Re: [obm-l] Geo Analitica U321
Veja bem a situação: Você manda uma lista, de 9 exercícios, pedindo para que seja resolvida. Não explicita suas dúvidas, tão pouco mostra até onde chegou em cada questão. De que adianta alguém resolver os nove exercícios (que nada têm de especial) para que você entregue ao seu professor? Se tem dúvidas, diga quais são, de forma específica. Muitos dos exercícios requerem apenas aplicação de fórmulas, como é o caso do 1, 5, 6, e 9. Talvez seja interessante adquirir um livro com exercícios resolvidos de Vetores e Geometria Analítica. Não gostaria que esse email passasse uma sensação de hostilidade; é apenas uma recomendação de como proceder para obter resultados mais eficientes em seus estudos. Conte comigo (conosco) para sanar suas dúvidas. Um abraço. On May 3, 2009, at 22:32 , RitaGomes wrote: Caro colega, Entendo que a lista não seja para resolver esse tipo de problema meu. Coloquei uma lista enorme de exercicios, mas nao pela minha desorganização, eu nao conegui executálos. Já iniciei todos, porem estou querendo ter melhor conhecimento sobre as mesmas, pois termiei uma faculdade em 86, e atualmente estou fazendo uma de Quimica a Distancia, voce ja experiemntou esse tipo de faculdade, onde não se tem alguem com conhecimento maior que meu para esclarecer suas dúvidas. E também meu trabalho é um local fora do meu estado, que sequer tenho acesso a internet, por isso resolvi apelar aqui na lista uma ajuda, mesmo porque toda a minha tividade terá que ser justificada provando, ou seja eu vou ter que saber de verdade e nao ficar copiando. Mas se provoquei tão absurdo peço que me desculpe e em breve estarei me desligando da lista. E também espero que não aconteça com o voce o mesmo comigo. Mesmo porque, acredito que muitos aqui na lista são estudantes apenas, pouco serão aqueles que trabalham para sustentar familia ou ate mesmo despesas pessoais. mais uma vez minhas desculpas. - Original Message - From: fabrici...@usp.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 03, 2009 7:10 PM Subject: Re: [obm-l] Geo Analitica U321 Puxa, mais uma lista. =/ On May 3, 2009, at 17:22 , RitaGomes wrote: Caros colegas, Ai estão mais umas atividades que estou atrasada, quem puder me ajudar é só informação a questão na qual poderá, enviando. Fico agradecida mais uma vez. 1. Determine a equação vetorial e as equações paramétricas para a reta: i) que passa pelo ponto (1, 0,â3) e é paralela ao vetor rv = (2, 4, 5) ii) que passa pela origem e é paralela à reta x = 2t y = 1 â t z = 4 + 3t, 2. Sejam A(0, 2, 2), B(0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes de A e B. 3. Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P(7,â2, 1) e Q(3, 4, 2). 4. Sejam B(1, 2, 3) e C(â1, 2, 0). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto R(1, 1, 1) e é paralela à reta que contém B e C. 5. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramé tricas x = 1 â t y = t z = 4 + 2t, 6. Quais as equações paramétricas dos eixos coordenados? 7. Sejam A(3, 6,â7), B(â5, 2, 3) e C(4,â7 â 6). a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo. b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C. 8. Sejam, em relação a um sistema ortogonal, A(1, 4, 0), B(2, 1, â1) e C(1,2,2). Verifique que esses pontos são vértices de um triângulo e escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura relativa ao vértice B. 9. Escreva equações paramétricas da reta determinada pelo ponto (â1,â4,â2) e pelo ponto médio do segmento de extremidades (1, 3, 5) e (3,â3, 1). Sei que são muitas, ams aquelas que voces puderem me ajudar esta de bom agrado. Rita Gomes = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Atualizado em 03/05/2009 -- -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG - www.avg.com Version: 8.0.238 / Virus Database: 270.12.15/2093 - Release Date: 05/02/09 14:23:00 == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Res: Res: [obm-l] problema interessante!!!
