fórmulas básicas da diferença de quadrados e diferença de cubos respectivamente. Elas podem ajudar a simplificar outras expressões. Entretando, devido elas não serem usadas sempre em determinados problemas acabamos por esquecê-las. Então, como deduzi-las na hora sem a necessidade de decorá-las? -- -hUgLeO-♑ -- Denisson
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [o bm-l] Fatoração Básica
Olá! Acho que o que o colega HugLeo queria saber são QUAIS truques algébricos de fatoração usar... Dentre esses citados, posso sugerir dois um pouco mais simples: 1)a^2-b^2 (some e subtraia ab da expressão) a^2 + ab – ab – b^2=a(a+b)-b(a+b) = (a-b)(a+b) 2)a^3 – b^3 (some e subtraia (a^2)b e a(b^2)) a^3 - (a^2)b + a(b^2) – b^3 + (a^2)b - a(b^2) Agora fatore de “dois a dois” e observe que você obterá: a^2(a-b)+b^2(a-b)+ab(a-b) Colocando (a-b) em evidência (a-b)(a^2+ab+b^2) Para achar a forma fatorada de a^3+b^3, basta usar a mesma ferramenta de 2), só que trocando um pouco a ordem dos termos... Bom, acho que é isso que você desejava... []’s João Gabriel Preturlan De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Denisson Enviada em: domingo, 3 de maio de 2009 12:15 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Fatoração Básica Bem, vc pode considerar que a^2 - b^2 é um polinômio do segundo grau em que a é a variável e -b^2 é constante dada e fatorá-lo. Para fatorá-lo você pode aplicar a fórmula de resoluç]ão da equação do segundo grau e obter b ou -b como raizes, logo fatoramos a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) No caso de a^3 - b^3 use o mesmo artifício, observe que obviamente a=b é uma solução da equação. Logo a^3 - b^3 é divisivel por (a-b) efetuando essa divisão obtemos a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) Isso vale pra a^3 + b^3 e a^2 + b^2. Na verdade dá pra fazer isso pra qualquer caso, mas a resolução vai se tornando mais dificil. Mas é como o colega falou, à medida que a matemática vai virando uma ferramenta constante na sua vida essas relações viram naturais :P 2009/5/2 Jayro Bedoff barz...@dglnet.com.br Caro Hugleo é claro que podemos deduzir essas fórmulas com pequenos truques de álgebra básica ( aliás é um bom exercício ), todavia essas expressões são utilizadas tantas vezes na matemática ( elementar ou não ) que sabe-las de cor é uma necessidade! No caso 1 experimente somar e subtrair ab da diferença de quadrados. Um abraço. Jayro Bedoff _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de HugLeo Enviada em: sábado, 2 de maio de 2009 01:32 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Fatoração Básica Algumas vezes temos necessidade de fatorar uma expressão para resolver um problema maior. Seja por exemplo as seguintes: 1) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) 2) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) Usando a propriedade distributiva você pode facilmente expandir a expressão do lado direito e chegar à do lado esquerdo. Mas quando necessitamos sair da experessão do lado esquerdo para chegar na expressão fatorado do lado direito fica mais complicado. Essas são fórmulas básicas da diferença de quadrados e diferença de cubos respectivamente. Elas podem ajudar a simplificar outras expressões. Entretando, devido elas não serem usadas sempre em determinados problemas acabamos por esquecê-las. Então, como deduzi-las na hora sem a necessidade de decorá-las? -- -hUgLeO-? -- Denisson Nenhum vírus encontrado nessa mensagem recebida. Verificado por AVG - www.avgbrasil.com.br Versão: 8.5.325 / Banco de dados de vírus: 270.12.15/2093 - Data de Lançamento: 05/02/09 14:23:00
[obm-l] Geo Analitica U321
