Re: [obm-l] serie para ln(2)
Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, 1) O valor de uma serie ( sua soma ) e formalmente definido como em qualquer serie, vale dizer, como limite das suas reduzidas. Assim, se : S = a1 + a2 + a3 + ... = L Entao a sequencia Rn = a1 + ... + an e tal que Lim Rn = L. Neste particular caso que voce cita o agrupamento nao vai causar problemas , conforme pode-se ver considerando as suas reduzidas. No caso geral, PRESERVANDO-SE O SINAL DOS TERMOS, nao pode. Basta , mais uma vez, considerar as reduzidas. A resposta mais geral seria, entao, assim: Se e possivel provar que a sequencia das reduzidas original converge para o mesmo valor que a nova sequencia das reduzidas ( aquelas derivadas do agrupamento ) entao o agrupamento e valido 2) Estas series sao melhor tratadas em espacos de sobolev 3) No fim da minha mensagem eu citei uma solucao diferente da que apresentei, usando polinomios ( que, inclusive, gneraliza a questao ). Agora, repensando, surgem muitas outras maneiras de tratar o problema ... 4) Agora, Luis, tive uma ideia que talvez signifique uma humilde contribuicao ao seu monumental trabalho sobre triangulos. Veja se voce ja fez ou se e uma nova questao : PROBLEMA : Dado 2P. Construa o triangulo tal que a soma das suas medianas e o seu perimetro sejam 2P. OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre construcao geometrica de triangulos. Pena que ( pelo que sei ) ainda nao ha uma versao em portugues Um Abracao PSR, 40605090832 2009/5/5 Luís Lopes qedte...@escolademestres.com: Sauda,c~oes, Oi Paulo e para os outros três que responderam, Então de 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) posso fazer [1 - (1/2)] + [1/3 - (1/4)] + [1/5 - (1/6)] + ... e obter o mesmo resultado?? Sempre, ou seja, posso botar [ ] à vontade em séries cond. convergentes? Ando sempre em águas turvas com estas manipulações de séries cond. conv. P.S.: Paulo, o Rousseau acabou de me dizer que encontrou uma solução para aquela conjectura. Mas não a tenho. Obrigado pelo seu email a respeito. Muito trabalho nele. []'s Luís From: paulo.santar...@gmail.com Date: Mon, 4 May 2009 18:22:28 -0300 Subject: Re: [obm-l] serie para ln(2) To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)-(1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Descubra uma nova internet. Internet Explorer 8. Mergulhe. _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e
FW: [obm-l] serie para ln(2)
Olá! SE a série é convergente, ENTÃO é válido aplicar os diversos operadores (aritméticos, algébricos, diferenciais, integrais...) nos seus termos. O grande Euler, o Cauchy e o Weierstrass usaram e abusaram disto. Aliás, foi assim que o Euler provou a sua mais do que famosa identidade: e^(i*pi) + 1 = 0 . Vou lhe mostrar o que eles fizeram - repare o tamanho do abuso! Suponha que seja sabido que: e = lim [n--+oo] [ (1+1/n)^n ] = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... Daí: e^x = lim [n--+oo] [ (1+x/n)^n ] = 1 + x/1! + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ... Aí, os caras mandaram a seguinte extrapolação: e^z = lim [n--+oo] [ (1+z/n)^n ] = 1 + z/1! + (z^2)/2! + (z^3)/3! + ... , sendo z um complexo - que barbaridade!!! Esta série, acredite, converge para qualquer z e pode ser diferenciada termo a termo, exatamente como um polinômio ordinário e finito. Todas (TODAS!) as propriedade de e^z podem ser deduzidas através da série indicada acima. Logo, e^(i*pi) = -1 Sabe o que é ainda mais bacana (que gíria mais velha!)? Através desta mesma série, pode-se demonstrar que a função e^z é periódica, sendo seu período igual a 2*pi*i (imaginário!). Claro: e^(i*theta) = cis(theta) e cis(theta) é periódica! Gostou? Sei lá... e^x é monotonamente crescente e e^z é periódica !? Um bom exercício é arrumar uma explicação conceitual para isto - garanto-lhe que não é muito difícil! Sds., Albert Bouskela bousk...@msn.com -Original Message- From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Luís Lopes Sent: Tuesday, May 05, 2009 5:36 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] serie para ln(2) Sauda,c~oes, Oi Paulo e para os outros três que responderam, Então de 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) posso fazer [1 - (1/2)] + [1/3 - (1/4)] + [1/5 - (1/6)] + ... e obter o mesmo resultado?? Sempre, ou seja, posso botar [ ] à vontade em séries cond. convergentes? Ando sempre em águas turvas com estas manipulações de séries cond. conv. P.S.: Paulo, o Rousseau acabou de me dizer que encontrou uma solução para aquela conjectura. Mas não a tenho. Obrigado pelo seu email a respeito. Muito trabalho nele. []'s Luís From: paulo.santar...@gmail.com Date: Mon, 4 May 2009 18:22:28 -0300 Subject: Re: [obm-l] serie para ln(2) To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)-(1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! === == Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html === == Descubra uma nova internet. Internet Explorer 8. Mergulhe.