Bom, então vamos lá: Fazendo o desenho e construindo o triangulo equilátero auxiliar que te falei vamos precisar provar que AD=BE. Mas ai é simples pois sendo P a instersecção da circunferência circunscrita aos triangulos BCD e ACE, então D^MC=60º, A^PC=120º, vemos que P está em BE e de também em AD. Agora aplica-se ptlomeu nos respectivos quadriláteros APCE, BPCD temos as seguintes relações:PE=AP+CP, PD= PB+PC, temos que: AD=AP+CP+PB=AE. Agora apliquemos o lei dos cossenos no triangulo ABE, BE^2=AB^2+AE^2+AB*AE*3^1/2, como AD=AE, de forma análoga AE=AC. Temos: AD^2=AB^2+AC^2+AB*AC*3^1/2 De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 12:33:47 Assunto: Re: Res: [obm-l] problema interessante!!! De nada. Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu. Qual é o ponto P? Valeu, Cleuber. --- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18 Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio eu tratei o problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se construíssemos um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois ptlolomeu no quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. Obrigado De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51 Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments AB,AC, and AD cannot all be rational. donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes in the exterior the equilateral triangle Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Res: Enc: Re: [obm-l] problema interessante!!!
Bom, então vamos lá: Fazendo o desenho e construindo o triangulo equilátero auxiliar que te falei vamos precisar provar que AD=BE. Mas ai é simples pois sendo P a instersecção da circunferência circunscrita aos triangulos BCD e ACE, então D^MC=60º, A^PC=120º, vemos que P está em BE e de também em AD. Agora aplica-se ptlomeu nos respectivos quadriláteros APCE, BPCD temos as seguintes relações:PE=AP+CP, PD= PB+PC, temos que: AD=AP+CP+PB=AE. Agora apliquemos o lei dos cossenos no triangulo ABE, BE^2=AB^2+AE^2+AB*AE*3^1/2, como AD=AE, de forma análoga AE=AC. Temos: AD^2=AB^2+AC^2+AB*AC*3^1/2 De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 2 de Maio de 2009 14:58:47 Assunto: Enc: Re: [obm-l] problema interessante!!! Ola Marcio, Me confundi..na realidade o que foi provado é que u^2+v^2 = r^2-s^2 e uv=2rs Vou continuar com essa abordagem, e depois te envio uma resposta. Abs Felipe --- Em qui, 30/4/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 11:42 Ola Marcio, Um outro caminho é escrever as relações dos lados : a^2+b^2 =c^2 e b^2+c^2=d^2 (onde d é o segmento que vai do vértice do angulo reto até o vértice do angulo oposto, de 60o.). Desta relação, teremos que encontrar u,v e r,s (ternos pitagórico primitivo) tais que: c= u^2+v^2 = r^2-s^2 e b= 2uv=2rs o que é impossível (já foi demonstrado, depois envio esta demonstração) Ps: b deverá ser par, pois da sequações acima, teremos que a^2+2b^2=d^2, onde a solução geral é : a = m^2-2n^2 b= 2mn d=m2+2n^2 com mdc (m, 2n)=1. Abs Felipe --- Em qui, 30/4/09, Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br escreveu: De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 8:39 A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C.. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com..br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC constructBCD.. Prove that the lengths of the segments AB, AC Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já. in the exterior the equilateral triangle Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Geo Analitica U321