Caros colegas, Ai estão mais umas atividades que estou atrasada, quem puder me ajudar é só informação a questão na qual poderá, enviando. Fico agradecida mais uma vez. 1. Determine a equação vetorial e as equações paramétricas para a reta: i) que passa pelo ponto (1, 0,?3) e é paralela ao vetor rv = (2, 4, 5) ii) que passa pela origem e é paralela à reta x = 2t y = 1 ? t z = 4 + 3t, 2. Sejam A(0, 2, 2), B(0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes de A e B. 3. Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P(7,?2, 1) e Q(3, 4, 2). 4. Sejam B(1, 2, 3) e C(?1, 2, 0). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto R(1, 1, 1) e é paralela à reta que contém B e C. 5. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas x = 1 ? t y = t z = 4 + 2t, 6. Quais as equações paramétricas dos eixos coordenados? 7. Sejam A(3, 6,?7), B(?5, 2, 3) e C(4,?7 ? 6). a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo. b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C. 8. Sejam, em relação a um sistema ortogonal, A(1, 4, 0), B(2, 1,?1) e C(1,2,2). Verifique que esses pontos são vértices de um triângulo e escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura relativa ao vértice B. 9. Escreva equações paramétricas da reta determinada pelo ponto (?1,?4,?2) e pelo ponto médio do segmento de extremidades (1, 3, 5) e (3,?3, 1). Sei que são muitas, ams aquelas que voces puderem me ajudar esta de bom agrado. Rita Gomes
[obm-l] Re: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Ola Jorge, Albert e demais colegas desta lista ... OBM-L, Talvez esteja ocorrendo alguma confusao aqui ... E possivel fazer o seguinte : 1/3 1/4 1/4 = 1/4 somando as duas desgigualdades : 1/3 + 1/4 1/4 + 1/4 = 1/2 1/5 1/8 1/6 1/8 1/7 1/8 1/8 = 1/8 somando as 4 desigualdades : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2 Prosseguindo assim vamos concluir que : 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... 1 + 1/2 + 1/2 + ... Como a segunda serie, obviamente, diverge, pelo criterio de comparacao segue que a primeira serie ( serie harmonica ) tambem diverge. E entao jorge, e isso o que voce queria dizer ? Eu conheco um problema sobre series, bonitinho e nao-trivial. Ele e assim : Seja S=A1 + A2 + A3 + ... uma serie ( de numeros reias ) condicionalmente convergente. Sabemos, pelo teorema de Riemann, que com um arranjo inteligente dos indices podemos fazer com que esta serie convirja para um real r qualquer. Seja b:N - N uma bijecao. Caracterize as bijecoes b tais que Ab(1) + Ab(2) + Ab(3) + ... converge OBS : aqui, Ab(n) deve ser entendido com A con indice b(n) Um Abracao a Todos PSR, 10305090E24 2009/5/1 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com: Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Geo Analitica U23
Caros Colegas, Mais uma vez peço a ajuda de voces, estou com umas atividades em atraso e preciso solucionar o mais breve. Asssim agradeço antecipadamente. 1.Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A(1, 2, 1), B(7, 4, 3), C(4, 6, 2) e D(3, 3, 3). 2. Mostre que três vetores ra ,rb e rc são coplanares se, e somente se, o produto misto entre eles é nulo. 3. Verifique se os vetores ru = (3,?1, 4), rv = (1, 0, 1) e rw = (2, 1, 0) são coplanares. 4. Use as propriedades do produto misto para demonstrar que o produto vetorial é distributivo em relação à adição. Rita Gomes
Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Ola Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Voce gostou do Conto ? Fico Feliz ! Ser casado com uma escritora traz algumas vantagens ... Aqui vai uma implicacao do sonho : Eu precisaria, previamente, ter caracterizados as folheacoes ou faces ocultas do triangulo de Pascal que descrevi no sonho. Usando a notacao que la introduzi as coisas ficam mais faceis e diretas. Mas vou seguir um atalho aqui. Estarei imaginando o Triangulo de Pascal ( doravante chamado de TP ) com a seguinte disposicao : Bi(0,0) Bi(1,0),Bi(1,1) Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) . . . As colunas sao entendidas como numeradas da esquerda para a direita a partir de zero. Verifique que se tomarmos 3 elementos consecutivos Ai+1, Ai e Ai+1 da coluna 2 teremos : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = 1^2 = 1 Exemplo : Bi(2,2) - 2Bi(3,2) + Bi(4,2) = 1 - 2*3 + 6 = 1 Se tomarmos 4 elementos consecutivos Ai+2, Ai+1, Ai e Ai-1 da coluna 3 termos que : Ai+2 - 3Ai+1 + 3Ai _ Ai-1 = 1^3 = 1 E, de maneira geral, se tomarmos N+1 elementos consecutivos da coluna N, usamos os coeficientes numericos do desenvolvimento de (a+b) ^N, com os sinais alternativamente trocados, teremos que a soma do tipo acima exemplificada resulta em 1 : ( nao vou provar estas coisas aqui porque isso e muito mais coisas deriva naturalmente das diversas faces ocultas do TP ) Esse numero 1, um valor constante em todo TP, sera chamado de NIC* ( ele e muito importante ). Assim, o TP e um triangulo aritmetico com NIC = 1 O fato de no TP o NIC ser 1 esconde muitas coisas ... De fato, a expressao geral para o NIN de um triangulo aritmetico e um polinomio de coeficientes interessantes ( que depende das faces, conforme ja falei ) na variavel NIC. No TP, ao introduzirmos meios aritmeticos em todos o triangulo, vale dizer, usar os coeficientes de (a+b) ^(N/2), N = ... -2,-1,0,1,2,..., teremos que : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = (1/2)^2 na coluna 2 Ai+2 - 3Ai+1 + 3 Ai - Ai-1 = (1/2)^3 na coluna 3 e assim sucessivamente Se, no TP, introuzirmos os termos aritmeticos, vale dizer, colocarmos entre as linhas os coeficientes de (a+b)^(N/3), N = ... -2, -1, 0, 1, 2, ... teremos que : Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = (1/3)^2 na coluna 2 Ai+2 - 3Ai+1 + 3 Ai - Ai-1 = (1/3)^3 na coluna 3 Agora, va introduzindo meior, tercos, quartos etc aritmeticos no TP e use este resultado para obter algo inedito, vale dizer, a expressao de 1 + (1/2)^3 + (1/3) ^3 + ... Como uma soma de coeficiente binomiais ( conforme ja propus aqui ) sem nenhuma NENHUMA potencia negativa. Isso, que por si so e inedito e que levaria muito matematico correr para publicar, e uma mera e simples aplicacao do sonho de uma noite de verao *O NIC e o nucleo dessa teoria. Nao e tao simples descobrir a expressao dele. Um primeiro passo e descobri as faces ocultas de ja falei. O Termo NIC deriva de NICOLAU SALDANHA. Eu descobri e desenvolvi estas coisas pouco antes de ingressar nesta lista, ha cerca de 10 anos atras. O Nicolau, alem de criar este maravilhoso espaco de discussao, me recebeu ( como recebe a todos ) muito bem e foi o meu modelo de Inicial de Matematico. Assim, nada mais justo que dar a um elemento importante da minha teoria o nome do amigo e mestre que no inicio me guiou e que desde sempre mereceu e merce a minha mais elevada estima e consideracao.. Assim, e uma forma de um Matematico ( Eu, Paulo Santa Rita ) homenagear outro Matematico ( Nicolau Saldanha ). Um Abraco a Todos PSR, 10305091629 2009/5/3 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Oi, Paulo, Simplemente delicioso o texto e o conteúdo, mas... implore a sua esposa para não acordá-lo quando dormir sobre o teclado... Sonhe mais, por favor... Abraços, Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Benedito e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) From: benedito bened...@ufrnet.br para paulo.santar...@gmail.com data 2 de maio de 2009 09:16 assunto Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz Paulo, Desculpe-me a intimidade explícita na mensagem. Na verdade, estava passando esta beleza de raciocíonio para um Amigo, também Professor de Matemática na minha cidade, que também se chama Paulo, para os íntimos Paulinho. Por engano, repassei a mensagem para obm-lista. Desculpe-me. Benedito Tudo bem, nao fiquei chateado. Voce gostou ? Vou supor que sim. Aperte os cintos porque vamos decolar. Vamos ver os elementos iniciais de um sonho de uma noite de verao. Eu estava em casa. Eram cerca de duas horas da madrugada. Nao sei exatamente o dia, mas sei que estava feliz, trabalhando no Maxima ( http://maxima.sourceforge.net/ ) sobre o glorioso Debian/GNU Linux ( http://www.br.debian.org/ ). Havia descoberto um fato interessante sobre sequencias de inteiros que sao expressas por duas ou mais sentencas, tais como a famosa sequencia de Lucas ( Aqui conhecido como Problema 2N+1 ). Eu fazia algumas simulacoes no Maxima, quando entao devo ter dormido sobre o teclado. Sonhei entao que os numeros binomiais Bi(N,P) que