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Grande Paulo ! Mas eu gostaria de tentar dar um palpitezinho... e
vou acabar dando dois :
2009/5/6 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com:
Ola Luis e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
1) O valor de uma serie ( sua soma ) e formalmente definido como em
qualquer serie, vale dizer, como limite das suas reduzidas. Assim, se
:
S = a1 + a2 + a3 + ... = L
Entao a sequencia Rn = a1 + ... + an e tal que Lim Rn = L. Neste
particular caso que voce cita o agrupamento nao vai causar problemas ,
conforme pode-se ver considerando as suas reduzidas. No caso geral,
PRESERVANDO-SE O SINAL DOS TERMOS, nao pode. Basta , mais uma vez,
considerar as reduzidas.
A resposta mais geral seria, entao, assim:
Se e possivel provar que a sequencia das reduzidas original converge
para o mesmo valor que a nova sequencia das reduzidas ( aquelas
derivadas do agrupamento ) entao o agrupamento e valido
2) Estas series sao melhor tratadas em espacos de sobolev
Eu tenho muito pouca prática com Sobolev, mas se você pudesse
detalhar... Eu vou detalhar o que eu pensei quando escrevi :
Temos uma soma S, com termos a1, a2, a3, ... Faça a seguinte hipótese
: a_n tende a zero. Então, agrupando os termos SEMPRE EM MESMO NUMERO,
se a primeira soma existir, a agrupada também, e vale o mesmo valor. A
idéia, é exatamente voltar à definição que o Paulo deu mais acima, e
notar que um grupo equivale a somar N termos sucessivos. Logo, somar n
grupos, equivale a tomar a nN-ésima parcial. Sabemos que a seqüência
das parciais converge, logo a das N-parciais também, e para o mesmo
valor, pois é uma subseqüência. Muito mais interessante é tentar a
recíproca : se a soma dos agrupamentos converge, o que acontece com a
soma original ? E é aí que a hipótese inicial tem todo o seu sentido:
sabemos que a subseqüência S_{Nk} converge para S, e queremos estudar
a seqüência completa S_n. Ora, como os termos tendem a zero, de S_{Nk
+ 1} = S_{Nk} + a_{Nk + 1}, tomando o limite no termo da direita (que
existe !), vemos que lim S_{Nk + 1} existe também, e vale S + lim
a_{Nk + 1} = S. Como, além disso, temos um número finito de restos
modulo N, e todas as subseqüências S_n{Nk + a} convergem para S (faça
uma depois da outra !!), a seqüência original também converge para S,
pois a partir de um certo N_0, todos os S_{Nk} estão a epsilon de S,
para um N_1, os S_{Nk + 1}, etc e tal, logo para o máximo dos N_a,
todo mundo está a epsilon de S. Note que a finitude (que vem da
regularidade dos parênteses) é crucial, bem como a hipótese que os
termos tendem a zero !!
3) No fim da minha mensagem eu citei uma solucao diferente da que
apresentei, usando polinomios ( que, inclusive, gneraliza a questao ).
Agora, repensando, surgem muitas outras maneiras de tratar o problema
...
4) Agora, Luis, tive uma ideia que talvez signifique uma humilde
contribuicao ao seu monumental trabalho sobre triangulos. Veja se voce
ja fez ou se e uma nova questao :
PROBLEMA : Dado 2P. Construa o triangulo tal que a soma das suas
medianas e o seu perimetro sejam 2P.
Não entendi, você quer que a soma das medianas seja 2P, e o perímetro
também seja 2P ? Ou a soma a+b+c + m_a+m_b+m_c = 2P ? Porque, se for
esse último (que foi como eu interpretei de chofre) parece que tem
uma solução para 3a + 3a\sqrt{3}/2 = 2P ...
OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que
Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre
construcao geometrica de triangulos. Pena que ( pelo que sei ) ainda
nao ha uma versao em portugues
Um Abracao
PSR, 40605090832
Um grande abraço,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Ola Bernardo e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
1 ) Muito boa a sua mensagem, mas note que nao foi isso que o Luis
Lopes perguntou e, portanto, nao foi sobre o que eu respondi. Pelo que
eu entendi, o Luis quer saber se a colocao arbitraria de colchetes vai
afetar o valor original da serie ( sua soma), vale dizer, NAO HA A
HIPOTESE DE MESMO NUMERO DE TERMOS e, pior ainda, OS SINAIS DOS TERMOS
SAO PRESERVADOS, ou seja, ele simplesmente introduz colchetes e outros
delimitadores, SEM ALTERAR OS SINAIS ORIGINAIS, o que afeta o
resultado ainda mais.
2 ) Nao, amigo, descupe. Devo ter me expressado mal. Quero dizer :
Dado 2P, construa o triangulo tal que :
Soma das medianas = 2P
perimetro = 2P
Eu nao pensei sobre a questao. Nem sei se e trivial ou trabalhosa. Ela
veio a minha cabeca quando respondia o Luis Lopes. Como o Luis e um
Mestre consumado no assunto, queria saber se tal questao ja constava
no livro dele ou se ele dispunha de tempo pra apresentar uma solucao,
caso exista.
Um Abracao
PSR, 40605091048
2009/5/6 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
Grande Paulo ! Mas eu gostaria de tentar dar um palpitezinho... e
vou acabar dando dois :
2009/5/6 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com:
Ola Luis e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
1) O valor de uma serie ( sua soma ) e formalmente definido como em
qualquer serie, vale dizer, como limite das suas reduzidas. Assim, se
:
S = a1 + a2 + a3 + ... = L
Entao a sequencia Rn = a1 + ... + an e tal que Lim Rn = L. Neste
particular caso que voce cita o agrupamento nao vai causar problemas ,
conforme pode-se ver considerando as suas reduzidas. No caso geral,
PRESERVANDO-SE O SINAL DOS TERMOS, nao pode. Basta , mais uma vez,
considerar as reduzidas.
A resposta mais geral seria, entao, assim:
Se e possivel provar que a sequencia das reduzidas original converge
para o mesmo valor que a nova sequencia das reduzidas ( aquelas
derivadas do agrupamento ) entao o agrupamento e valido
2) Estas series sao melhor tratadas em espacos de sobolev
Eu tenho muito pouca prática com Sobolev, mas se você pudesse
detalhar... Eu vou detalhar o que eu pensei quando escrevi :
Temos uma soma S, com termos a1, a2, a3, ... Faça a seguinte hipótese
: a_n tende a zero. Então, agrupando os termos SEMPRE EM MESMO NUMERO,
se a primeira soma existir, a agrupada também, e vale o mesmo valor. A
idéia, é exatamente voltar à definição que o Paulo deu mais acima, e
notar que um grupo equivale a somar N termos sucessivos. Logo, somar n
grupos, equivale a tomar a nN-ésima parcial. Sabemos que a seqüência
das parciais converge, logo a das N-parciais também, e para o mesmo
valor, pois é uma subseqüência. Muito mais interessante é tentar a
recíproca : se a soma dos agrupamentos converge, o que acontece com a
soma original ? E é aí que a hipótese inicial tem todo o seu sentido:
sabemos que a subseqüência S_{Nk} converge para S, e queremos estudar
a seqüência completa S_n. Ora, como os termos tendem a zero, de S_{Nk
+ 1} = S_{Nk} + a_{Nk + 1}, tomando o limite no termo da direita (que
existe !), vemos que lim S_{Nk + 1} existe também, e vale S + lim
a_{Nk + 1} = S. Como, além disso, temos um número finito de restos
modulo N, e todas as subseqüências S_n{Nk + a} convergem para S (faça
uma depois da outra !!), a seqüência original também converge para S,
pois a partir de um certo N_0, todos os S_{Nk} estão a epsilon de S,
para um N_1, os S_{Nk + 1}, etc e tal, logo para o máximo dos N_a,
todo mundo está a epsilon de S. Note que a finitude (que vem da
regularidade dos parênteses) é crucial, bem como a hipótese que os
termos tendem a zero !!