Ola Fabricio, Mais uma vez peço-lhe desculpas, apelei desta forma por ser 5 unidades de uma vez só, e mto tempo sem estudar, requer convenhamos uma dedicação muito grande. Porém ocorrem alguns contratempos tb na minha saúde, por isso o meu atraso. Fiquei o sabado e domingo todo para ver sobre isso e conseguir chegar ate a unidade 4, mas ainda com dúvidas, vou estar vendo exatamente em qual estou com maiores duvidas e encaminhando a voce. Ate. - Original Message - From: fabrici...@usp.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 04, 2009 7:11 AM Subject: Re: [obm-l] Geo Analitica U321 Veja bem a situação: Você manda uma lista, de 9 exercícios, pedindo para que seja resolvida. Não explicita suas dúvidas, tão pouco mostra até onde chegou em cada questão. De que adianta alguém resolver os nove exercícios (que nada têm de especial) para que você entregue ao seu professor? Se tem dúvidas, diga quais são, de forma específica. Muitos dos exercícios requerem apenas aplicação de fórmulas, como é o caso do 1, 5, 6, e 9. Talvez seja interessante adquirir um livro com exercícios resolvidos de Vetores e Geometria Analítica. Não gostaria que esse email passasse uma sensação de hostilidade; é apenas uma recomendação de como proceder para obter resultados mais eficientes em seus estudos. Conte comigo (conosco) para sanar suas dúvidas. Um abraço. On May 3, 2009, at 22:32 , RitaGomes wrote: Caro colega, Entendo que a lista não seja para resolver esse tipo de problema meu. Coloquei uma lista enorme de exercicios, mas nao pela minha desorganização, eu nao conegui executálos. Já iniciei todos, porem estou querendo ter melhor conhecimento sobre as mesmas, pois termiei uma faculdade em 86, e atualmente estou fazendo uma de Quimica a Distancia, voce ja experiemntou esse tipo de faculdade, onde não se tem alguem com conhecimento maior que meu para esclarecer suas dúvidas. E também meu trabalho é um local fora do meu estado, que sequer tenho acesso a internet, por isso resolvi apelar aqui na lista uma ajuda, mesmo porque toda a minha tividade terá que ser justificada provando, ou seja eu vou ter que saber de verdade e nao ficar copiando. Mas se provoquei tão absurdo peço que me desculpe e em breve estarei me desligando da lista. E também espero que não aconteça com o voce o mesmo comigo. Mesmo porque, acredito que muitos aqui na lista são estudantes apenas, pouco serão aqueles que trabalham para sustentar familia ou ate mesmo despesas pessoais. mais uma vez minhas desculpas. - Original Message - From: fabrici...@usp.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 03, 2009 7:10 PM Subject: Re: [obm-l] Geo Analitica U321 Puxa, mais uma lista. =/ On May 3, 2009, at 17:22 , RitaGomes wrote: Caros colegas, Ai estão mais umas atividades que estou atrasada, quem puder me ajudar é só informação a questão na qual poderá, enviando. Fico agradecida mais uma vez. 1. Determine a equação vetorial e as equações paramétricas para a reta: i) que passa pelo ponto (1, 0,â^'3) e é paralela ao vetor rv = (2, 4, 5) ii) que passa pela origem e é paralela à reta x = 2t y = 1 â^' t z = 4 + 3t, 2. Sejam A(0, 2, 2), B(0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes de A e B. 3. Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P(7,â^'2, 1) e Q(3, 4, 2). 4. Sejam B(1, 2, 3) e C(â^'1, 2, 0). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto R(1, 1, 1) e é paralela à reta que contém B e C. 5. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramé tricas x = 1 â^' t y = t z = 4 + 2t, 6. Quais as equações paramétricas dos eixos coordenados? 7. Sejam A(3, 6,â^'7), B(â^'5, 2, 3) e C(4,â^'7 â^' 6). a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo. b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C. 8. Sejam, em relação a um sistema ortogonal, A(1, 4, 0), B(2, 1, â^'1) e C(1,2,2). Verifique que esses pontos são vértices de um triângulo e escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura relativa ao vértice B. 9. Escreva equações paramétricas da reta determinada pelo ponto (â^'1,â^'4,â^'2) e pelo ponto médio do segmento de extremidades (1, 3, 5) e (3,â^'3, 1). Sei que são muitas, ams aquelas que voces puderem me ajudar esta de bom agrado. Rita Gomes = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Atualizado em 03/05/2009 -- -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG - www.avg.com Version: 8.0.238 / Virus Database: 270.12.15/2093 - Release Date: 05/02/09 14:23:00
[obm-l] serie para ln(2)
Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] RE: [obm-l] serie para ln(2) - CORREÇÃO!