[obm-l] demonstração
Marcone, Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x^+ 1, fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois soma, membro a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros n números naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados perfeitos de números naturais. Benedito - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 03, 2009 9:44 AM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se posssivel.Um abraço -- Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Marcone, utilize indução finita. Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução: http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial) abraços, Salhab 2009/5/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ? Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Vanderlei, eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)] abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem: mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n Obrigado, Vanderlei 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Fala Vanderlei, como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então: n = p1^a1 . p2^a2 pk^(a_k) vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos. entao: p1^a1 n, p2^a2 n, ..., pk^(a_k) n e todos distintos.. logo, todos eles estão em (n-1)! desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um múltiplo de n. falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo.. neste caso, p^(a-1) n, logo, ele está em (n-1)! e também temos p n, logo, ele tbem está em (n-1)! mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2) n = p^2... vamos ver: p n ... então p está em (n-1)! mas veja que 2p p^2 para p2, logo: 2p n, logo 2p também está em (n-1)! logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p2 (por isso temos n4) espero ter ajudado, abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n. Obrigado Vanderlei Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! -- Novo Internet Explorer 8: mais rápido e muito mais seguro. Baixe agora, é grátis!
Re: [obm-l] Geo Analitica U321
Puxa, mais uma lista. =/ On May 3, 2009, at 17:22 , RitaGomes wrote: Caros colegas, Ai estão mais umas atividades que estou atrasada, quem puder me ajudar é só informação a questão na qual poderá, enviando. Fico agradecida mais uma vez. 1. Determine a equação vetorial e as equações paramétricas para a reta: i) que passa pelo ponto (1, 0,−3) e é paralela ao vetor rv = (2, 4, 5) ii) que passa pela origem e é paralela à reta x = 2t y = 1 − t z = 4 + 3t, 2. Sejam A(0, 2, 2), B(0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes de A e B. 3. Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P(7,−2, 1) e Q(3, 4, 2). 4. Sejam B(1, 2, 3) e C(−1, 2, 0). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto R(1, 1, 1) e é paralela à reta que contém B e C. 5. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramé tricas x = 1 − t y = t z = 4 + 2t, 6. Quais as equações paramétricas dos eixos coordenados? 7. Sejam A(3, 6,−7), B(−5, 2, 3) e C(4,−7 − 6). a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo. b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C. 8. Sejam, em relação a um sistema ortogonal, A(1, 4, 0), B(2, 1, −1) e C(1,2,2). Verifique que esses pontos são vértices de um triângulo e escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura relativa ao vértice B. 9. Escreva equações paramétricas da reta determinada pelo ponto (−1,−4,−2) e pelo ponto médio do segmento de extremidades (1, 3, 5) e (3,−3, 1). Sei que são muitas, ams aquelas que voces puderem me ajudar esta de bom agrado. Rita Gomes = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Olá a todos! Acho que estou sendo mais uma vítima da mesma conspiração que persegue o Eric: minhas mensagens estão sendo censuradas e não aparecem na Lista. Tenho certeza que, numa ação conjunta da CIA, do MI5 (do James Bond), do Mossad, da KGB (ainda existe?), da Interpol e do Arquivo X do FBI, alguns agentes do M.A.L. (Matemáticos Assassinos da Lógica) estão me bloqueando. Bem, caso eu seja abduzido nas próximas horas, peço que vocês publiquem esta minha derradeira mensagem no New York Times - este jornal está beirando a falência e, certamente, a publicação de uma mensagem tão bombástica há de salvá-lo! Lá vai: É certo que é possível mostrar que a Série Harmônica (SH) diverge através do seguinte artifício: 1+1/2 = 1+1/2 1+1/2+1/3+1/4 1+1/2+1/2 1+1/2+1/3+...1/7 1+1/2+1/2+1/2 Daí, se consegue mostrar que SEMPRE é possível achar uma soma de n (n FINITO) de termos subsequentes (i.e., ainda NÃO usados) da SH que seja maior do que 1/2. Logo, como a soma INFINITA de termos iguais a 1/2 diverge, então a SH diverge também - está tudo muito certo! Isto não significa, entretanto, que a SH (infinita) seja maior (i.e., tenha uma divergência de ordem superior) do que a soma infinita de uma constante igual a 1/2. Reparem que eu SEMPRE adicionei um número maior de termos do lado esquerdo (do lado da SH) do que do lado direito (do lado da soma da constante igual a 1/2). Caso vocês continuem duvidando vejam as contas: (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) = ... 0.5325396825 para n=10 ; 0.1027203469 para n=100 ; 0.0149559857 para n=1000 ; 0.287854 para n=100 ... Mas isto não é o pior! Reparem que, assumindo um desenvolvimento análogo ao que está sendo proposto para mostrar que a SH (infinita) é maior do que a soma infinita de uma constante igual a 1/2, poder-se-ia (gostei da mesóclise!) chegar ao seguinte paradoxo: 2+2+2+... 3+3+3+... Vejamos como: (2+2) 3 (2+2) + (2+2) 3 + 3 (2+2) + (2+2) + (2+2) 3 + 3 + 3 ... e por aí vai... Logo: 2+2+2+... 3+3+3+... Quando, na verdade, é evidente que: Limite [n--+oo] [ (soma(2), “n” vezes) / (soma(3), “n” vezes) ] = 2/3 Logo: 2+2+2+... 3+3+3+... na razão de 2 para 3 . Bem, o resto está explicado no e-mail abaixo, onde quis mostrar que a divergência da SC (Série de Constantes), com a constante igual a 1/2, é de ordem superior em relação à divergência da SH. Isto acontece porque a SH quase converge. Vejam, também, o paradoxo 01/2 (está, também abaixo). Em resumo: fazer operações algébricas com séries divergentes costuma dar m... Saudações a todos! Não se esqueçam de enviar esta mensagem para o New York Times! Albert. Olá Salhab, Você mostrou que a série harmônica diverge – bem, isto está mesmo certo. Aliás, a série harmônica diverge só um pouquinho, i.e., ela quase converge. Entretanto, a desigualdade em questão se refere a duas séries divergentes. Aí, temos que tomar muito cuidado com as manipulações algébricas que fazemos, porque estamos lidando com infinito de um lado vs. infinito do outro, isto em cada um dos lados da desigualdade. Repare que um (pequeno) descuido já é suficiente para “provar”, p.ex., que 0 1/2 – foi o que eu fiz na minha mensagem de 18DEZ2008 (está abaixo). Agora, vamos ao problema em questão: de imediato eu vi (adiante explico o porquê) que a desigualdade se verificava para: 1+1/2+1/3+1/4+... 1+1/2+1/2+1/2+... , que vou escrever como sendo SH SC (série harmônica série de constantes). Eu só introduzi o cálculo do limite: Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) ] = 0 Porque eu quis mostrar que SH é “infinitamente” menor do que SC – acho que eu fui acossado pelo Cantor (o cara da Hipótese do Continuum). SH poderia ser a metade (ou um terço, um quarto...) de SC. Mas não é! Eu quis verificar que SH SC . Veja, então, porque é óbvio que SH é (muito) menor do que SC: Do lado esquerdo, vou desenvolver SH e, do direito, SC – repare: SH SC ( constante = 1/2 ) 1 = 1 1 + 1/2 = 1 + 1/2 ... a partir daqui, sempre vamos adicionar um termo menor do lado esquerdo (em SH) em relação ao termo que adicionamos em SC: 1 + 1/2 + 1/3 1 + 1/2 + 1/2 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ... e por aí vai... Finalmente, observe que, quando seguimos um desenvolvimento totalmente semelhante ao que você propõe, podemos “provar” que: 2+2+2+... 