3) No fim da minha mensagem eu citei uma solucao diferente da que
apresentei, usando polinomios ( que, inclusive, gneraliza a questao ).
Agora, repensando, surgem muitas outras maneiras de tratar o problema
...
4) Agora, Luis, tive uma ideia que talvez signifique uma humilde
contribuicao ao seu monumental trabalho sobre triangulos. Veja se voce
ja fez ou se e uma nova questao :
PROBLEMA : Dado 2P. Construa o triangulo tal que a soma das suas
medianas e o seu perimetro sejam 2P.
Não entendi, você quer que a soma das medianas seja 2P, e o perímetro
também seja 2P ? Ou a soma a+b+c + m_a+m_b+m_c = 2P ? Porque, se for
esse último (que foi como eu interpretei de chofre) parece que tem
uma solução para 3a + 3a\sqrt{3}/2 = 2P ...
OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que
Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre
construcao geometrica de triangulos. Pena que ( pelo que sei ) ainda
nao ha uma versao em portugues
Um Abracao
PSR, 40605090832
Um grande abraço,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
RE: [obm-l] produtos notaveis
Olá. Não reparei na solução (ou início dela). Como seria? Devo ter apagado a mensagem, sem prestar atenção. Até. --- Em ter, 5/5/09, Luís Lopes qedte...@escolademestres.com escreveu: De: Luís Lopes qedte...@escolademestres.com Assunto: RE: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 5 de Maio de 2009, 17:11 Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Legal, gostei. Mas me parece que o Bernardo(?) deu uma sugestão para um começo de solução. Ou não? Se sim, como seria esta solução? []'s Luís Date: Thu, 30 Apr 2009 05:41:38 -0700 From: profmar...@yahoo.com.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis To: obm-l@mat.puc-rio.br Saudações. O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é exatamente por produtos notáveis, mas por números complexos. LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e somente se, x tem módulo unitário. Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um número real e i^2 = - 1. Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x não é nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n inteiro. PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p + 1/p)cosk + i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p, pois senk é diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar. Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é fácil ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo. Logo, de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) = 2cosk = (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, usando o argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se tomar x = cis (pi/5). Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) = 2cis(400pi) = 2(1 + 0i) = 2. Espero ter ajudado. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Sauda,c~oes, Oi PSR e Bernardo, Valeu, gostei das respostas. Gostaria de ver textos com tais discussões/explicações; nunca vi. É a mesmice de sempre nas fontes a que tenho acesso. Bom, pode ser também que não tenha sabido procurar. === OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre construcao geometrica de triangulos. === Menos, Paulo, menos. Conheço e tenho (oferecido por um alemão que fazia(faz?) parte de uma lista de geometria) um em alemão muito bom. E pela velhice do assunto deve haver muitos outros. O que faço é expor o assunto à minha maneira. === Pena que ( pelo que sei ) ainda nao ha uma versao em portugues. === É verdade. Só existe a edição em francês, já esgotada. Mas estou trabalhando na muito melhor versão em português. Ainda sem prazo de lançamento. === Dado 2P, construa o triangulo tal que : Soma das medianas = 2P perimetro = 2P === Foi assim que interpretei os dados. === Eu nao pensei sobre a questao. Nem sei se e trivial ou trabalhosa. Ela veio a minha cabeca quando respondia o Luis Lopes. Como o Luis e um Mestre consumado no assunto, === Novamente, menos, Paulo, menos. Talvez o Nehab possa mencionar alguns