CORREÇÃO! Esse negócio de copy/paste dá cada craca... Muito bem observado, Luís! Quando eu coloquei este resultado, minha intenção era só dar um colorido no pseudo-paradoxo que inventei e, assim, mostrar que a série obtida era, de fato, convergente para um número maior do que 1/2, o ln(2). Agora, vou deixar como desafio: Pede-se mostrar que: Soma [ 1/(2n(2n-1)) , n = 1 ... +oo ] = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) ... Série [1] Dica (já que estamos falando na Série Harmônica, ela quase que aparece...): É sabido que: Soma [ ((-1)^(n+1))/n , n = 1 ... +oo ] = ln(2)... Série [2] Ou, se preferir: ln(1+x) = x (x^2)/2 + (x^3)/3 (x^4)/4 + ... , para -1 x = 1 Repare que a convergência da Série [1] é mais rápida do que a da Série [2] bonito, não? AB mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Luís Lopes Sent: Monday, May 04, 2009 4:15 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] serie para ln(2) Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís _ Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] Série para ln(2)
Muito bem observado, Luís! Quando eu coloquei este resultado, minha intenção era só dar um colorido no pseudo-paradoxo que inventei e, assim, mostrar que a série obtida era, de fato, convergente para um número maior do que 1/2, o ln(2). Agora, vou deixar como desafio: Pede-se mostrar que: Soma [ 1/(2n(2n-1)) , n = 1 ... +oo ] = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2)... Série [1] Dica (já que estamos falando na Série Harmônica, ela “quase” que aparece...): É sabido que: Soma [ ((-1)^(n+1))/n , n = 1 ... +oo ] = ln(2)... Série [2] Ou, se preferir: ln(1+x) = x – (x^2)/2 + (x^3)/3 – (x^4)/4 + ... , para -1 x = 1 Repare que a convergência da Série [1] é bem mais rápida do que a da Série [2] – bonito, não? Sds., AB bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Luís Lopes Sent: Monday, May 04, 2009 4:15 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] serie para ln(2) Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
RE: [obm-l] serie para ln(2)
Muito bem observado Luís! Quando eu coloquei este resultado, minha intenção era só dar um colorido no pseudo-paradoxo que inventei e, assim, mostrar que a série obtida era, de fato, convergente para um número maior do que 1/2, o ln(2). Agora, vou deixar como desafio: Pede-se mostrar que: Soma [ 1/(2n(2n-1)) , n = 1 ... +oo ] = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) ... Série [1] Dica (já que estamos falando da Série Harmônica, ela quase que aparece...): É sabido que: Soma [ ((-1)^(n-1))/n , n = 1 ... +oo ] = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) ... Série [2] Repare que a convergência da Série [1] é mais rápida do que a da Série [2] bonito, não? AB mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Luís Lopes Sent: Monday, May 04, 2009 4:15 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] serie para ln(2) Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís _ Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)-(1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Interessante observar que: 1 = integral(0;1) 1 dx 1/2 = integral(0;1) x dx 1/3 = integral(0;1) x^2 dx 1/4 = integral(0;1) x^3 dx e, de forma geral 1/n = integral(0;1) x^(n-1) dx Assumindo que a soma de infinitas integrais pode ser escrita como a integral da soma dos infinitos integrandos, podemos escrever: S = integral(0;1) 1 dx - integral(0;1) x dx + integral(0;1) x^2 dx - ... S = integral(0;1) [1 - x + x^2 - ... ] S = integral(0;1) 1/(1+x) S = ln(1+x) |(0;1) S = ln(2) - ln(1) S = ln(2) - 0 S = ln(2) On May 4, 2009, at 18:22 , Paulo Santa Rita wrote: Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)- (1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luà s Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÃRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crà tica, aà vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln (2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luà s Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Bom, vou me retirar da lista, afinal não é pertinente.
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Caro Luciano, Gostaria que você reconsiderasse sua posição, mas que ficasse atento ao que de forma muito pertinernte o Fabricio mencionou há 2 dias: Os participantes da Lista têm enorme prazer em auxiliar , desde que fique claro que o solicitante está fazendo esforço para se desenvolver, explicite com clareza suas dificuldades, etc. O que definitivamente eu abomino, por exemplo, é ver listas intermináveis de exercícios que, muitas vezes por preguiça de resolvê-las, mandam pra cá... Abraços, Carlos Nehab Luciano de Siqueira Pimentel escreveu: Bom, vou me retirar da lista, afinal não é pertinente. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