3+3+3+... Veja como: (2+2) 3 (2+2) + (2+2) 3 + 3 (2+2) + (2+2) + (2+2) 3 + 3 + 3 ... e por aí vai... Logo: 2+2+2+... 3+3+3+... Quando, na verdade, é evidente que: Limite [n--+oo] [ (soma(2), “n” vezes) / (soma(3), “n” vezes) ] = 2/3 Logo: 2+2+2+... 3+3+3+... na razão de 2 para 3 . Sds., AB [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [1] Considere a seguinte série: S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo ) [2] Faça a seguinte manipulação: S/2 = 1/2
Re: [obm-l] Geo Analitica U321
Caro colega, Entendo que a lista não seja para resolver esse tipo de problema meu. Coloquei uma lista enorme de exercicios, mas nao pela minha desorganização, eu nao conegui executálos. Já iniciei todos, porem estou querendo ter melhor conhecimento sobre as mesmas, pois termiei uma faculdade em 86, e atualmente estou fazendo uma de Quimica a Distancia, voce ja experiemntou esse tipo de faculdade, onde não se tem alguem com conhecimento maior que meu para esclarecer suas dúvidas. E também meu trabalho é um local fora do meu estado, que sequer tenho acesso a internet, por isso resolvi apelar aqui na lista uma ajuda, mesmo porque toda a minha tividade terá que ser justificada provando, ou seja eu vou ter que saber de verdade e nao ficar copiando. Mas se provoquei tão absurdo peço que me desculpe e em breve estarei me desligando da lista. E também espero que não aconteça com o voce o mesmo comigo. Mesmo porque, acredito que muitos aqui na lista são estudantes apenas, pouco serão aqueles que trabalham para sustentar familia ou ate mesmo despesas pessoais. mais uma vez minhas desculpas. - Original Message - From: fabrici...@usp.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 03, 2009 7:10 PM Subject: Re: [obm-l] Geo Analitica U321 Puxa, mais uma lista. =/ On May 3, 2009, at 17:22 , RitaGomes wrote: Caros colegas, Ai estão mais umas atividades que estou atrasada, quem puder me ajudar é só informação a questão na qual poderá, enviando. Fico agradecida mais uma vez. 1. Determine a equação vetorial e as equações paramétricas para a reta: i) que passa pelo ponto (1, 0,−3) e é paralela ao vetor rv = (2, 4, 5) ii) que passa pela origem e é paralela à reta x = 2t y = 1 − t z = 4 + 3t, 2. Sejam A(0, 2, 2), B(0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes de A e B. 3. Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P(7,−2, 1) e Q(3, 4, 2). 4. Sejam B(1, 2, 3) e C(−1, 2, 0). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto R(1, 1, 1) e é paralela à reta que contém B e C. 5. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramé tricas x = 1 − t y = t z = 4 + 2t, 6. Quais as equações paramétricas dos eixos coordenados? 7. Sejam A(3, 6,−7), B(−5, 2, 3) e C(4,−7 − 6). a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo. b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C. 8. Sejam, em relação a um sistema ortogonal, A(1, 4, 0), B(2, 1, −1) e C(1,2,2). Verifique que esses pontos são vértices de um triângulo e escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura relativa ao vértice B. 9. Escreva equações paramétricas da reta determinada pelo ponto (−1,−4,−2) e pelo ponto médio do segmento de extremidades (1, 3, 5) e (3,−3, 1). Sei que são muitas, ams aquelas que voces puderem me ajudar esta de bom agrado. Rita Gomes = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Atualizado em 03/05/2009 No virus found in this incoming message. Checked by AVG - www.avg.com Version: 8.0.238 / Virus Database: 270.12.15/2093 - Release Date: 05/02/09 14:23:00 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