verdadeiros mestres do assunto. Poderia prestar uma homenagem tardia ao Prof. Virgilio A. Pinheiro. Ele foi meu professor de DG em 1968, quando estava no 4o. ginásio. Infelizmente não sabia que estava tendo aulas com tal Prof! Atualmente temos o Wagner e tenho uma apostila do Célio Pinto de Almeida sobre Cônicas. Não fui aluno dele mas deve ter sido um verdadeiro mestre também. === queria saber se tal questao ja constava no livro dele === Não. O volume no qual trabalho só envolve construções com dados simples, sem somas, diferenças etc dos elementos do triângulo. Como o seguinte, que fica como sugestão: (h_a,h_b,d_c). d_c é a bissetriz interna. Pode-se pensar também em e_c, bissetriz externa. === ou se ele dispunha de tempo pra apresentar uma solucao, caso exista. === Hum conheço construções do tipo (A,a+b,a+c) e muitas outras envolvendo operações com os elementos do triângulo. Este seu problema eu nunca tinha visto e ele me parece indeterminado. Falta um dado, não? Não sei se (A,m_a+m_b+m_c,p) é possível. Se for, poderá fazer parte de um trabalho futuro, já iniciado. []'s Luís _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb não o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um problema digamos clássico, pois não é muito comum, na bibliografia, a sistematização de problemas contendo somas, diferenças etc. (vide uma das bíblias em Wernick, W. Triangle Constructions with Three Located Points. /Math. Mag./ *55*, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que vão completando a lista do Wernick. Eu tenho estes textos que me foram enviados por meu filho. Vou tentar resolver o citado problema, mas não juro que seja indeterminado, pois a soma das medianas varia entre 3/4 e 3/2 do perímetro de um triângulo... Bolas dirão, e daí? Bem nada como sexto sentido de matemágico antigo, né... Abraços, Nehab Luís Lopes escreveu: Sauda,c~oes, Oi PSR e Bernardo, Valeu, gostei das respostas. Gostaria de ver textos com tais discussões/explicações; nunca vi. É a mesmice de sempre nas fontes a que tenho acesso. Bom, pode ser também que não tenha sabido procurar. === OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre construcao geometrica de triangulos. === Menos, Paulo, menos. Conheço e tenho (oferecido por um alemão que fazia(faz?) parte de uma lista de geometria) um em alemão muito bom. E pela velhice do assunto deve haver muitos outros. O que faço é expor o assunto à minha maneira. === Pena que ( pelo que sei ) ainda nao ha uma versao em portugues. === É verdade. Só existe a edição em francês, já esgotada. Mas estou trabalhando na muito melhor versão em português. Ainda sem prazo de lançamento. === Dado 2P, construa o triangulo tal que : Soma das medianas = 2P perimetro = 2P === Foi assim que interpretei os dados. === Eu nao pensei sobre a questao. Nem sei se e trivial ou trabalhosa. Ela veio a minha cabeca quando respondia o Luis Lopes. Como o Luis e um Mestre consumado no assunto, === Novamente, menos, Paulo, menos. Talvez o Nehab possa mencionar alguns verdadeiros mestres do assunto. Poderia prestar uma homenagem tardia ao Prof. Virgilio A. Pinheiro. Ele foi meu professor de DG em 1968, quando estava no 4o. ginásio. Infelizmente não sabia que estava tendo aulas com tal Prof! Atualmente temos o Wagner e tenho uma apostila do Célio Pinto de Almeida sobre Cônicas. Não fui aluno dele mas deve ter sido um verdadeiro mestre também. === queria saber se tal questao ja constava no livro dele === Não. O volume no qual trabalho só envolve construções com dados simples, sem somas, diferenças etc dos elementos do triângulo. Como o seguinte, que fica como sugestão: (h_a,h_b,d_c). d_c é a bissetriz interna. Pode-se pensar também em e_c, bissetriz externa. === ou se ele dispunha de tempo pra apresentar uma solucao, caso exista. === Hum conheço construções do tipo (A,a+b,a+c) e muitas outras envolvendo operações com os elementos do triângulo. Este seu problema eu nunca tinha visto e ele me parece indeterminado. Falta um dado, não?
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Ola Luis e Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Bom, eu nao conheci qualquer dos grandes Mestres citados abaixo e, muito menos, tive o prazer de estudar por qualquer dos livros deles. Assim, se por omissao cometi alguma injustica, asseguro que foi involuntária. Eu so estudei em escolas publicas. Tive um pessimo 1 grau e o 2 grau foi pior ainda. Lembro que na antiga 7 serie eu estava totalmente decepcionado com a miseravel Matematica que ensinavam e estudava por conta propria sobretudo Filosofia e Filologia( Lia W Durant,, As obras completas do Freud, Os Pensadores, Goethe e Shakespeare etc ). Foi mais ou menos no fim desta serie que me deparei com um livro que veio modificar totalmente a minha vida ... Comprei no Sebo um livrinho sem capa, sobre Geometria, do Prof Eduardo Wagner ( e acho que falecido Prof Morgado tambem era autor ). A leitura deste livro me mostrou algo que, naquela epoca, eu nem suspeitava : que a Matematica podia ser bela, que poderiamos penetrar no desconhecido a partir de algumas nocoes basicas e que, enfim, a Matematica era uma ciencia digna da minha atencao. Eu me lembro que fiquei tao impressionado com aquelas coisas que, daquele momento em diante, eu nao conseguia pensar em mais nada. Perdi todos os amigos, pois nem todo mundo gosta destas coisas e passei sistematicamente a devorar tudo que eu podia estudar : Calculo, Algebra, Teoria de Galois etc. Li Hardy e Ramanujam e dai em diante. E por esta razao que o Prof Eduardo Wagner e uma pessoa que sem duvida tem um lugar muito especial na minha vida de Matematico. Inclusive a minha primeira descoberta de infancia em matematica, eu a batizei com o seu nome como uma forma de agradecer o que ele representava para mim naquele momento : ***INICIO*** ( DESIGUALDADE WAGNER ) EM QUALQUER TRIANGULO, O SEMI-PERIMETRO NUNCA E MENOR QUE A SOMA DOS PRODUTOS DE CADA LADO PELO COSSENO DO ANGULO OPOSTO. Para ver isso, seja ABC um triangulo qualquer, imaginado como se BC fosse a base ( B a esquerda, C a direita ) e A o vertice. 1) Prolongando CA a partir de A, no sentido de C para A, de um segmento AD igual AB. 2) Prolongando BA a partir de A, no sentido de B para A, de um segmento AE igual a AC 3) Ligando D com E Os triangulo ABC e ADE sao iguais (caso LAL), pois : 1) AD = AB (por construcao) 2) AE = AC (por construcao) 3) Angulo BAC = Angulo DAE (opostos pelo vertice) Segue que DE=BC. Trancando por A uma paralela a BC. Seja r esta paralela. Agora, seja F o pe da perpendicular a r tracado por D. Seja G o pe da perpendicular a r tracada por E. Entao, claramente : DE = AD*cos(DAF) + AE*cos(EAG) Mas : 1)DE = BC = a 2)AD = AB = c 3)AE = AC = b 4)Angulo DAF = Angulo ACB ( Angulos Correspondentes ) = Ang C 5)Angulo EAG = Angulo ABC ( Angulos Correspondentes ) = Ang B Portando : a = c*cos(C) + b*cos(B) Repetindo construcoes e raciocinios semelhantes para os demais vertices, chegaremos a : b = a*cos(A) + c*cos(C) c = b*cos(B) + a*cos(A) Somando estas tres desigualdades : a + b + c = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) 2p = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) Portanto : DESIGUALDADE WAGNER : p = a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C) ***FIM*** Estou falando isso porque , dado que ninguem duvida do verdadeiro e belissimo talento do Prof Wagner e FOI ELE, POR E-MAIL, QUE ME FALOU DO LIVRO DO LUIS LOPES, classificando tal livro como o que havia de melhor em geometria do traingulo. Assim, caro Luis, quem me falou sobre a excelencia do seu trabalho foi o Wagner e, concorde comigo, O Prof Wagner sabe perfeitamente do que fala quando o tema e a Geometria Euclidiana... Assim, a minha referencia infantil mais forte foi este ilustre Prof Eduardo Wagner. Ele acendeu o estopim, disparou o Processo. Por que ? Porque o Prof Wagner e um artista, as solucoes que ele apresenta tem um que de beleza, tal como o Lagrange fazia. Assim, o trabalho dele encanta e com ele aprendi a nao so matematica, mas sobretudo a buscar a Matematica Bonita. Sobre o problema, como ocorre com frequencia, ele simplesmente surgiu na minha cabeca. Se ele for realmente inedito e dele pudermos extrair alguma coisa valiosa, eu me sentirei estimulado a pensar nele. Vou aguardar o carissimo Nehab se pronunciar. Note que eu gostaria de ver UMA CONSTRUCAO de um triangulo com tal propriedade, vale dizer, se o problema for indeterminado e houver muitos triangulos assim, gostaria de ver a construcao de um deles. Um Abracao a Todos ! PSR, 40605092050 Em Tempo : prometo que da proxima vez vou escrever sobre Matematica. Esta mensagem so tem texto porque estava parecendo que eu cometera uma imensa injustica esquecendo outros grandes mestres. Nao foi isso. Apenas realmente nunca ouvi falar ou li os livros destes grandes professores. 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu
